سوالات کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گلوله‌ای از سطح زمین در راستای قائم رو به بالا پرتاب می‌شود و تا رسیدن گلوله به ارتفاع ۴۲ متری از سطح زمین، انرژی جنبشی آن ۳۰ درصد کاهش می‌یابد. این گلوله حداکثر تا ارتفاع چند متری از سطح زمین بالا می‌رود؟ (مقاومت هوا ناچیز است و $g = 10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$)

طول یک پل معلق فولادی در سردترین موقع سال ۹۰۰ متر بوده و در آن سال بیشترین طول پل به ۹۰۰/۹ متر رسیده است. اختلاف بیشترین دما و کمترین دمای پل در آن سال، چند درجهٔ سلسیوس است؟ ($\alpha = 1/25 \times 10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}$)

در کدام فرایند، کار انجام‌شده روی گاز مثبت است و انرژی درونی گاز کاهش می‌یابد؟

در یک مسیر مستقیم و از یک نقطه، متحرک $\mathrm{A}$ در مبدأ زمان با شتاب ثابت $a$ از حال سکون به حرکت درمی‌آید و در لحظهٔ $t = 2\,\mathrm{s}$، متحرک $\mathrm{B}$ از همان نقطه و در همان مسیر با شتاب ثابت $a + 0/5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$ از حال سکون به حرکت درمی‌آید. اگر در لحظهٔ $t = 6\,\mathrm{s}$ دو متحرک به هم برسند، فاصلهٔ آن‌ها در لحظهٔ $t = 10\,\mathrm{s}$ چند متر است؟

گلوله‌ای از فاصلهٔ ۱۰۰ متری زمین از یک نقطه رها می‌شود. یک ثانیه بعد، گلولهٔ دیگری از ده متر پایین‌تر از گلولهٔ اول رها می‌شود. از لحظه رهاشدن گلولهٔ دوم تا لحظه‌ای که اولین گلوله به زمین می‌رسد، فاصلهٔ دو گلوله چه تغییری می‌کند؟ (مقاومت هوا ناچیز فرض شود.)

خودرو $\mathrm{A}$ با سرعت ثابت $8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ در مسیر مستقیم در حرکت است و پشت سر آن خودرو $\mathrm{B}$ با سرعت ثابت $20\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ در همان جهت حرکت می‌کند. وقتی فاصلهٔ بین آن‌ها به ۴۶ متر کاهش می‌یابد، خودرو $\mathrm{A}$ با شتاب ثابت $2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$ سرعت خود را کم می‌کند و یک ثانیه بعد خودرو $\mathrm{B}$ نیز با شتاب ثابت $4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$ سرعت خود را کم می‌کند. سرعت خودرو $\mathrm{B}$ در لحظهٔ رسیدن به خودرو $\mathrm{A}$ چند متر بر ثانیه است؟

فرض کنید ماهواره‌ها روی مدارهای دایره‌ای به دور زمین به‌طور یکنواخت می‌چرخند. کدام مورد صحیح است؟

معادلهٔ تکانهٔ متحرکی به جرم ۵۰۰ گرم که روی محور $x$ حرکت می‌کند، در $\mathrm{SI}$ به‌صورت $\vec{P} = (3t - 6)\vec{i}$ است. نیروی خالص متوسطی که در بازهٔ زمانی $t_1 = 1\,\mathrm{s}$ تا $t_2 = 3\,\mathrm{s}$ بر این متحرک وارد می‌شود، برحسب نیوتون، کدام است؟

جسمی به جرم $5\,\mathrm{kg}$ روی سطح افقی قرار دارد و ضریب اصطکاک ایستایی و جنبشی بین جسم و سطح به‌ترتیب 0/5 و 0/4 است. اگر به جسم نیروی افقی و ثابت $26\,\mathrm{N}$ وارد کنیم، در حین حرکت، شتاب جسم و نیرویی که جسم به سطح وارد می‌کند، در SI کدام‌اند؟ ($g=10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$)

خودرویی به جرم ۲ تُن روی سطح افقی با تندی ثابت $18\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ مسیر دایره‌ای به شعاع ۲۰ متر را دور می‌زند. نیروی مرکزگرای خودرو چند نیوتون است و کدام نیرو آن را تأمین می‌کند؟

اگر فاصله از چشمهٔ صوت نصف شود و هم‌زمان توان چشمهٔ صوت دو برابر شود، تراز شدت صوت چگونه تغییر می‌کند؟ ($\log 2=0/3$)

طول آونگ ساده‌ای را ۱۷ سانتی‌متر تغییر می‌دهیم، دورهٔ آن 12/5 درصد افزایش می‌یابد. دورهٔ آونگ (قبل از تغییر طول) چند ثانیه است؟ ($g=\pi^2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$)

معادلهٔ مکان ـ زمان حرکت هماهنگ ساده‌ای در SI به‌صورت $x=A\cos 50\pi t$ است. اگر تندی متوسط نوسانگر در بازهٔ زمانی $t_1=0\,\mathrm{s}$ تا $t_2=0/02\,\mathrm{s}$ برابر با $1/5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ باشد، دامنهٔ نوسان چند سانتی‌متر است؟

مطابق شکل، تاری که بین دو تکیه‌گاه محکم شده است، در هماهنگ اول خود با بسامد $f$ به نوسان درمی‌آید. اگر فاصلهٔ دو تکیه‌گاه $50\,\mathrm{cm}$ و تندی موج عرضی در آن $250\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ باشد، چند میلی‌ثانیه طول می‌کشد تا هریک از ذرات تار یک نوسان انجام دهند؟

شکل: تاری که دو انتهای آن به دو تکیه‌گاه ثابت (هاشورخورده) در سمت چپ و راست بسته شده است و به شکل یک کمان (یک شکم) بین دو تکیه‌گاه نوسان می‌کند؛ یعنی هماهنگ اول با یک شکم و دو گره در دو انتها.

در اتم هیدروژن، الکترون با جذب فوتونی با انرژی 12/75 الکترون ولت از مدار $n'$ به مدار $n$ می‌رود. $n'$ و $n$ به‌ترتیب کدام‌اند؟ ($E_R=13/6\,\mathrm{eV}$)

در یک دستگاه فوتوالکتریک، تابع کار فلز $4\,\mathrm{eV}$ است. با این دستگاه دو آزمایش انجام می‌دهیم. در آزمایش دوم طول موج پرتو به‌کار رفته را نصف می‌کنیم، بیشینه انرژی جنبشی فوتوالکترون‌ها نسبت به آزمایش قبلی ۶ برابر می‌شود. طول موج پرتو استفاده‌شده در آزمایش اول چند نانومتر است؟ ($h=4\times10^{-15}\,\mathrm{eV.s}$ و $c=3\times10^{8}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$)

عمل غنی‌سازی در یک نمونهٔ اورانیم، کدام است؟

با کاهش بار الکتریکی یک خازن، چه کسری از انرژی آن را کاهش دهیم تا اختلاف پتانسیل الکتریکی آن $\frac{3}{4}$ اختلاف پتانسیل اولیهٔ آن شود؟

بار الکتریکی $q=-20\,\mathrm{nC}$ در راستای میدان الکتریکی یکنواخت، از نقطهٔ A به نقطهٔ B منتقل میشود و انرژی پتانسیل الکتریکی آن $2\,\mathrm{mJ}$ افزایش مییابد. $V_B-V_A$ چند ولت است و جهت حرکت بار الکتریکی در مقایسه با جهت میدان الکتریکی چگونه است؟

در شکل زیر، سه بار الکتریکی مثبت نقطهای در سه رأس مثلث ثابت نگه داشته شدهاند و بزرگی میدان الکتریکی خالص در نقطهٔ M (وسط ضلع)، E است. اگر بار الکتریکی $q_2$ را از آزمایش حذف کنیم، بزرگی میدان الکتریکی خالص در نقطهٔ M چند برابر میشود؟

شکل: مثلثی قائمالزاویه با زاویهٔ قائمه در رأس سمت چپ که بار $q_1=1\,\mu\mathrm{C}$ در آن قرار دارد. بار $q_2=2\,\mu\mathrm{C}$ در رأس بالایی و بار $q_3=3\,\mu\mathrm{C}$ در رأس پایینی است. ضلع مقابل زاویهٔ قائمه (بین $q_2$ و $q_3$) قائم است و نقطهٔ M وسط این ضلع قرار دارد. زاویهٔ رأس پایینی (محل $q_3$) برابر $45^\circ$ است.

یک الکترون از محیطی میگذرد که شامل یک میدان یکنواخت مغناطیسی و یک میدان یکنواخت الکتریکی است. اگر اندازه و جهت سرعت الکترون در این مسیر ثابت بماند، کدام مورد درست است؟

سیملولهٔ آرمانی بدون هستهای به طول $15/7$ سانتیمتر، دارای ۱۰۰۰ حلقه است. اگر مساحت هر حلقهٔ آن $8\,\mathrm{cm^2}$ باشد، ضریب القاوری آن چند میلیهانری است؟ ($\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\frac{\mathrm{T.m}}{\mathrm{A}}$)

سیمی را به شکل حلقهای به شعاع $10\,\mathrm{cm}$ درمیآوریم و آن را روی یک سطح افقی قرار میدهیم. میدان مغناطیسی یکنواختی که با سطح قاب زاویهٔ ۳۰ درجه میسازد، در مدت $15/7$ میلیثانیه از ۶۰۰۰ گاوس به صفر کاهش مییابد. نیروی محرکهٔ القایی متوسط در حلقه چند ولت است؟

در یک دیگ زودپز، مساحت روزنه خروج بخارآب ۵ میلی‌متر مربع است. جرم وزنه روی روزنه چند گرم باشد، تا فشار پیمانه‌ای بخار داخل دیگ در $10^5$ پاسکال نگه داشته شود؟ ($g = 10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$)

۸۰ گرم آب با دمای $20^\circ\mathrm{C}$ را به همراه ۲۰ گرم آب با دمای $80^\circ\mathrm{C}$ درون ظرف فلزی ۳۰۰ گرمی با دمای $32^\circ\mathrm{C}$ می‌ریزیم. دمای تعادل چند درجه سلسیوس است؟ ($c_{\text{آب}} = 4200\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg.K}}$ و $c_{\text{ظرف}} = 400\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg.K}}$)

در شکل زیر پیستونی به جرم $1/75\,\mathrm{kg}$ و سطح قاعده $50\,\mathrm{cm^2}$ روی گاز آرمانی به حالت تعادل قرار دارد. اگر وزنه‌ای به جرم ۹ برابر جرم پیستون روی آن قرار دهیم، پیستون به اندازه $10\,\mathrm{cm}$ پایین می‌آید و دوباره به حالت تعادل می‌رسد. اگر دمای گاز ثابت بماند، فشار هوا چند پاسکال است؟ ($g = 10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}$)

شکل: استوانه عمودی با پیستون (هاشورخورده) در بالای آن که روی گاز قرار دارد. ارتفاع ستون گاز زیر پیستون با پیکان دوطرفه و برچسب $40\,\mathrm{cm}$ نشان داده شده است.

اگر آرایش الکترون‌های ظرفیت اتم $^{96}\mathrm{X}$، مشابه آرایش الکترون‌های ظرفیت اتم عنصر بیست و چهارم جدول تناوبی و شمار الکترون‌ها در یکی از یون‌های پایدار آن، برابر با شمار الکترون‌ها در اتم نخستین عنصر واسطه دوره پنجم جدول دوره‌ای باشد، شمار نوترون‌ها در اتم X کدام است؟

کدام مورد، نادرست است؟

کدام مورد درست است؟

با توجه به واکنش داده‌شده، اگر ۲۰۰ میلی‌لیتر محلول $\mathrm{Ba(OH)_2}$ با غلظت $21375\ \mathrm{ppm}$ موجود باشد، چند میلی‌لیتر محلول ۰/۴ مولار $\mathrm{HCl}$ برای واکنش کامل با آن لازم است؟ (چگالی محلول برابر با چگالی آب درنظر گرفته شود، معادلهٔ واکنش موازنه شود، $\mathrm{H=1,\ O=16,\ Ba=137: g.mol^{-1}}$)
$\mathrm{Ba(OH)_2(aq)+HCl(aq)\rightarrow BaCl_2(aq)+H_2O(l)}$

با توجه به ویژگی‌های مولکول‌های آب و هیدروژن سولفید، کدام مورد درست است؟

کدام‌یک از موارد زیر درست است؟
الف: در یون‌های پایدار فلزهای اصلی، شمار الکترون‌ها در همهٔ زیرلایه‌های الکترونی زوج است.
ب: یون‌های پایدار به‌دست آمده از اتم‌های $_{31}\mathrm{Ga}$ و $_{30}\mathrm{Zn}$، آرایش الکترونی مشابه دارند.
پ: رنگ محلول نمک وانادیم، در واکنش اکسایش با گرد فلز روی، از زرد به بنفش تغییر می‌کند.
ت: استفاده از گیاهان جاذب فلز، یکی از روش‌های مناسب استخراج فلزهای نیکل، مس و طلا است.

اگر $\mathrm{A}$، $\mathrm{D}$ و $\mathrm{M}$ سه مادهٔ غیرگازی‌شکل باشند و در واکنش: $\mathrm{A+D\rightarrow M+H_2O(l)}$، یک محلول به یک مخلوط تبدیل شود، کدام مقایسه دربارهٔ انحلال‌پذیری این سه ماده، همواره درست است؟

مجموع ضرایب استوکیومتری مواد در معادلهٔ واکنش زیر، پس از موازنه، کدام است و اگر پس از مصرف ۸۲/۸ گرم $\mathrm{NaNO_2}$، ۱۴۱/۱۲ گرم کروم (III) سولفات تشکیل شود، بازده درصدی این واکنش کدام است؟ ($\mathrm{N=14,\ O=16,\ Na=23,\ S=32,\ Cr=52: g.mol^{-1}}$)
$\mathrm{H_2SO_4(aq)+K_2CrO_4(aq)+NaNO_2(aq)\rightarrow Cr_2(SO_4)_3(aq)+K_2SO_4(aq)+NaNO_3(aq)+H_2O(l)}$

کدام مورد درست است؟

با توجه به واکنش گرماشیمیایی: $\mathrm{2CH_4(g)\rightarrow C_2H_6(g)+H_2(g)\ ,\ \Delta H=+65\ kJ}$، میانگین آنتالپی پیوند $\mathrm{C-H}$ برابر چند کیلوژول بر مول است؟ (آنتالپی پیوندهای $\mathrm{H-H}$ و $\mathrm{C-C}$ به‌ترتیب برابر ۴۳۵ و ۳۴۸ کیلوژول بر مول درنظر گرفته شود.)

چند مورد از موارد زیر، دربارهٔ عنصرهای جدول تناوبی درست است؟

• اگر $\mathrm{A}$ شبه‌فلز باشد، به یقین در دستهٔ $\mathrm{p}$ جدول جای دارد.
• عدد اتمی یک عنصر فلزی، به یقین بیشتر از عدد اتمی نافلز هم‌گروه آن است.
• اگر $\mathrm{Z}$ نافلز مایع باشد، عنصر گازی با فعالیت شیمیایی زیاد در دورهٔ آن وجود ندارد.
• اگر $\mathrm{X}$ شبه‌فلز باشد، همهٔ عنصرهای هم‌دوره و با عدد اتمی کوچک‌تر از عدد اتمی آن، خواص فیزیکی فلزات را دارند.

چند مورد از موارد زیر درست است؟

• سرعت واکنش، یک مفهوم کاربردی برای درک میزان پیشرفت واکنش در واحد زمان است.
• سرعت متوسط تشکیل فراورده‌ای با ضریب استوکیومتری برابر ۱، با سرعت واکنش برابر است.
• شیب نمودار «مول ـ زمان» برای هریک از شرکت‌کننده‌ها در واکنش، متناسب با ضریب استوکیومتری آن است.
• سرعت واکنش، از تقسیم سرعت متوسط مصرف یا تولید هریک از مواد شرکت‌کننده در واکنش بر ضریب استوکیومتری آنها به‌دست می‌آید.

کدام مورد درست است؟

در موارد زیر، به‌ترتیب از چه راهکاری برای افزایش سرعت انجام واکنش استفاده شده است؟
«افزودن $\mathrm{I^-(aq)}$ به محلول هیدروژن‌پراکسید برای تجزیهٔ آن، سوزاندن الیاف آهن در محفظهٔ اکسیژن، سوزاندن گرد آهن از طریق پاشیدن آن بر روی شعله»

کدام‌یک از موارد زیر درست است؟
الف: اگر غلظت آغازی باز DOH در محلول، برابر ۰/۱ مولار و درصد یونش آن در دمای اتاق برابر ۱۶ باشد، غلظت مولی یون هیدرونیوم در این محلول برابر $6/25\times10^{-13}$ است.
ب: هرچه شمار اتم‌های کربن در مولکول پاک‌کنندهٔ غیرصابونی بیشتر باشد، انحلال‌پذیری در آب و پاک‌کنندگی آن افزایش می‌یابد.
پ: از انحلال مول‌های برابر از $\mathrm{Li_2O(s)}$ و $\mathrm{N_2O_5(g)}$ در ۱۰۰ میلی‌لیتر آب، محلولی با pH خنثی تشکیل می‌شود.
ت: با افزایش غلظت محلول اسیدی HA در دمای ثابت، pH محلول کاهش و ثابت یونش اسید افزایش می‌یابد.

دربارهٔ فرایند زنگ زدن آهن، چند مورد از موارد زیر درست است؟

• $E^\circ$ واکنش کلی آن مثبت است.
• تنها فرآوردهٔ نیم‌واکنش اکسایش، آنیونی محلول در آب است.
• گونه‌های اکسنده و کاهنده در واکنش کلی، به‌ترتیب گاز و جامدند.
• به‌ازای تبدیل هر مول فلز آهن به زنگ آهن، سه مول الکترون مبادله می‌شود.

در دمای اتاق، ۸ گرم اسید ضعیف HY را در ۴۰۰ میلی‌لیتر آب مقطر حل می‌کنیم. اگر $K_a=10^{-5}$ باشد، کدام مورد درست است؟ ($\mathrm{HY}=50\,\mathrm{g.mol^{-1}}$، از تغییر حجم آب بر اثر اضافه کردن اسید صرف‌نظر شود.)

با توجه به واکنش اکسایش ـ کاهش زیر، پس از موازنهٔ معادلهٔ آن، چند مورد از موارد زیر درست است؟
$\mathrm{AuI_4^-(aq)+Cu(s)\rightarrow Au(s)+Cu^{2+}(aq)+I^-(aq)}$
$E^\circ(\mathrm{AuI_4^-/Au+4I^-})=+0/56\,\mathrm{V}$ ، $E^\circ(\mathrm{Cu^{2+}/Cu})=+0/34\,\mathrm{V}$

• این واکنش، به‌طور طبیعی پیش می‌رود.
• در این واکنش، ۶ مول الکترون مبادله می‌شود.
• یک یون چنداتمی در این واکنش، نقش اکسنده را دارد.
• مجموع ضرایب استوکیومتری مواد در این واکنش، برابر ۱۸ است.

در شکل زیر، مقدار $\cot\alpha$ کدام است؟

شکل: یک مستطیل که ضلع عمودی سمت چپ آن برابر ۲ است و ضلع پایین آن به دو قسمت مساوی هر کدام به طول ۲ تقسیم شده است. در گوشهٔ پایین-چپ زاویهٔ قائمه (مربع کوچک) وجود دارد. از گوشهٔ بالا-چپ مستطیل دو پاره‌خط رسم شده است: یکی به وسط ضلع پایین (فاصلهٔ ۲ از گوشهٔ پایین-چپ) و دیگری به گوشهٔ پایین-راست (قطر مستطیل). زاویهٔ بین این دو پاره‌خط در رأس بالا-چپ با $\alpha$ مشخص شده است.

مثلث ABC، با اضلاع $\sqrt{3}$ و ۶ و $\alpha$ (زاویه بین آنها) قابل رسم است. اگر مساحت این مثلث ۴/۵ باشد، بیشترین مقدار $\alpha$ چند برابر کمترین مقدار $\alpha$ است؟

یک پنج‌ضلعی در یک دایره محاط شده است. هر ضلع این پنج‌ضلعی، وتر رو به یک زاویه محاطی است. مجموع این زوایای محاطی کدام است؟

مجموع ریشه‌های معادلهٔ $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{160}{9}$ کدام است؟

تابع $f$ اکیداً نزولی و دامنهٔ آن مجموعه‌ای از مقادیر منفی است. اگر $f(m^2-m-5)<f(-3+2m-m^2)$ باشد، $m$ دارای چند مقدار صحیح است؟

$f$ تابع هموگرافیک، $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ و $\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{g^{-1}(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{g^{-1}(x)}{g(x)}$ است، کدام عدد می‌تواند حاصل $\lim_{x\to 0^+}f^{-1}(x)$ باشد؟

اگر $f(x)=\left(\frac{-1+\sin x}{1+\sin x}\right)^2$ و $f(x)=xg(x)+1$ باشد، حاصل $\lim_{x\to0}g(x)$ کدام است؟

خط $d$ موازی محور $x$ها، قرینهٔ سهمی $y=x^2+1$ نسبت به محور $x$ها را در دو نقطه قطع می‌کند و مماس‌های رسم‌شده در این نقاط بر هم عمودند. فاصلهٔ خط $d$ از مبدأ مختصات کدام است؟

به‌ازای چند مقدار صحیح و منفی $k$، نقطهٔ عطف منحنی $y=kx^3+(k+1)x^2$ در ناحیهٔ دوم محورهای مختصات قرار دارد؟

کمترین فاصلهٔ نقاط واقع بر منحنی $y=\sqrt{x-[x^2]}$ از خط $2x-y+2=0$ کدام است؟

۴ وزیر هرکدام با یک معاون به چند طریق می‌توانند روی ۸ صندلی در دو ردیف روبه‌روی هم بنشینند به‌طوری‌که هر وزیر دقیقاً روبه‌روی معاونش قرار بگیرد؟

حداقل چند زوج مرتب با مؤلفه‌هایی از اعداد طبیعی انتخاب کنیم تا به‌طور قطع، لااقل در دو جفت انتخاب‌شده، هرکدام از مجموع مؤلفه‌های اول و مجموع مؤلفه‌های دوم، مضرب ۵ باشند؟

در یک لوزی هر ضلع واسطه هندسی دو قطر لوزی است. اندازه زاویه کوچک‌تر در هر مثلث حاصل از رسم قطرهای این لوزی چند درجه است؟

در یک مستطیل، خط‌هایی از دو رأس مقابل بر یک قطر عمود می‌شوند و آن قطر به سه قسمت طوری تقسیم می‌شود که قسمت وسط دو برابر هریک از قسمت‌های کناری است. مساحت این مستطیل چند برابر مساحت کوچک‌ترین مثلث ایجادشده در مستطیل است؟

در مثلث $ABC$، میانه‌های رسم‌شده از رأس‌های $B$ و $C$ بر هم عمودند. اگر طول میانه رسم‌شده از رأس $C$ برابر ۴/۵ و مساحت این مثلث برابر ۱۸ باشد، نسبت طول میانه‌های رسم‌شده از دو رأس $B$ و $C$ کدام است؟

در شکل زیر، از نقطه $A$ دو مماس رسم شده است. شعاع دایره کدام است؟

شکل: نقطه A در بالا؛ از A دو مماس بر دایره‌ای در پایین رسم شده‌اند: ضلع سمت چپ به طول ۹ تا نقطه تماس B و ضلع سمت راست به طول ۸ تا نقطه تماس C. پاره‌خط BC به طول ۷ نیز رسم شده است و دایره در پایین مثلث ABC قرار دارد و بر AB و AC در B و C مماس است.

در بین مثلث‌هایی با مساحت $30$ واحد مربع که در ضلعی به اندازه $15$ واحد مشترک هستند، کمترین مقدار محیط کدام است؟

در شکل زیر، اگر $D\hat{A}C = 3B\hat{A}D$ باشد، طول ضلع $AC$ کدام است؟

شکل: مثلث $ABC$ که از رأس $A$ ارتفاع $AD$ بر ضلع $BC$ فرود آمده است ($D$ روی $BC$ و $AD \perp BC$). طول $AB = 8$، طول $AD = 6$ و طول $BD = 4$. نقطه $C$ در سمت راست $D$ قرار دارد.

اعداد ۹ تا ۱۹ دراختیار است. دو عدد دلخواه از بین این اعداد را حذف نموده و با مقدار اختلاف آن دو عدد جایگزین می‌شود. این روند تا جایی ادامه می‌یابد که همه اعداد زوج، غیرتکراری و با بیشترین میانگین ممکن باشند، انحراف معیار داده‌های جدید کدام است؟