سوال ۴۷ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

جهت حرکت خودروها را مثبت می‌گیریم؛ بنابراین شتاب ترمزگیری آن‌ها منفی است. توجه به علامت جبری سرعت و شتاب در حرکت بر خط راست ضروری است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱).

گام اول: بررسی یک ثانیهٔ نخست
از لحظهٔ شروع ترمزگیری خودروی $\mathrm{A}$ تا شروع ترمزگیری خودروی $\mathrm{B}$، مدت $1\,\mathrm{s}$ می‌گذرد. با استفاده از رابطهٔ جابه‌جایی در حرکت با شتاب ثابت، $\Delta x=v_0t+\tfrac12at^2$، جابه‌جایی خودروی جلو برابر است با:
$\Delta x_{\mathrm{A}}=8(1)+\tfrac12(-2)(1)^2=7\,\mathrm{m}$.
خودروی عقب در این بازه هنوز با سرعت ثابت حرکت می‌کند، پس:
$\Delta x_{\mathrm{B}}=20(1)=20\,\mathrm{m}$.
بنابراین فاصلهٔ دو خودرو در لحظهٔ شروع ترمزگیری خودروی عقب برابر می‌شود با:
$d=46+7-20=33\,\mathrm{m}$.

طبق معادلهٔ $v=v_0+at$ برای حرکت با شتاب ثابت (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۵)، سرعت خودروی جلو در همین لحظه برابر است با:
$v_{\mathrm{A}}=8-2(1)=6\,\mathrm{m/s}$.

گام دوم: تعیین زمان رسیدن پس از شروع ترمزگیری خودروی عقب
مبدأ زمان جدید را آغاز ترمزگیری خودروی $\mathrm{B}$ و زمان سپری‌شده از آن را $\tau$ می‌نامیم. مبدأ مکان را نیز مکان همین خودرو در این لحظه انتخاب می‌کنیم. در نتیجه، با نوشتن معادلات مکان در SI داریم:
$x_{\mathrm{B}}=20\tau-2\tau^2$،
$x_{\mathrm{A}}=33+6\tau-\tau^2$.
در لحظهٔ رسیدن، مکان دو خودرو برابر است؛ همان شرطی که در مسائل رسیدن دو متحرک به کار می‌رود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۲۷–۲۸، تمرین ۲۱). پس:
$20\tau-2\tau^2=33+6\tau-\tau^2$،
$\tau^2-14\tau+33=0$،
$(\tau-3)(\tau-11)=0$.
نخستین رسیدن در $\tau=3\,\mathrm{s}$ رخ می‌دهد. ریشهٔ بزرگ‌تر مربوط به نخستین رسیدن نیست؛ همچنین ادامه‌دادن این معادلات تا آن زمان، خودروها را پس از توقف به حرکت در جهت معکوس می‌برد و توصیف ترمزکردن آن‌ها نیست.

گام سوم: محاسبهٔ سرعت خواسته‌شده
خودروی $\mathrm{B}$ تا لحظهٔ رسیدن، به مدت $3\,\mathrm{s}$ ترمز کرده است؛ بنابراین:
$v_{\mathrm{B}}=20-4(3)=8\,\mathrm{m/s}$.
برای بررسی سازگاری، سرعت خودروی جلو در همین لحظه $v_{\mathrm{A}}=6-2(3)=0$ است؛ یعنی رسیدن دقیقاً هم‌زمان با توقف خودروی جلو رخ می‌دهد.

پاسخ: گزینهٔ ۲