سوال ۴۹ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

فاصلهٔ ماهواره از مرکز زمین را $r$، جرم زمین را $M_e$ و جرم ماهواره را $m$ می‌نامیم. توجه کنید که $r$ شعاع مدار است، نه ارتفاع از سطح زمین؛ اگر ارتفاع $h$ باشد، داریم $r=R_e+h$.

گام اول: نیروی گرانشی را با نیروی مرکزگرا برابر می‌گذاریم. نیروی مرکزگرا نیروی جداگانه‌ای نیست؛ در این مسئله، گرانش زمین همان نیروی خالص رو به مرکز را فراهم می‌کند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۲). بنابراین، مطابق روش مثال ماهواره در کتاب:
$\displaystyle \frac{GM_e m}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$
با حذف جرم ماهواره و ساده‌سازی داریم:
$\displaystyle v^2=\frac{GM_e}{r}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM_e}{r}}$
پس تندی مداری با جذر فاصله از مرکز زمین نسبت عکس دارد و گزینهٔ اول نادرست است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۵۵–۵۶).

گام دوم: وابستگی دوره به شعاع مدار را به دست می‌آوریم. در حرکت دایره‌ای یکنواخت، دوره برابر است با:
$\displaystyle T=\frac{2\pi r}{v}$
(فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۴۸–۴۹).
با به توان دو رساندن و جای‌گذاری رابطهٔ تندی داریم:
$\displaystyle T^2=\frac{4\pi^2r^2}{v^2}=\frac{4\pi^2r^2}{GM_e/r}=\frac{4\pi^2}{GM_e}r^3$
برای مدارهای پیرامون زمین، ضریب $4\pi^2/(GM_e)$ ثابت است؛ در نتیجه:
$\displaystyle T^2\propto r^3$
بنابراین مربع دورهٔ گردش با مکعب فاصله از مرکز زمین متناسب است.

گام سوم: دو ادعای دیگر را بررسی می‌کنیم. شتاب مرکزگرای ماهواره از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
$\displaystyle a=\frac{v^2}{r}=\frac{GM_e}{r^2}$
پس شتاب با مربع فاصله نسبت عکس دارد و گزینهٔ سوم نادرست است. همچنین وزن گرانشی یک ماهوارهٔ معین برابر است با:
$\displaystyle W=\frac{GM_e m}{r^2}$
بنابراین وزن نیز با مربع فاصله نسبت عکس دارد، نه با جذر فاصله؛ پس گزینهٔ چهارم هم نادرست است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۵۵–۵۶).

پاسخ: گزینهٔ ۲