سوالات فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: ارتباط کاهش انرژی جنبشی با ارتفاع را بنویسیم.
با صرف‌نظر از مقاومت هوا، تنها نیروی وارد بر گلوله در طول پرواز، نیروی وزن است. طبق قضیهٔ کار و انرژی جنبشی، $W_{\text{کل}}=\Delta K$ (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۲–۶۳). از طرفی، کار نیروی وزن برابر با منفی تغییر انرژی پتانسیل گرانشی است و $U=mgh$ (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۵). بنابراین، با انتخاب سطح زمین به‌عنوان مبدأ انرژی پتانسیل، داریم:
$K-K_0=-mgh$
پس:
$K_0-K=mgh$
یعنی کاهش انرژی جنبشی گلوله برابر با افزایش انرژی پتانسیل گرانشی است.

گام دوم: دادهٔ درصدی سؤال را به رابطه تبدیل کنیم.
انرژی جنبشی تا ارتفاع $42\,\mathrm{m}$ به اندازهٔ $30\%$ کاهش یافته است؛ بنابراین:
$0.30K_0=mg\times42\,\mathrm{m}$
دقت کنید که انرژی جنبشی باقی‌مانده در این ارتفاع، $0.70K_0$ است، اما مقدار کاهش آن $0.30K_0$ است.

گام سوم: وضعیت گلوله در اوج را بررسی کنیم.
در بالاترین نقطه، سرعت لحظه‌ای و در نتیجه انرژی جنبشی گلوله صفر است. پس اگر ارتفاع اوج را $H$ بنامیم، تمام انرژی جنبشی اولیه به انرژی پتانسیل گرانشی تبدیل شده است:
$K_0=mgH$
با جای‌گذاری در رابطهٔ گام قبل:
$0.30mgH=mg\times42\,\mathrm{m}$
با حذف عامل مشترک $mg$:
$H=\frac{42\,\mathrm{m}}{0.30}=140\,\mathrm{m}$
بنابراین برای محاسبهٔ ارتفاع اوج، نیازی به جرم گلوله یا جای‌گذاری مقدار شتاب گرانش نداریم.

پاسخ: گزینهٔ ۳

چون سؤال دربارهٔ تغییر طول پل است، از رابطهٔ انبساط طولی استفاده می‌کنیم. طبق کتاب، افزایش طول با طول اولیه و تغییر دما متناسب است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۸۸–۸۹):
$\Delta L=\alpha L_1\Delta T$

گام اول: داده‌ها را مشخص می‌کنیم. در صورت سؤال، علامت «/» نقش ممیز را دارد؛ بنابراین طول اولیه، طول نهایی و ضریب انبساط عبارت‌اند از:
$L_1=900\,\mathrm{m}$
$L_2=900.9\,\mathrm{m}$
$\alpha=1.25\times10^{-5}\,\mathrm{K^{-1}}$

گام دوم: افزایش طول پل را به دست می‌آوریم:
$\Delta L=L_2-L_1=900.9-900=0.9\,\mathrm{m}$
دقت کنید که در رابطهٔ انبساط، باید افزایش طول را جای‌گذاری کنیم، نه طول نهایی پل.

گام سوم: رابطه را برای اختلاف دما حل می‌کنیم:
$\Delta T=\dfrac{\Delta L}{\alpha L_1}$
$\Delta T=\dfrac{0.9}{(1.25\times10^{-5})\times900}=\dfrac{0.9}{0.01125}=80\,\mathrm{K}$

اختلاف دو دما برحسب کلوین و درجهٔ سلسیوس از نظر عددی برابر است؛ به همین دلیل در رابطهٔ انبساط طولی می‌توان تغییر دما را با هر یک از این دو یکا بیان کرد (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۸۹). پس:
$T_{\max}-T_{\min}=80\,{}^\circ\mathrm{C}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

دو شرط باید هم‌زمان برقرار باشند: $W>0$ و $\Delta U<0$.

گام اول ـ تعیین علامت کار:
در قرارداد کتاب، $W$ کارِ محیط روی گاز است؛ این کار در تراکم مثبت و در انبساط منفی است. برای فرایند هم‌فشار نیز داریم $W=-P\Delta V$؛ پس کاهش حجم، یعنی $\Delta V<0$، موجب $W>0$ می‌شود (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۳). بنابراین فرایند موردنظر باید تراکم باشد و هر دو فرایند انبساطی کنار می‌روند.

گام دوم ـ بررسی تراکم بی‌دررو:
در فرایند بی‌دررو تبادل گرما نداریم، یعنی $Q=0$. از قانون اول ترمودینامیک نتیجه می‌شود:
$\Delta U=Q+W=W$.
پس در تراکم بی‌دررو، چون $W>0$ است، انرژی درونی نیز افزایش می‌یابد؛ بنابراین این فرایند شرط دوم را ندارد (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۷).

گام سوم ـ بررسی تراکم هم‌فشار:
برای مقدار ثابتی گاز آرمانی در فشار ثابت داریم:
$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$.
در تراکم، $V_2<V_1$ است؛ بنابراین $T_2<T_1$ خواهد بود. این رابطه و کاهش دما در تراکم هم‌فشار در مثال کتاب نیز به‌کار رفته است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۴). چون انرژی درونی گاز آرمانی با کاهش دما کاهش می‌یابد، $\Delta U<0$ است؛ از سوی دیگر، کار محیط روی گاز در این تراکم مثبت است. پس هر دو شرط سؤال برقرارند.

نکته: مثبت‌بودن کار روی گاز به‌تنهایی به معنی افزایش انرژی درونی نیست؛ در این فرایند گاز آن‌قدر گرما از دست می‌دهد که با وجود دریافت کار، انرژی درونی‌اش کاهش می‌یابد.

پاسخ: گزینهٔ ۱

نکتهٔ اصلی سؤال، تفاوت «لحظهٔ مشاهده» با «مدت حرکت» است؛ متحرک $\mathrm{B}$ با تأخیر $2\,\mathrm{s}$ شروع به حرکت می‌کند.

گام اول: نوشتن رابطهٔ مکان دو متحرک
در حرکت با شتاب ثابت، سرعت به‌صورت خطی با زمان تغییر می‌کند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۵). همچنین جابه‌جایی برابر مساحت زیر نمودار سرعت ــ زمان است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۲۰–۲۱). بنابراین برای حرکت از حال سکون، با مدت حرکت $\tau$ داریم:
$\Delta x=\frac12\tau v=\frac12 a\tau^2$.

نقطهٔ شروع مشترک را مبدأ مکان و جهت حرکت را جهت مثبت می‌گیریم. پس:
$x_{\mathrm A}=\frac12 at^2$،
$x_{\mathrm B}=\frac12\left(a+0.5\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\right)(t-2\,\mathrm s)^2\qquad(t\geq2\,\mathrm s)$.

گام دوم: تعیین شتاب از شرط رسیدن
در لحظهٔ $t=6\,\mathrm s$، مدت حرکت متحرک اول $6\,\mathrm s$ و مدت حرکت متحرک دوم $4\,\mathrm s$ است. چون در این لحظه به یکدیگر می‌رسند، مکان‌هایشان برابر است:
$\frac12 a(6\,\mathrm s)^2=\frac12\left(a+0.5\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\right)(4\,\mathrm s)^2$.
با ساده‌سازی:
$36a=16\left(a+0.5\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\right)$،
$20a=8\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$،
$a=0.4\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$.
پس شتاب متحرک دوم برابر است با:
$a_{\mathrm B}=0.9\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$.

گام سوم: محاسبهٔ فاصله در لحظهٔ خواسته‌شده
در لحظهٔ $t=10\,\mathrm s$، مدت حرکت دو متحرک به‌ترتیب $10\,\mathrm s$ و $8\,\mathrm s$ است. بنابراین:
$x_{\mathrm A}=\frac12\left(0.4\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\right)(10\,\mathrm s)^2=20\,\mathrm m$،
$x_{\mathrm B}=\frac12\left(0.9\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\right)(8\,\mathrm s)^2=28.8\,\mathrm m$.
فاصلهٔ دو متحرک، قدرمطلق اختلاف مکان آن‌هاست:
$d=|x_{\mathrm B}-x_{\mathrm A}|=|28.8-20|\,\mathrm m=8.8\,\mathrm m$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق مبحث سقوط آزاد، با نادیده‌گرفتن مقاومت هوا، هر دو گلوله شتاب ثابت و یکسانِ رو به پایین دارند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۱–۲۲). برای محاسبه، تقریب معمول $g\simeq 10\,\mathrm{m/s^2}$ را به کار می‌بریم.

گام اول ــ وضعیت هنگام رهاشدن گلولهٔ دوم:
مبدأ زمان را همین لحظه و جهت مثبت را رو به پایین می‌گیریم. گلولهٔ اول به مدت $1\,\mathrm{s}$ سقوط کرده است؛ پس جابه‌جایی و سرعت آن برابرند با:
$\Delta y_1=\frac{1}{2}g(1\,\mathrm{s})^2=5\,\mathrm{m}$
$v_{1,0}=g(1\,\mathrm{s})=10\,\mathrm{m/s}$
بنابراین گلولهٔ اول در ارتفاع $95\,\mathrm{m}$ از زمین است. گلولهٔ دوم از $10\,\mathrm{m}$ پایین‌تر از مکان همان لحظهٔ گلولهٔ اول، یعنی از ارتفاع $85\,\mathrm{m}$ و با سرعت اولیهٔ صفر رها می‌شود.

گام دوم ــ بررسی اختلاف مکان دو گلوله:
مبدأ مکان را محل گلولهٔ اول در لحظهٔ رهاشدن گلولهٔ دوم قرار می‌دهیم. اگر $t$ زمان سپری‌شده از این لحظه باشد، داریم:
$y_1=(10\,\mathrm{m/s})t+\frac{1}{2}gt^2$
$y_2=10\,\mathrm{m}+\frac{1}{2}gt^2$
با کم‌کردن دو رابطه، جمله‌های شتاب حذف می‌شوند:
$y_2-y_1=10\,\mathrm{m}-(10\,\mathrm{m/s})t$
پس فاصلهٔ دو گلوله برابر است با:
$d=\left|10\,\mathrm{m}-(10\,\mathrm{m/s})t\right|$
این فاصله ابتدا کاهش می‌یابد و در $t=1\,\mathrm{s}$ به صفر می‌رسد. پس از آن، گلولهٔ اول که سرعت بیشتری دارد پایین‌تر می‌رود و فاصله افزایش می‌یابد.

گام سوم ــ آیا هم‌مکان‌شدن پیش از برخورد با زمین رخ می‌دهد؟
در لحظهٔ هم‌مکان‌شدن، از آغاز سقوط گلولهٔ اول $2\,\mathrm{s}$ گذشته است. ارتفاع آن در این لحظه برابر است با:
$h=100\,\mathrm{m}-\frac{1}{2}(10\,\mathrm{m/s^2})(2\,\mathrm{s})^2=80\,\mathrm{m}$
بنابراین دو گلوله پیش از رسیدن گلولهٔ اول به زمین هم‌مکان می‌شوند و پس از آن نیز تا برخورد گلولهٔ اول با زمین، فاصله‌شان افزایش می‌یابد. در نتیجه، فاصله ابتدا کاهش و سپس افزایش پیدا می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۴

جهت حرکت خودروها را مثبت می‌گیریم؛ بنابراین شتاب ترمزگیری آن‌ها منفی است. توجه به علامت جبری سرعت و شتاب در حرکت بر خط راست ضروری است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱).

گام اول: بررسی یک ثانیهٔ نخست
از لحظهٔ شروع ترمزگیری خودروی $\mathrm{A}$ تا شروع ترمزگیری خودروی $\mathrm{B}$، مدت $1\,\mathrm{s}$ می‌گذرد. با استفاده از رابطهٔ جابه‌جایی در حرکت با شتاب ثابت، $\Delta x=v_0t+\tfrac12at^2$، جابه‌جایی خودروی جلو برابر است با:
$\Delta x_{\mathrm{A}}=8(1)+\tfrac12(-2)(1)^2=7\,\mathrm{m}$.
خودروی عقب در این بازه هنوز با سرعت ثابت حرکت می‌کند، پس:
$\Delta x_{\mathrm{B}}=20(1)=20\,\mathrm{m}$.
بنابراین فاصلهٔ دو خودرو در لحظهٔ شروع ترمزگیری خودروی عقب برابر می‌شود با:
$d=46+7-20=33\,\mathrm{m}$.

طبق معادلهٔ $v=v_0+at$ برای حرکت با شتاب ثابت (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۵)، سرعت خودروی جلو در همین لحظه برابر است با:
$v_{\mathrm{A}}=8-2(1)=6\,\mathrm{m/s}$.

گام دوم: تعیین زمان رسیدن پس از شروع ترمزگیری خودروی عقب
مبدأ زمان جدید را آغاز ترمزگیری خودروی $\mathrm{B}$ و زمان سپری‌شده از آن را $\tau$ می‌نامیم. مبدأ مکان را نیز مکان همین خودرو در این لحظه انتخاب می‌کنیم. در نتیجه، با نوشتن معادلات مکان در SI داریم:
$x_{\mathrm{B}}=20\tau-2\tau^2$،
$x_{\mathrm{A}}=33+6\tau-\tau^2$.
در لحظهٔ رسیدن، مکان دو خودرو برابر است؛ همان شرطی که در مسائل رسیدن دو متحرک به کار می‌رود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۲۷–۲۸، تمرین ۲۱). پس:
$20\tau-2\tau^2=33+6\tau-\tau^2$،
$\tau^2-14\tau+33=0$،
$(\tau-3)(\tau-11)=0$.
نخستین رسیدن در $\tau=3\,\mathrm{s}$ رخ می‌دهد. ریشهٔ بزرگ‌تر مربوط به نخستین رسیدن نیست؛ همچنین ادامه‌دادن این معادلات تا آن زمان، خودروها را پس از توقف به حرکت در جهت معکوس می‌برد و توصیف ترمزکردن آن‌ها نیست.

گام سوم: محاسبهٔ سرعت خواسته‌شده
خودروی $\mathrm{B}$ تا لحظهٔ رسیدن، به مدت $3\,\mathrm{s}$ ترمز کرده است؛ بنابراین:
$v_{\mathrm{B}}=20-4(3)=8\,\mathrm{m/s}$.
برای بررسی سازگاری، سرعت خودروی جلو در همین لحظه $v_{\mathrm{A}}=6-2(3)=0$ است؛ یعنی رسیدن دقیقاً هم‌زمان با توقف خودروی جلو رخ می‌دهد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

فاصلهٔ ماهواره از مرکز زمین را $r$، جرم زمین را $M_e$ و جرم ماهواره را $m$ می‌نامیم. توجه کنید که $r$ شعاع مدار است، نه ارتفاع از سطح زمین؛ اگر ارتفاع $h$ باشد، داریم $r=R_e+h$.

گام اول: نیروی گرانشی را با نیروی مرکزگرا برابر می‌گذاریم. نیروی مرکزگرا نیروی جداگانه‌ای نیست؛ در این مسئله، گرانش زمین همان نیروی خالص رو به مرکز را فراهم می‌کند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۲). بنابراین، مطابق روش مثال ماهواره در کتاب:
$\displaystyle \frac{GM_e m}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$
با حذف جرم ماهواره و ساده‌سازی داریم:
$\displaystyle v^2=\frac{GM_e}{r}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM_e}{r}}$
پس تندی مداری با جذر فاصله از مرکز زمین نسبت عکس دارد و گزینهٔ اول نادرست است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۵۵–۵۶).

گام دوم: وابستگی دوره به شعاع مدار را به دست می‌آوریم. در حرکت دایره‌ای یکنواخت، دوره برابر است با:
$\displaystyle T=\frac{2\pi r}{v}$
(فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۴۸–۴۹).
با به توان دو رساندن و جای‌گذاری رابطهٔ تندی داریم:
$\displaystyle T^2=\frac{4\pi^2r^2}{v^2}=\frac{4\pi^2r^2}{GM_e/r}=\frac{4\pi^2}{GM_e}r^3$
برای مدارهای پیرامون زمین، ضریب $4\pi^2/(GM_e)$ ثابت است؛ در نتیجه:
$\displaystyle T^2\propto r^3$
بنابراین مربع دورهٔ گردش با مکعب فاصله از مرکز زمین متناسب است.

گام سوم: دو ادعای دیگر را بررسی می‌کنیم. شتاب مرکزگرای ماهواره از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
$\displaystyle a=\frac{v^2}{r}=\frac{GM_e}{r^2}$
پس شتاب با مربع فاصله نسبت عکس دارد و گزینهٔ سوم نادرست است. همچنین وزن گرانشی یک ماهوارهٔ معین برابر است با:
$\displaystyle W=\frac{GM_e m}{r^2}$
بنابراین وزن نیز با مربع فاصله نسبت عکس دارد، نه با جذر فاصله؛ پس گزینهٔ چهارم هم نادرست است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۵۵–۵۶).

پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق رابطهٔ نیروی خالص متوسط برحسب تکانه، نیرو برابر با تغییر بردار تکانه تقسیم بر مدت بازهٔ زمانی است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۷–۴۸):
$\vec{F}_{\mathrm{av}}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}=\dfrac{\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)}{t_2-t_1}$.

ابتدا تکانه را در دو سر بازه محاسبه می‌کنیم. با توجه به اینکه معادله در دستگاه SI داده شده است، داریم:
$\vec{p}(1)=(3\times1-6)\vec{i}=(-3\,\mathrm{kg\cdot m/s})\vec{i}$،
$\vec{p}(3)=(3\times3-6)\vec{i}=(3\,\mathrm{kg\cdot m/s})\vec{i}$.

پس تغییر تکانه، با رعایت ترتیب «نهایی منهای اولیه»، برابر است با:
$\Delta\vec{p}=\bigl[3-(-3)\bigr]\vec{i}=(6\,\mathrm{kg\cdot m/s})\vec{i}$.

مدت بازه نیز برابر است با:
$\Delta t=(3-1)\,\mathrm{s}=2\,\mathrm{s}$.

بنابراین:
$\vec{F}_{\mathrm{av}}=\dfrac{(6\,\mathrm{kg\cdot m/s})\vec{i}}{2\,\mathrm{s}}=(3\,\mathrm{N})\vec{i}$.

علامت مثبت نشان می‌دهد نیروی خالص متوسط در جهت مثبت محور $x$ است. جرم داده‌شده در این روش لازم نیست، زیرا تکانه مستقیماً در اختیار ماست؛ ضرب دوبارهٔ آن در جرم نادرست است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ تعیین نیروی عمودی سطح و بررسی شروع حرکت:
نیروهای وارد بر جسم عبارت‌اند از وزن رو به پایین، نیروی عمودی سطح رو به بالا، نیروی افقی اعمال‌شده و اصطکاک در خلاف جهت حرکت. چون جسم در راستای قائم شتاب ندارد، مطابق روش حل مسائل دینامیک داریم (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۴۴–۴۵):
$F_N-mg=0\quad\Rightarrow\quad F_N=5\times10=50\,\mathrm{N}$.
بیشینهٔ اصطکاک ایستایی برابر است با:
$f_{s,\max}=\mu_sF_N=0.5\times50=25\,\mathrm{N}$.
چون $26\,\mathrm{N}>25\,\mathrm{N}$، اصطکاک ایستایی نمی‌تواند جسم را ساکن نگه دارد و جسم شروع به حرکت می‌کند.

گام دوم ـ محاسبهٔ شتاب هنگام حرکت:
هنگام لغزش باید از اصطکاک جنبشی استفاده کنیم، نه بیشینهٔ اصطکاک ایستایی. طبق رابطهٔ اصطکاک جنبشی (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۴۲):
$f_k=\mu_kF_N=0.4\times50=20\,\mathrm{N}$.
با انتخاب جهت نیروی اعمال‌شده به‌عنوان جهت مثبت و استفاده از قانون دوم نیوتون (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۳۲):
$F-f_k=ma\quad\Rightarrow\quad a=\frac{26-20}{5}=1.2\,\mathrm{m/s^2}$.
شتاب در جهت نیروی اعمال‌شده است.

گام سوم ـ محاسبهٔ نیرویی که جسم به سطح وارد می‌کند:
طبق قانون سوم نیوتون، جسم در واکنش به نیروی عمودی سطح، نیرویی به اندازهٔ $50\,\mathrm{N}$ رو به پایین به سطح وارد می‌کند. همچنین در واکنش به اصطکاک جنبشی، نیرویی افقی به اندازهٔ $20\,\mathrm{N}$ در جهت حرکت به سطح وارد می‌کند. بنابراین نیروی خواسته‌شده، برآیند این دو مؤلفهٔ عمود بر هم است، نه صرفاً نیروی عمودی:
$R=\sqrt{F_N^2+f_k^2}=\sqrt{50^2+20^2}=\sqrt{2900}=10\sqrt{29}\,\mathrm{N}$.
پس شتاب و اندازهٔ نیروی جسم بر سطح به‌ترتیب $1.2\,\mathrm{m/s^2}$ و $10\sqrt{29}\,\mathrm{N}$ هستند.
پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: تبدیل واحدها
برای استفاده از رابطهٔ نیروی مرکزگرا، داده‌ها را به یکاهای SI تبدیل می‌کنیم:
$m=2\,\mathrm{t}=2000\,\mathrm{kg}$
$v=18\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=18\times\frac{1000}{3600}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
$r=20\,\mathrm{m}$

گام دوم: محاسبهٔ نیروی مرکزگرا
با اینکه تندی خودرو ثابت است، جهت سرعت آن تغییر می‌کند؛ بنابراین شتاب و نیروی خالص رو به مرکز دارد. طبق قانون دوم نیوتون برای حرکت دایره‌ای یکنواخت:
$F_{\mathrm{c}}=\frac{mv^2}{r}$
(فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۲)
با جای‌گذاری داده‌ها:
$F_{\mathrm{c}}=\frac{2000\times 5^2}{20}=2500\,\mathrm{N}$

گام سوم: تشخیص نیروی تأمین‌کننده
در سطح افقی، نیروی وزن و نیروی عمودی سطح در راستای قائم یکدیگر را خنثی می‌کنند و هیچ‌یک نیروی افقیِ رو به مرکز را تأمین نمی‌کند. در دور زدن معمولی خودرو، لاستیک‌ها روی جاده نمی‌لغزند؛ بنابراین نیروی اصطکاک ایستاییِ جاده بر لاستیک‌ها به سمت مرکز پیچ وارد می‌شود و نیروی مرکزگرای لازم را تأمین می‌کند؛ همین نکته در راهنمای تمرین پیچ افقی خودرو بیان شده است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۳).

پس نیروی مرکزگرا نیروی جداگانه‌ای علاوه بر اصطکاک نیست؛ در این مسئله همان نیروی اصطکاک ایستایی با بزرگی $2500\,\mathrm{N}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: نسبت شدت‌ها را به دست می‌آوریم.
طبق تعریف کتاب، شدت صوت برابر توان متوسط عبوری از واحد سطح است: $I=P_\mathrm{av}/A$ (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۸۰). با فرض انتشار یکنواخت صوت در همهٔ جهت‌ها و صرف‌نظر از جذب، توان چشمه در فاصلهٔ $r$ از سطح کره‌ای به مساحت $A=4\pi r^2$ عبور می‌کند؛ بنابراین:
$I=\frac{P_\mathrm{av}}{4\pi r^2}$
در این سؤال، $P_2=2P_1$ و $r_2=r_1/2$ است. پس:
$\frac{I_2}{I_1}=\frac{P_2}{P_1}\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=2\times 2^2=8$
بنابراین شدت صوت $8$ برابر می‌شود؛ اما سؤال تغییر «تراز شدت صوت» را می‌خواهد، نه نسبت شدت‌ها.

گام دوم: تغییر تراز شدت صوت را محاسبه می‌کنیم.
طبق تعریف تراز شدت صوت، $\beta=(10\,\mathrm{dB})\log(I/I_0)$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۸۰). با کم‌کردن تراز اولیه از تراز نهایی، شدت مرجع حذف می‌شود:
$\Delta\beta=\beta_2-\beta_1=(10\,\mathrm{dB})\log\left(\frac{I_2}{I_1}\right)$
با جای‌گذاری نسبت شدت‌ها و استفاده از $\log 2=0.3$ داریم:
$\Delta\beta=(10\,\mathrm{dB})\log 8=(10\,\mathrm{dB})\times 3\log 2=(10\,\mathrm{dB})\times 3\times 0.3=9\,\mathrm{dB}$
علامت مثبت این اختلاف نشان می‌دهد تراز شدت صوت $9\,\mathrm{dB}$ افزایش می‌یابد.
پاسخ: گزینهٔ ۴

در این سؤال، ممیز با علامت «/» نوشته شده است؛ بنابراین افزایش دوره $12.5\%$ است و گزینه‌ها نیز عددهای اعشاری‌اند.

گام اول: رابطهٔ دوره و طول آونگ
طبق رابطهٔ دورهٔ آونگ ساده، برای نوسان‌های با زاویهٔ کوچک داریم (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۷–۶۸):
$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$
پس در شتاب گرانشی ثابت:
$\frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$
چون دوره افزایش یافته است، طول نیز افزایش یافته؛ بنابراین:
$L_2=L_1+0.17\,\mathrm{m}$

گام دوم: استفاده از درصد افزایش دوره
افزایش $12.5\%$ یعنی:
$T_2=(1+0.125)T_1=\frac{9}{8}T_1$
در نتیجه:
$\frac{L_2}{L_1}=\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2=\frac{81}{64}$
پس افزایش طول برابر است با:
$L_2-L_1=\left(\frac{81}{64}-1\right)L_1=\frac{17}{64}L_1$
با توجه به دادهٔ سؤال:
$\frac{17}{64}L_1=0.17\,\mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad L_1=0.64\,\mathrm{m}$

گام سوم: محاسبهٔ دورهٔ اولیه
با جای‌گذاری طول اولیه و شتاب گرانشی داده‌شده:
$T_1=2\pi\sqrt{\frac{0.64\,\mathrm{m}}{\pi^2\,\mathrm{m/s^2}}}=2\sqrt{0.64}\,\mathrm{s}=1.6\,\mathrm{s}$
بنابراین دورهٔ آونگ پیش از تغییر طول، $1.6\,\mathrm{s}$ بوده است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا توجه کنید که علامت «/» در داده‌های سؤال، ممیز اعشاری است؛ بنابراین $\Delta t=0.02\,\mathrm{s}$ و تندی متوسط برابر $1.5\,\mathrm{m/s}$ است.

گام اول: تعیین دورهٔ نوسان
طبق رابطه‌های $x=A\cos\omega t$ و $\omega=\frac{2\pi}{T}$ در کتاب، ضریب زمان در شناسهٔ کسینوس همان بسامد زاویه‌ای است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۳). پس:
$\omega=50\pi\,\mathrm{rad/s}$
$T=\frac{2\pi}{50\pi}=0.04\,\mathrm{s}$
بنابراین بازهٔ زمانی داده‌شده برابر نصف دوره است:
$\Delta t=0.02\,\mathrm{s}=\frac{T}{2}$.

گام دوم: تعیین مسافت طی‌شده
در ابتدا و انتهای این بازه داریم:
$x(0)=A\cos 0=A$
$x(0.02)=A\cos(50\pi\times0.02)=A\cos\pi=-A$.
پس نوسانگر از یک انتهای مسیر به انتهای مقابل می‌رود و در میانهٔ این بازه تغییر جهت نمی‌دهد. طبق تعریف کتاب، دامنه بیشترین فاصله از تعادل است، نه فاصلهٔ دو انتهای مسیر؛ در نتیجه مسافت طی‌شده برابر $2A$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۳).

گام سوم: استفاده از تعریف تندی متوسط
تندی متوسط برابر نسبت مسافت طی‌شده به مدت حرکت است؛ بنابراین:
$\bar{v}_{\text{تندی}}=\frac{2A}{\Delta t}$
$1.5=\frac{2A}{0.02}$
$A=\frac{1.5\times0.02}{2}\,\mathrm{m}=0.015\,\mathrm{m}=1.5\,\mathrm{cm}$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: تعیین طول موج
در هماهنگ اولِ تارِ دو سر ثابت، بین دو گرهٔ انتهایی فقط یک شکم وجود دارد؛ پس طول تار برابر نصف طول موج است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷):
$L=\frac{\lambda}{2}\quad\Rightarrow\quad\lambda=2L$
با تبدیل طول تار به متر داریم:
$L=50\,\mathrm{cm}=0.50\,\mathrm{m}$
بنابراین:
$\lambda=2(0.50)=1.00\,\mathrm{m}$

گام دوم: محاسبهٔ بسامد
با استفاده از رابطهٔ تندی موج و بسامد:
$f=\frac{v}{\lambda}=\frac{250}{1.00}=250\,\mathrm{Hz}$

گام سوم: محاسبهٔ زمان یک نوسان کامل
زمان لازم برای یک نوسان کامل، دورهٔ نوسان است. همهٔ نقاطِ نوسان‌کنندهٔ تار بسامد و دورهٔ یکسان دارند؛ البته گره‌ها ساکن‌اند. پس:
$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{250}\,\mathrm{s}=0.004\,\mathrm{s}$
با توجه به $1\,\mathrm{s}=1000\,\mathrm{ms}$، نتیجه می‌شود:
$T=4\,\mathrm{ms}$
پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. مطابق مدل بور، انرژی ترازهای مجاز اتم هیدروژن از رابطهٔ $E_n=-E_R/n^2$ به دست می‌آید که در آن $E_R=13.6\,\mathrm{eV}$ است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۲۷). در جذب فوتون، الکترون به تراز بالاتر می‌رود و انرژی فوتون باید دقیقاً برابر اختلاف انرژی دو تراز باشد (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۱۳۱). پس:
$E_\gamma=E_n-E_{n'}=13.6\,\mathrm{eV}\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right)$.

۲. ابتدا مدار اولیه را مشخص می‌کنیم. اگر الکترون در مدار $n'=2$ باشد، برای رسیدن به مرز یونش، یعنی انرژی صفر، فقط به انرژی $13.6/2^2=3.4\,\mathrm{eV}$ نیاز دارد؛ بنابراین اختلاف انرژی این مدار با هر مدار مقید بالاتر، کمتر از $3.4\,\mathrm{eV}$ است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۱۲۷–۱۲۸). پس فوتون با انرژی $12.75\,\mathrm{eV}$ نمی‌تواند گذار بین دو مدار مقید با مدار اولیهٔ دوم را ایجاد کند. در میان گزینه‌ها، مدار اولیه باید $n'=1$ باشد.

۳. انرژی مدار اولیه $E_1=-13.6\,\mathrm{eV}$ است. با جذب فوتون داریم:
$E_n=E_1+E_\gamma=-13.6\,\mathrm{eV}+12.75\,\mathrm{eV}=-0.85\,\mathrm{eV}$.
اکنون از رابطهٔ انرژی ترازها استفاده می‌کنیم:
$-\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2}=-0.85\,\mathrm{eV}\quad\Rightarrow\quad n^2=\frac{13.6}{0.85}=16\quad\Rightarrow\quad n=4$.

بنابراین مدارهای اولیه و نهایی به‌ترتیب $n'=1$ و $n=4$ هستند.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: نوشتن رابطهٔ فوتوالکتریک
طبق معادلهٔ فوتوالکتریک، بیشینهٔ انرژی جنبشی فوتوالکترون‌ها از کم‌کردن تابع کار فلز از انرژی فوتون به دست می‌آید (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۳۴):
$K_{\max}=hf-W_0=\frac{hc}{\lambda}-W_0$.
رابطهٔ اخیر در مثال حل‌شدهٔ کتاب نیز به کار رفته است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۰).

گام دوم: مقایسهٔ دو آزمایش
انرژی فوتون در آزمایش اول را $E$ می‌نامیم. چون در آزمایش دوم طول موج نصف می‌شود، داریم:
$\lambda_2=\frac{\lambda_1}{2}\quad\Rightarrow\quad E_2=\frac{hc}{\lambda_2}=2E$.
تابع کار به جنس فلز بستگی دارد و در این دو آزمایش تغییر نمی‌کند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۸). بنابراین:
$K_1=E-W_0$،
$K_2=2E-W_0$.

گام سوم: استفاده از نسبت داده‌شده
طبق صورت سؤال، $K_2=6K_1$؛ پس:
$2E-W_0=6(E-W_0)$
$2E-W_0=6E-6W_0$
$4E=5W_0$.
با قرار دادن $W_0=4\,\mathrm{eV}$ به دست می‌آید:
$E=\frac{5}{4}W_0=5\,\mathrm{eV}$.

گام چهارم: محاسبهٔ طول موج آزمایش اول
با ثابت‌های داده‌شده در سؤال:
$hc=(4\times10^{-15}\,\mathrm{eV\cdot s})(3\times10^8\,\mathrm{m/s})=1.2\times10^{-6}\,\mathrm{eV\cdot m}$.
در نتیجه:
$\lambda_1=\frac{hc}{E}=\frac{1.2\times10^{-6}\,\mathrm{eV\cdot m}}{5\,\mathrm{eV}}=2.4\times10^{-7}\,\mathrm{m}=240\,\mathrm{nm}$.

برای بررسی، در آزمایش اول $K_1=5-4=1\,\mathrm{eV}$ و در آزمایش دوم $K_2=10-4=6\,\mathrm{eV}$ است؛ بنابراین نسبت خواسته‌شده برقرار است.
پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: هدف غنی‌سازی را مشخص می‌کنیم. در اورانیم طبیعی، فراوانی ایزوتوپ $\mathrm{^{235}_{92}U}$ کم و حدود $0.72\%$ است؛ بنابراین برای استفاده از اورانیم به‌عنوان سوخت، باید سهم این ایزوتوپ در نمونه افزایش یابد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۹).

گام دوم: تعریف کتاب را به کار می‌بریم. غنی‌سازی یعنی افزایش درصد یا غلظت ایزوتوپ $\mathrm{^{235}_{92}U}$ در یک نمونهٔ اورانیم؛ پس موضوع، افزایش «سهم یک ایزوتوپ در نمونه» است، نه افزایش جرم هسته یا تبدیل یک ایزوتوپ به ایزوتوپی دیگر (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۵۰).

گام سوم: گزینه‌ها را مقایسه می‌کنیم. دو گزینهٔ نخست از تبدیل ایزوتوپ‌ها سخن می‌گویند و گزینهٔ سوم افزایش درصد اورانیم $238$ را مطرح می‌کند؛ هیچ‌کدام با تعریف غنی‌سازی سازگار نیستند. افزایش درصد اورانیم $235$ همان فرایند موردنظر است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا انرژی و اختلاف پتانسیل اولیه را به‌ترتیب $U_i$ و $V_i$ و مقادیر نهایی را $U_f$ و $V_f$ می‌نامیم. چون فقط بار خازن کاهش می‌یابد و ساختار آن تغییر نمی‌کند، ظرفیت خازن ثابت است.

طبق رابطهٔ انرژی خازن، داریم (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۹):
$U=\frac{1}{2}CV^2$

پس در ظرفیت ثابت، انرژی با مربع اختلاف پتانسیل متناسب است. با توجه به شرط سؤال، $V_f=\frac{3}{4}V_i$، بنابراین:
$\frac{U_f}{U_i}=\frac{\frac{1}{2}CV_f^2}{\frac{1}{2}CV_i^2}=\left(\frac{V_f}{V_i}\right)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}$

این مقدار، کسر انرژی باقی‌مانده است؛ اما سؤال کسر انرژی کاهش‌یافته را می‌خواهد. در نتیجه:
$\frac{U_i-U_f}{U_i}=1-\frac{U_f}{U_i}=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$

پس باید $\frac{7}{16}$ از انرژی اولیهٔ خازن کاهش یابد.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: داده‌ها را با علامت درست به یکاهای اصلی تبدیل می‌کنیم. چون انرژی پتانسیل افزایش یافته است، تغییر آن مثبت است:
$q=-20\,\mathrm{nC}=-20\times10^{-9}\,\mathrm{C}$
$\Delta U_E=+2\,\mathrm{mJ}=+2\times10^{-3}\,\mathrm{J}$

گام دوم: طبق تعریف اختلاف پتانسیل، تغییر انرژی پتانسیل را بر بار الکتریکیِ علامت‌دار تقسیم می‌کنیم (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۳–۲۴):
$V_B-V_A=\frac{\Delta U_E}{q}=\frac{2\times10^{-3}}{-20\times10^{-9}}=-10^5\,\mathrm{V}$
بنابراین پتانسیل نقطهٔ $B$ از پتانسیل نقطهٔ $A$ کمتر است. نکتهٔ مهم این است که افزایش انرژی پتانسیلِ بار منفی، به معنای افزایش پتانسیل نیست.

گام سوم: جهت حرکت را تعیین می‌کنیم. طبق رابطهٔ $W_E=-\Delta U_E$، افزایش انرژی پتانسیل یعنی میدان روی بار کار منفی انجام داده است؛ پس نیروی الکتریکی و جابه‌جایی خلاف جهت یکدیگرند. از طرف دیگر، بنا بر $\vec F=q\vec E$، نیروی وارد بر بار منفی خلاف جهت میدان است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰–۱۱). در نتیجه جابه‌جایی بار در جهت میدان است. این نتیجه با قاعدهٔ کتاب نیز سازگار است: انرژی پتانسیل بار منفی هنگام جابه‌جایی در جهت میدان افزایش می‌یابد (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۲–۲۳).

پس اختلاف پتانسیل برابر $-10^5\,\mathrm{V}$ و حرکت در جهت میدان الکتریکی است.
پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: هندسهٔ شکل را بررسی می‌کنیم.
مثلث، قائم‌الزاویه است و یکی از زاویه‌های تند آن $45^\circ$ است؛ پس دو ساق آن برابرند. بنابراین، خط وصل‌کنندهٔ رأسِ حامل $q_1$ به وسط وتر، یعنی $M$، افقی و بر وتر عمود است. همچنین وسط وتر از هر سه رأس فاصلهٔ یکسان دارد. این فاصله را $r$ می‌نامیم:
$Mq_1=Mq_2=Mq_3=r$.

گام دوم: بزرگی و جهت میدان هر بار را تعیین می‌کنیم.
طبق رابطهٔ میدان بار نقطه‌ای، $E_i=k|q_i|/r^2$ است. چون فاصله‌ها برابرند، با تعریف $E_0=\frac{k(1\,\mu\mathrm{C})}{r^2}$ داریم:
$E_1=E_0,\qquad E_2=2E_0,\qquad E_3=3E_0$.
میدان الکتریکی کمیتی برداری است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰–۱۱) و جهت میدان بار مثبت، رو به دور شدن از بار است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۷–۱۸). پس در نقطهٔ $M$، میدان $q_1$ به راست، میدان $q_2$ رو به پایین و میدان $q_3$ رو به بالاست.

گام سوم: میدان خالص اولیه را به دست می‌آوریم.
میدان‌های قائم خلاف جهت‌اند؛ بنابراین مؤلفه‌های میدان خالص برابرند با:
$E_x=E_0,\qquad E_y=3E_0-2E_0=E_0$.
چون این دو مؤلفه بر هم عمودند:
$E=\sqrt{E_x^2+E_y^2}=\sqrt{E_0^2+E_0^2}=\sqrt{2}\,E_0$.

گام چهارم: میدان پس از حذف $q_2$ را محاسبه می‌کنیم.
با حذف این بار، میدان رو به پایین از بین می‌رود و میدان دو بار ثابتِ دیگر تغییر نمی‌کند. بنابراین:
$E'_x=E_0,\qquad E'_y=3E_0$.
در نتیجه:
$E'=\sqrt{E_0^2+(3E_0)^2}=\sqrt{10}\,E_0$.

گام پنجم: نسبت میدان جدید به میدان اولیه را می‌یابیم:
$\frac{E'}{E}=\frac{\sqrt{10}\,E_0}{\sqrt{2}\,E_0}=\sqrt{5}$.
پس میدان خالص پس از حذف بار $q_2$، برابر $\sqrt{5}$ برابر میدان اولیه می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: شرط ثابت ماندن سرعت را بنویسیم.
چون هم اندازه و هم جهت سرعت الکترون ثابت است، شتاب آن صفر و در نتیجه برآیند نیروهای وارد بر آن صفر است:
$\vec a=0\quad\Rightarrow\quad\vec F_E+\vec F_B=0$.
بنابراین نیروی الکتریکی و نیروی مغناطیسی باید هم‌اندازه و خلاف‌جهت باشند؛ نه لزوماً خود میدان‌ها.

گام دوم: راستای میدان الکتریکی را تعیین کنیم.
طبق مبحث نیروی مغناطیسی، این نیرو همواره بر راستای سرعت عمود است و منفی بودن بار الکترون فقط جهت نیرو را نسبت به بار مثبت معکوس می‌کند، نه این عمود بودن را (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۸۹). پس نیروی الکتریکی که باید نیروی مغناطیسی را خنثی کند نیز بر سرعت عمود است:
$\vec F_E=-\vec F_B\quad\Rightarrow\quad\vec F_E\perp\vec v$.
از رابطهٔ $\vec F_E=q\vec E$ می‌دانیم نیروی الکتریکی و میدان الکتریکی هم‌راستا هستند؛ برای الکترون جهتشان مخالف است. در نتیجه:
$\vec E\perp\vec v$.
اگر میدان الکتریکی مؤلفه‌ای در راستای حرکت داشت، نیروی ناشی از آن مؤلفه با نیروی مغناطیسی خنثی نمی‌شد و سرعت تغییر می‌کرد.

گام سوم: آیا میدان مغناطیسی نیز الزاماً بر حرکت عمود است؟
خیر. اندازهٔ نیروی مغناطیسی از رابطهٔ $F_B=|q|vB\sin\theta$ به دست می‌آید (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۸۹). بنابراین تنها مؤلفهٔ عمود بر سرعت در ایجاد این نیرو نقش دارد:
$B_\perp=B\sin\theta,\qquad F_B=|q|vB_\perp$.
مؤلفهٔ موازی سرعت نیروی مغناطیسی ایجاد نمی‌کند؛ پس وجود آن مانعی برای تعادل نیروها نیست. شرط برابری اندازهٔ نیروها نیز به صورت $|q|E=|q|vB_\perp$ یا $E=vB_\perp$ است، بدون آنکه لازم باشد کل میدان مغناطیسی بر سرعت عمود باشد.

پس میدان الکتریکی حتماً بر مسیر حرکت عمود است، ولی میدان مغناطیسی می‌تواند نسبت به مسیر مایل باشد.
پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول ـ انتخاب رابطه: طبق رابطهٔ ضریب القاوری سیملولهٔ آرمانیِ بدون هسته، داریم (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۹):
$L=\mu_0\dfrac{AN^2}{l}$
در این رابطه، $A$ مساحت هر حلقه، $N$ تعداد حلقه‌ها و $l$ طول سیملوله است.

گام دوم ـ تبدیل یکاها: ممیزِ نوشته‌شده به صورت «/» در صورت سؤال، نشانهٔ عدد اعشاری است؛ بنابراین طول داده‌شده برابر است با:
$l=15.7\,\mathrm{cm}=0.157\,\mathrm{m}$
همچنین چون $1\,\mathrm{cm^2}=10^{-4}\,\mathrm{m^2}$، داریم:
$A=8\,\mathrm{cm^2}=8\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}$
$N=1000\quad\Rightarrow\quad N^2=10^6$

گام سوم ـ جای‌گذاری و محاسبه:
$L=\dfrac{(4\pi\times10^{-7})(8\times10^{-4})(10^6)}{0.157}\,\mathrm{H}$
با تقریب $\pi\simeq3.14$:
$L=\dfrac{1.0048\times10^{-3}}{0.157}\,\mathrm{H}=6.4\times10^{-3}\,\mathrm{H}$

گام چهارم ـ تبدیل به میلی‌هانری: یکای ضریب القاوری، هانری است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحات ۱۱۹–۱۲۰). با توجه به $1\,\mathrm{mH}=10^{-3}\,\mathrm{H}$، نتیجه می‌شود:
$L=6.4\,\mathrm{mH}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا توجه کنید که ممیزِ اعداد صورت سؤال با «/» نوشته شده است؛ بنابراین زمان داده‌شده برابر $15.7\,\mathrm{ms}$ است، نه یک کسر.

گام اول: تعیین زاویهٔ مناسب برای محاسبهٔ شار
شار مغناطیسی از رابطهٔ $\Phi=BA\cos\theta$ به دست می‌آید که در آن، $\theta$ زاویهٔ میدان با نیم‌خط عمود بر سطح حلقه است، نه با خود سطح (فیزیک ۲ ریاضی، صفحهٔ ۱۱۲). پس در این مسئله:
$\theta=90^\circ-30^\circ=60^\circ$، و در نتیجه $\cos\theta=\frac{1}{2}$.

گام دوم: تبدیل یکاها و محاسبهٔ مساحت حلقه
شعاع حلقه برابر است با:
$r=10\,\mathrm{cm}=0.10\,\mathrm{m}$.
بنابراین:
$A=\pi r^2=\pi(0.10)^2=0.01\pi\,\mathrm{m^2}$.
همچنین، با توجه به $1\,\mathrm{G}=10^{-4}\,\mathrm{T}$ داریم:
$B_1=6000\,\mathrm{G}=0.60\,\mathrm{T}$، $B_2=0$، و $\Delta t=15.7\times10^{-3}\,\mathrm{s}$.

گام سوم: به‌کارگیری قانون فاراده
طبق قانون فاراده، نیروی محرکهٔ القایی متوسط برابر $\mathcal{E}_{\mathrm{av}}=-N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ است (فیزیک ۲ ریاضی، صفحهٔ ۱۱۴). اینجا یک حلقه داریم، پس $N=1$. چون مساحت و جهت حلقه ثابت‌اند، اندازهٔ نیروی محرکه برابر می‌شود با:
$|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|=\frac{A|\cos\theta|\,|B_2-B_1|}{\Delta t}$.
با جای‌گذاری داده‌ها:
$|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|=\frac{(0.01\pi)(\frac{1}{2})(0.60)}{15.7\times10^{-3}}\,\mathrm{V}$.
با تقریب $\pi\simeq3.14$:
$|\mathcal{E}_{\mathrm{av}}|=\frac{0.00942}{0.0157}\,\mathrm{V}=0.60\,\mathrm{V}$.
پس اندازهٔ نیروی محرکهٔ القایی متوسط با مقدار گزینهٔ دوم برابر است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تشخیص فشار مؤثر: طبق تعریف کتاب، فشار پیمانه‌ای برابر اختلاف فشار داخل و فشار جو است: $P_g=P-P_\circ$ (فیزیک ۱ ریاضی، صفحه‌های ۳۸–۳۹). بنابراین فشار داده‌شده دقیقاً همان اختلاف فشاری است که وزنه را به بالا می‌راند و نباید فشار جو را دوباره به آن اضافه کنیم.

۲. نوشتن شرط تعادل: در آستانهٔ بلند شدن وزنه و خروج بخار، نیروی فشار داخل رو به بالا، با مجموع وزن و نیروی فشار بیرون رو به پایین برابر است:
$PA=P_\circ A+mg$.
پس داریم:
$(P-P_\circ)A=mg\Rightarrow P_gA=mg\Rightarrow m=\frac{P_gA}{g}$.
تمرین زودپز کتاب نیز بر همین تعادل نیروها استوار است (فیزیک ۱ ریاضی، صفحه‌های ۴۹–۵۰).

۳. تبدیل یکای مساحت: چون $1\,\mathrm{mm}=10^{-3}\,\mathrm{m}$، برای مساحت باید ضریب تبدیل را به توان دو برسانیم:
$A=5\,\mathrm{mm^2}=5\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}$.

۴. جایگذاری و محاسبه:
$m=\frac{(10^5\,\mathrm{Pa})(5\times10^{-6}\,\mathrm{m^2})}{10\,\mathrm{m/s^2}}=0.05\,\mathrm{kg}=50\,\mathrm{g}$.

بنابراین این وزنه در فشار پیمانه‌ای خواسته‌شده در آستانهٔ بلند شدن قرار می‌گیرد و امکان خروج بخار اضافی را فراهم می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۴

با فرض نبود تبادل گرما با محیط، گرمای ازدست‌رفتهٔ اجسام گرم‌تر برابر گرمای دریافت‌شدهٔ اجسام سردتر است. مطابق روش مثال کتاب، برای همهٔ اجسام می‌نویسیم $\sum Q=0$ و گرمای هر جسم را از رابطهٔ $Q=mc(\theta-\theta_i)$ به دست می‌آوریم (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۱).

گام اول ـ تبدیل جرم‌ها به کیلوگرم:
$m_1=0.080\,\mathrm{kg}$، $m_2=0.020\,\mathrm{kg}$ و $m_{\text{ظرف}}=0.300\,\mathrm{kg}$.

گام دوم ـ نوشتن موازنهٔ گرما:
اگر دمای تعادل برحسب درجهٔ سلسیوس را $\theta$ بنامیم، داریم:
$(0.080)(4200)(\theta-20)+(0.020)(4200)(\theta-80)+(0.300)(400)(\theta-32)=0$.
در این رابطه، اختلاف دما برحسب سلسیوس و کلوین از نظر عددی یکسان است؛ بنابراین استفاده از گرماهای ویژهٔ داده‌شده مجاز است.

گام سوم ـ حل معادله:
$336(\theta-20)+84(\theta-80)+120(\theta-32)=0$
$540\theta=6720+6720+3840=17280$
$\theta=\dfrac{17280}{540}=32$
پس دمای تعادل برابر $32^\circ\mathrm{C}$ است.

برای بررسی نتیجه، در این دما آب سرد مقدار $336(32-20)=4032\,\mathrm{J}$ گرما می‌گیرد و آب گرم به همین اندازه، یعنی $84(80-32)=4032\,\mathrm{J}$، گرما از دست می‌دهد. ظرف نیز چون از ابتدا در همین دما بوده است، گرمای خالصی مبادله نمی‌کند؛ بنابراین موازنه برقرار است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا فشار هوا را با $P_0$، جرم پیستون را با $m$ و مساحت آن را با $A$ نشان می‌دهیم. عدد اعشاری جرم داده‌شده برابر $m=1.75\,\mathrm{kg}$ است.