سوالات فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: معیار اصلی‌بودن یکا را مشخص می‌کنیم. طبق کتاب، برای هفت کمیت اصلی، یکاهای اصلی تعریف شده‌اند و یکاهایی که برحسب آن‌ها بیان می‌شوند، فرعی‌اند (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۷).

گام دوم: یکاهای مطرح‌شده در سؤال را دسته‌بندی می‌کنیم. مطابق جدول کمیت‌های اصلی، کیلوگرم $\mathrm{kg}$ یکای جرم، آمپر $\mathrm{A}$ یکای جریان الکتریکی، مول $\mathrm{mol}$ یکای مقدار ماده و کندلا $\mathrm{cd}$ یکای شدت روشنایی است؛ پس این چهار یکا اصلی‌اند (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۷، جدول ۱ــ۱).

اما ژول یکای انرژی و فرعی است؛ زیرا داریم:
$\mathrm{J}=\mathrm{kg\cdot m^2/s^2}$
این رابطه در جدول یکاهای فرعی کتاب آمده است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۷، جدول ۱ــ۲).

کولن نیز یکای بار الکتریکی است، نه جریان الکتریکی. از رابطۀ بار عبوری و جریان، $q=I\Delta t$، به دست می‌آید:
$\mathrm{C}=\mathrm{A\cdot s}$
پس کولن هم یکای فرعی است.

گام سوم: گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم. گزینهٔ ۱ شامل ژول و کولن، گزینهٔ ۳ شامل کولن و گزینهٔ ۴ شامل ژول است؛ بنابراین هیچ‌کدام نمی‌توانند فقط از یکاهای اصلی تشکیل شده باشند. در گزینهٔ ۲، کیلوگرم، آمپر و مول به‌ترتیب یکاهای اصلی جرم، جریان الکتریکی و مقدار ماده‌اند؛ پس هر سه شرط سؤال را دارند.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای پاسخ، باید نوع ماده و سپس شدت و ماندگاری خاصیت مغناطیسی آن را مشخص کنیم.

گام اول ـ شناسایی ماده: در مواد پارامغناطیسی، اتم‌ها دارای دوقطبی مغناطیسی‌اند، اما در نبود میدان خارجی، جهت این دوقطبی‌ها کاتوره‌ای است؛ بنابراین اثر مغناطیسی آن‌ها در مجموع یکدیگر را خنثی می‌کند. این همان توصیف صورت سؤال است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۱–۱۰۲).

گام دوم ـ تعیین شدت خاصیت مغناطیسی: با قرار گرفتن این مواد در میدان خارجی قوی، دوقطبی‌ها فقط اندکی در راستای میدان نظم می‌گیرند. پس قوی بودن میدان خارجی به معنای قوی شدن خاصیت مغناطیسی ماده نیست و خاصیت ایجادشده ضعیف است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۱–۱۰۲).

گام سوم ـ تعیین ماندگاری: با حذف میدان خارجی، دوقطبی‌ها دوباره جهت‌های کاتوره‌ای پیدا می‌کنند؛ بنابراین خاصیت مغناطیسی ایجادشده موقت است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۲).

نکتهٔ تمایز: در مواد فرومغناطیسی، دوقطبی‌ها درون هر حوزه حتی در نبود میدان خارجی همسو هستند؛ پس نباید بی‌نظمی جهت حوزه‌ها را با بی‌نظمی جهت دوقطبی‌های منفرد در مواد پارامغناطیسی اشتباه گرفت (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۰۲).

در نتیجه، مادهٔ موردنظر پارامغناطیسی است و در حضور میدان خارجی قوی، خاصیت مغناطیسی ضعیف و موقت پیدا می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: چشم الکترونیکی باید تغییر نور دریافتی را به تغییری الکتریکی تبدیل کند تا مدار بتواند به آن واکنش نشان دهد.

گام دوم: مقاومت نوری یا LDR چنین ویژگی‌ای دارد: با افزایش روشنایی، مقاومت آن کاهش می‌یابد و با کاهش روشنایی، مقاومت آن بیشتر می‌شود. بنابراین می‌توان از تغییر مقاومت آن برای تشخیص تغییر نور استفاده کرد (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحات ۵۹–۶۰).

گام سوم: کتاب در همین بخش، چشم‌های الکترونیکی را از کاربردهای مقاومت نوری معرفی می‌کند. پس قطعهٔ موردنظر مقاومت نوری است، نه ترمیستورِ حساس به دما، پتانسیومترِ قابل تنظیم یا دیودِ تولیدکنندهٔ نور.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای محاسبهٔ تندی متوسط باید مسافت کل را بر مدت حرکت تقسیم کنیم، نه جابه‌جایی را. تفاوت این دو کمیت در پرسش اول فصل نیز مورد تأکید است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۲۵).

گام اول: یافتن لحظهٔ تغییر جهت
با مقایسهٔ معادلهٔ $x=3t^2-12t+9$ با رابطهٔ حرکت با شتاب ثابت، یعنی $x=\frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0$، داریم:
$a=6\,\mathrm{m/s^2}$ و $v_0=-12\,\mathrm{m/s}$.
پس از رابطهٔ $v=at+v_0$، سرعت برحسب زمان برابر است با:
$v(t)=6t-12$.
این روابط و تشخیص جهت حرکت از علامت سرعت در کتاب به کار رفته‌اند (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۱۹–۲۰).

سرعت در لحظهٔ زیر صفر می‌شود:
$6t-12=0\Rightarrow t=2\,\mathrm{s}$.
پیش از این لحظه سرعت منفی و پس از آن مثبت است؛ بنابراین متحرک درون بازهٔ خواسته‌شده تغییر جهت می‌دهد و باید مسافت دو بخش را جداگانه محاسبه کنیم.

گام دوم: محاسبهٔ مکان‌های لازم
با جای‌گذاری زمان‌ها در معادلهٔ حرکت، در واحدهای SI داریم:
$x(1)=3(1)^2-12(1)+9=0\,\mathrm{m}$،
$x(2)=3(2)^2-12(2)+9=-3\,\mathrm{m}$،
$x(4)=3(4)^2-12(4)+9=9\,\mathrm{m}$.

گام سوم: محاسبهٔ مسافت کل و تندی متوسط
مسافت طی‌شده تا نقطهٔ بازگشت و پس از آن برابر است با:
$d_1=|-3-0|=3\,\mathrm{m}$،
$d_2=|9-(-3)|=12\,\mathrm{m}$.
بنابراین:
$d=d_1+d_2=15\,\mathrm{m}$.
مدت حرکت نیز برابر است با:
$\Delta t=4-1=3\,\mathrm{s}$.
در نتیجه:
$\text{تندی متوسط}=\frac{d}{\Delta t}=\frac{15}{3}=5\,\mathrm{m/s}$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

شرط فاصله از مبدأ را ابتدا به شرطی برای مکان تبدیل می‌کنیم:
$|x|\le 10\,\mathrm{m}\quad\Longleftrightarrow\quad -10\,\mathrm{m}\le x\le +10\,\mathrm{m}$.

گام اول: معادلهٔ بخش شتاب‌دار
شیب نمودار سرعت ـ زمان، شتاب حرکت است؛ بنابراین:
$a=\dfrac{0-(-20)}{5-0}=4\,\mathrm{m/s^2}$.
با رابطهٔ مکان در حرکت با شتاب ثابت و با توجه به $x_0=42\,\mathrm{m}$ و $v_0=-20\,\mathrm{m/s}$، داریم:
$x=x_0+v_0t+\dfrac12at^2$.
پس اگر زمان بر حسب ثانیه و مکان بر حسب متر نوشته شود:
$x=42-20t+2t^2=2(t-5)^2-8$.
این همان کاربرد روابط حرکت با شتاب ثابت است که در تمرین‌های این مبحث نیز به کار می‌رود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۷–۲۸).

گام دوم: بررسی نقطهٔ بازگشت و زمان ورود به محدوده
در لحظهٔ $t=5\,\mathrm{s}$ سرعت صفر می‌شود و جهت حرکت از منفی به مثبت تغییر می‌کند. مکان در این لحظه کمینه است:
$x_{\min}=2(5-5)^2-8=-8\,\mathrm{m}$.
پس متحرک هرگز از مرز $x=-10\,\mathrm{m}$ عبور نمی‌کند؛ در نتیجه از نخستین رسیدن به $x=+10\,\mathrm{m}$ تا خروج دوباره از همین مرز، پیوسته در محدودهٔ مطلوب است.
برای یافتن زمان ورود می‌نویسیم:
$2(t-5)^2-8=10\quad\Rightarrow\quad(t-5)^2=9$.
ریشه‌ها $t=2\,\mathrm{s}$ و $t=8\,\mathrm{s}$ هستند. زمان ورود $t_{\mathrm{in}}=2\,\mathrm{s}$ است؛ اما اعتبار ریشهٔ دیگر را باید با محدودهٔ زمانی بخش شتاب‌دار بررسی کنیم.

گام سوم: تعیین آغاز بخش سرعت ثابت
در بخش مایل نمودار داریم:
$v=-20+4t$.
بنابراین زمان رسیدن سرعت به $8\,\mathrm{m/s}$ برابر است با:
$8=-20+4t\quad\Rightarrow\quad t=7\,\mathrm{s}$.
مکان در این لحظه:
$x(7)=42-20(7)+2(7)^2=0\,\mathrm{m}$.
پس معادلهٔ شتاب‌دار فقط تا $t=7\,\mathrm{s}$ معتبر است و ریشهٔ $t=8\,\mathrm{s}$ را نمی‌توان زمان خروج دانست.

گام چهارم: خروج در بخش حرکت یکنواخت
از $t=7\,\mathrm{s}$ به بعد، متحرک از مبدأ با سرعت ثابت $8\,\mathrm{m/s}$ حرکت می‌کند. طبق رابطهٔ جابه‌جایی با مساحت علامت‌دار زیر نمودار سرعت ـ زمان، در این بخش $\Delta x=v\Delta t$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۲۰–۲۱). بنابراین مدت رسیدن از مبدأ به مرز مثبت برابر است با:
$\Delta t=\dfrac{10\,\mathrm{m}}{8\,\mathrm{m/s}}=1.25\,\mathrm{s}$.
پس زمان خروج:
$t_{\mathrm{out}}=7+1.25=8.25\,\mathrm{s}$.
در نتیجه مدت حضور در محدودهٔ خواسته‌شده برابر است با:
$T=t_{\mathrm{out}}-t_{\mathrm{in}}=8.25-2=6.25\,\mathrm{s}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

جهت حرکت هواپیما را مثبت می‌گیریم؛ بنابراین سرعت اولیه مثبت و شتاب ترمزگیری منفی است. چون هواپیما تا توقف تغییر جهت نمی‌دهد، مسافت طی‌شده با اندازهٔ جابه‌جایی برابر است.

گام اول: سرعت ابتدای بازهٔ پایانی
طبق رابطهٔ سرعت متوسط در حرکت با شتاب ثابت، سرعت متوسط هر بازه برابر میانگین سرعت ابتدا و انتهای آن است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۵ و ۱۶). سرعت هواپیما در پایان مسیر صفر است. اگر سرعت آن در ابتدای $4\,\mathrm{s}$ پایانی را $u$ بنامیم، داریم:
$\Delta x=\frac{u+v}{2}\Delta t$
$32=\frac{u+0}{2}\times4\quad\Rightarrow\quad u=16\,\mathrm{m/s}$

گام دوم: محاسبهٔ شتاب ثابت
در حرکت با شتاب ثابت، رابطهٔ $v=v_0+a\Delta t$ برقرار است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۵). آن را برای بازهٔ پایانی می‌نویسیم:
$0=16+4a\quad\Rightarrow\quad a=-4\,\mathrm{m/s^2}$
این شتاب در تمام مدت حرکت روی باند یکسان است.

گام سوم: زمان کل توقف
اکنون رابطهٔ سرعت ــ زمان را از لحظهٔ نشستن هواپیما تا توقف به کار می‌بریم:
$0=60-4T\quad\Rightarrow\quad T=15\,\mathrm{s}$

گام چهارم: مسافت کل روی باند
سرعت متوسط کل حرکت و مسافت طی‌شده برابرند با:
$v_{\mathrm{av}}=\frac{60+0}{2}=30\,\mathrm{m/s}$
$d=v_{\mathrm{av}}T=30\times15=450\,\mathrm{m}$
پس مسافت طی‌شدهٔ هواپیما روی باند $450\,\mathrm{m}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

جهت رو به پایین را مثبت می‌گیریم. در خلأ، گلوله با شتاب ثابت $g=10\,\mathrm{m/s^2}$ سقوط می‌کند. توجه کنید که «رها شدن» یعنی سرعت در نقطهٔ $A$ صفر است، نه در نقطهٔ $B$؛ این مسئله از نوع سقوط آزاد و بررسی بخش‌های مختلف مسیر آن است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۲۸).

گام اول: سرعت گلوله در نقاط $B$ و $C$
برای پیمودن فاصلهٔ $BC=90\,\mathrm{m}$ در مدت $3\,\mathrm{s}$، از رابطهٔ جابه‌جایی در حرکت با شتاب ثابت استفاده می‌کنیم:
$\Delta x=v_B\Delta t+\tfrac12 g(\Delta t)^2$
$90=3v_B+\tfrac12(10)(3)^2=3v_B+45$
پس:
$v_B=15\,\mathrm{m/s}$
بنابراین سرعت در نقطهٔ $C$ برابر است با:
$v_C=v_B+g\Delta t=15+10(3)=45\,\mathrm{m/s}$

گام دوم: سرعت درست پیش از برخورد با زمین
فاصلهٔ نقطهٔ $C$ تا زمین $50\,\mathrm{m}$ است. از رابطهٔ مستقل از زمان داریم:
$v_{\text{زمین}}^2=v_C^2+2g\Delta x=45^2+2(10)(50)=3025$
پس، با توجه به جهت حرکت:
$v_{\text{زمین}}=55\,\mathrm{m/s}$

گام سوم: مسافت طی‌شده در سه ثانیهٔ پایانی
سرعت گلوله در سه ثانیه پیش از برخورد برابر است با:
$v_*=v_{\text{زمین}}-g(3)=55-30=25\,\mathrm{m/s}$
در حرکت با شتاب ثابت، جابه‌جایی برابر حاصل‌ضرب میانگین سرعت‌های ابتدا و انتهای بازه در مدت آن است (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۲۰–۲۱). چون گلوله در این بازه پیوسته رو به پایین حرکت می‌کند، این جابه‌جایی همان ارتفاع آن از زمین در آغاز بازه است:
$h=\dfrac{v_*+v_{\text{زمین}}}{2}\Delta t=\dfrac{25+55}{2}\times3=120\,\mathrm{m}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تعیین وضعیت ابتدا و انتهای حرکت

طول طبیعی فنر $L_0=20\,\mathrm{cm}$ است و وزنه از حال سکون در همین طول رها می‌شود؛ بنابراین در ابتدا فنر کشیده نشده و انرژی جنبشی وزنه صفر است. در بیشترین طول فنر نیز وزنه به نقطهٔ بازگشت می‌رسد: لحظه‌ای می‌ایستد و سپس به سمت بالا حرکت می‌کند. پس تندی و انرژی جنبشی آن در این لحظه نیز صفر است. رابطهٔ انرژی جنبشی $K=\frac{1}{2}mv^2$ است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۴).

۲. نوشتن قضیهٔ کار ـ انرژی جنبشی

افزایش طول فنر تا نقطهٔ بازگشت را $x$ می‌نامیم. وزنه به همین اندازه پایین می‌آید؛ بنابراین کار نیروی وزن مثبت و برابر $W_g=mgx$ است. نیروی فنر در خلاف جهت جابه‌جایی است و اندازهٔ آن از صفر تا $kx$ افزایش می‌یابد؛ در نتیجه کار آن برابر $W_s=-\frac{1}{2}kx^2$ است.

طبق قضیهٔ کار ـ انرژی جنبشی، کار کل با تغییر انرژی جنبشی برابر است؛ کاربرد این قضیه برای حرکت قائم نیز در تمرین‌های کتاب آمده است (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۶۳–۶۴). چون انرژی جنبشی ابتدا و انتها صفر است، داریم:

$W_g+W_s=\Delta K=0$

$mgx-\frac{1}{2}kx^2=0$

$x\left(mg-\frac{1}{2}kx\right)=0$

ریشهٔ $x=0$ همان وضعیت رها شدن است. ریشهٔ غیرصفر، افزایش طول فنر در نقطهٔ بازگشت را می‌دهد:

$x_{\max}=\frac{2mg}{k}=\frac{2\times1\times10}{400}\,\mathrm{m}=0.05\,\mathrm{m}=5\,\mathrm{cm}$

۳. محاسبهٔ طول بیشینه

$L_{\max}=L_0+x_{\max}=20\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}=25\,\mathrm{cm}$

بنابراین بیشترین طول فنر $25\,\mathrm{cm}$ و تندی وزنه در این وضعیت $0\,\mathrm{cm/s}$ است.

نکته: رابطهٔ $kx=mg$ وضعیت تعادل را مشخص می‌کند، نه نقطهٔ بازگشت را. وزنه هنگام عبور از تعادل هنوز تندی دارد و پایین‌تر می‌رود تا لحظه‌ای متوقف شود.

پاسخ: گزینهٔ ۱

برای جلوگیری از اشتباه، نیروی عمودیِ رو به پایین را با $P=30\,\mathrm{N}$ و نیروی عمودی سطح را با $N$ نشان می‌دهیم. نیروی افقی $F$ در هر دو حالت یکسان است.

۱. بررسی حالت دوم و یافتن نیروی افقی
در حالت دوم جسم روی مسیر مستقیم با سرعت ثابت حرکت می‌کند؛ بنابراین شتاب و برآیند نیروهای آن صفر است. این نتیجه مطابق قانون اول نیوتون است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۰–۳۱).

جسم در راستای قائم نیز شتاب ندارد، پس نیروی عمودی سطح باید وزن و نیروی اضافی رو به پایین را خنثی کند:
$N_2=mg+P=2\times10+30=50\,\mathrm{N}$

با استفاده از رابطهٔ اصطکاک جنبشی، $f_k=\mu_kN$، داریم:
$f_{k2}=\frac{1}{4}\times50=12.5\,\mathrm{N}$

پس تعادل نیروهای افقی در حالت دوم می‌دهد:
$F-f_{k2}=0\quad\Rightarrow\quad F=12.5\,\mathrm{N}$

نکتهٔ مهم این است که افزودن نیروی رو به پایین، نیروی عمودی سطح و در نتیجه اصطکاک را افزایش می‌دهد؛ اثر چنین نیرویی بر نیروی عمودی سطح در تمرین ۹ کتاب نیز بررسی شده است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۸).

۲. محاسبهٔ اصطکاک در حالت اول
در حالت اول نیروی اضافی رو به پایین وجود ندارد؛ بنابراین:
$N_1=mg=2\times10=20\,\mathrm{N}$
$f_{k1}=\mu_kN_1=\frac{1}{4}\times20=5\,\mathrm{N}$

۳. به‌کارگیری قانون دوم نیوتون
جهت راست را مثبت می‌گیریم. طبق قانون دوم نیوتون، برآیند نیروهای افقی برابر حاصل‌ضرب جرم در شتاب است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۲):
$F-f_{k1}=ma$

در نتیجه:
$a=\frac{12.5-5}{2}=3.75\,\mathrm{m/s^2}$

پس شتاب جسم در حالت اول برابر $3.75\,\mathrm{m/s^2}$ و رو به راست است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول ـ تبدیل یکای تندی و مشخص‌کردن داده‌ها:
تندی اولیه باید بر حسب متر بر ثانیه باشد:
$v_0=54\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\times\frac{1000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}}\times\frac{1\,\mathrm{h}}{3600\,\mathrm{s}}=15\,\mathrm{m/s}$.
خودرو پس از طی‌کردن $\Delta x=22.5\,\mathrm{m}$ می‌ایستد؛ پس $v=0$ است.

گام دوم ـ محاسبهٔ شتاب ترمز:
با فرض جادهٔ افقی و ثابت‌بودن ضریب اصطکاک، نیروی اصطکاک و در نتیجه شتاب ثابت‌اند. جهت حرکت اولیه را مثبت می‌گیریم و از رابطهٔ حرکت با شتاب ثابت استفاده می‌کنیم:
$v^2-v_0^2=2a\Delta x$.
پس:
$0-15^2=2a(22.5)\quad\Rightarrow\quad a=-5\,\mathrm{m/s^2}$.
منفی‌بودن شتاب یعنی جهت آن خلاف جهت حرکت است.

گام سوم ـ ارتباط شتاب با ضریب اصطکاک:
طبق کتاب، اندازهٔ اصطکاک جنبشی از رابطهٔ $f_k=\mu_k F_N$ به دست می‌آید و جهت آن خلاف لغزش است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۴۲). در راستای عمودی شتاب نداریم؛ بنابراین $F_N=mg$. با صرف‌نظر از مقاومت هوا، نیروی افقی وارد بر خودرو همان اصطکاک جنبشی است؛ پس قانون دوم نیوتون می‌دهد:
$-f_k=ma\quad\Rightarrow\quad-\mu_k mg=ma\quad\Rightarrow\quad\mu_k=\frac{|a|}{g}$.
در نتیجه:
$\mu_k=\frac{5}{10}=0.5$.
ضریب اصطکاک بدون یکاست و جرم خودرو نیز در محاسبه حذف می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا دامنه و جرم را در یکاهای مناسب می‌نویسیم. طول پاره‌خط نوسان، فاصلهٔ میان دو نقطهٔ بازگشت و برابر $2A$ است؛ بنابراین:
$2A=10\,\mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad A=5\,\mathrm{cm}=0.05\,\mathrm{m}$
$m=400\,\mathrm{g}=0.4\,\mathrm{kg}$

تعیین بازهٔ حرکت در کمترین زمان:
تندی نوسانگر در نقطهٔ تعادل بیشینه است و با دورشدن از آن کاهش می‌یابد (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۶۳ و صفحهٔ ۶۶). پس برای پیمودن یک مسافت معین در کمترین زمان، باید بخش سریع‌تر مسیر را انتخاب کنیم؛ یعنی بازه‌ای متقارن نسبت به تعادل. چون مسافت خواسته‌شده برابر دامنه است، این بازه از $x=+A/2$ تا $x=-A/2$ خواهد بود.

به‌دست‌آوردن بسامد زاویه‌ای:
طبق معادلهٔ مکان ــ زمان $x=A\cos\omega t$ (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۶۳)، هنگام حرکت از سمت مثبت به سمت منفی داریم:
$\cos\varphi_1=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad\varphi_1=\frac{\pi}{3}$
$\cos\varphi_2=-\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad\varphi_2=\frac{2\pi}{3}$
پس اختلاف فاز این عبور برابر است با:
$\Delta\varphi=\frac{\pi}{3}$
در نتیجه:
$\omega\Delta t=\frac{\pi}{3}\quad\Rightarrow\quad\omega=\frac{\pi/3}{1/30}=10\pi\,\mathrm{rad/s}$
با تقریب داده‌شدهٔ $\pi=3$:
$\omega=30\,\mathrm{rad/s}$

محاسبهٔ بیشینهٔ انرژی جنبشی:
بیشینهٔ تندی در تعادل برابر $v_{\max}=A\omega$ است؛ بنابراین بیشینهٔ انرژی جنبشی از رابطهٔ زیر به دست می‌آید (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۶۶–۶۷):
$K_{\max}=\frac{1}{2}mv_{\max}^2=\frac{1}{2}m\omega^2A^2$
با جای‌گذاری:
$K_{\max}=\frac{1}{2}\times0.4\times30^2\times(0.05)^2=0.45\,\mathrm{J}=450\,\mathrm{mJ}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

منظور از «در جهت محور $x$»، جهت مثبت محور است؛ پس باید هم‌زمان $v>0$ و $a>0$ باشد.

گام اول: تعیین دورهٔ حرکت
طبق رابطه‌های $x=A\cos\omega t$ و $\omega=\frac{2\pi}{T}$ در کتاب، با مقایسهٔ معادلهٔ سؤال داریم (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۳):
$A=0.03\,\mathrm{m},\qquad \omega=50\pi\,\mathrm{rad/s}$
بنابراین:
$T=\frac{2\pi}{50\pi}=0.04\,\mathrm{s},\qquad \frac{T}{4}=0.01\,\mathrm{s}$
پس هر یک از بازه‌های گزینه‌ها، یک‌چهارم دورهٔ حرکت است.

گام دوم: تعیین جهت سرعت و شتاب
در آغاز، چون $\cos 0=1$ است، جسم در $x=+A$ قرار دارد. مطابق توصیف حرکت کسینوسی در کتاب، جسم از این نقطه به سوی تعادل حرکت می‌کند و پس از رسیدن به انتهای منفی مسیر بازمی‌گردد (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۶۳). همچنین شتاب در حرکت هماهنگ ساده همواره رو به تعادل و خلاف علامت مکان است؛ یعنی $a=-\omega^2x$.

بنابراین چهار ربع حرکت چنین‌اند:

• در $0<t<0.01\,\mathrm{s}$، جسم از $+A$ به تعادل می‌رود؛ پس $v<0$ و $a<0$ است.
• در $0.01\,\mathrm{s}<t<0.02\,\mathrm{s}$، جسم از تعادل به $-A$ می‌رود؛ پس $v<0$ و $a>0$ است.
• در $0.02\,\mathrm{s}<t<0.03\,\mathrm{s}$، جسم از $-A$ به تعادل برمی‌گردد؛ حرکت در جهت مثبت است، پس $v>0$. مکان نیز منفی است، پس شتابِ رو به تعادل مثبت است و $a>0$.
• در $0.03\,\mathrm{s}<t<0.04\,\mathrm{s}$، جسم از تعادل به $+A$ می‌رود؛ پس $v>0$ ولی $a<0$ است.

در نتیجه، فقط در بازهٔ $0.02\,\mathrm{s}<t<0.03\,\mathrm{s}$ هر دو بردار سرعت و شتاب در جهت مثبت محور هستند. بازبودن دو سر بازه نیز مهم است: در ابتدای آن سرعت و در انتهای آن شتاب صفر است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول ــ تعیین جهت‌های داده‌شده: طبق شکل، میدان الکتریکی در جهت $+y$ است و موج در جهت $+z$ منتشر می‌شود.

گام دوم ــ تعیین امتداد میدان مغناطیسی: در موج الکترومغناطیسی، میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی بر یکدیگر عمودند و هر دو بر جهت انتشار نیز عمودند (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحه‌های ۷۴–۷۵). بنابراین میدان مغناطیسی باید در امتداد محور $x$ باشد؛ یعنی یکی از دو جهت $+x$ یا $-x$.

گام سوم ــ تعیین سوی میدان با قاعدهٔ دست راست: طبق قاعدهٔ دست راستِ کتاب، جهت انتشار موج همان جهت $\vec{E}\times\vec{B}$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۵). در دستگاه مختصات راست‌گرد داریم:
$\hat{x}\times\hat{y}=\hat{z},\qquad \hat{y}\times\hat{x}=-\hat{z}$.
پس برای اینکه با میدان الکتریکی در جهت $+y$، انتشار در جهت $+z$ باشد، باید میدان مغناطیسی در جهت $-x$ قرار گیرد، زیرا:
$\hat{y}\times(-\hat{x})=+\hat{z}$.

بنابراین میدان مغناطیسی در خلاف جهت محور $x$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ــ طول موج نور در خلأ را حساب می‌کنیم. از رابطهٔ تندی موج، $c=f\lambda_1$، داریم:
$\lambda_1=\frac{c}{f}=\frac{3\times10^8}{5\times10^{14}}\,\mathrm{m}=6\times10^{-7}\,\mathrm{m}=600\,\mathrm{nm}$.

گام دوم ــ جهت تغییر طول موج را مشخص می‌کنیم. طبق تعریف، ضریب شکست برابر $n=\frac{c}{v}$ است و تندی نور در محیط شفاف از تندی آن در خلأ بیشتر نیست (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۹۷–۹۸). از طرفی، بسامد نور هنگام ورود به محیط تغییر نمی‌کند؛ بنابراین با کاهش تندی، طبق رابطهٔ $v=f\lambda$، طول موج نیز کاهش می‌یابد. پس تغییر داده‌شده را باید از طول موج خلأ کم کنیم:
$\lambda_2=\lambda_1-150\,\mathrm{nm}=600\,\mathrm{nm}-150\,\mathrm{nm}=450\,\mathrm{nm}$.

گام سوم ــ ضریب شکست را به دست می‌آوریم. چون بسامد در دو محیط یکسان است، می‌توان نوشت:
$n=\frac{c}{v}=\frac{f\lambda_1}{f\lambda_2}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
در نتیجه:
$n=\frac{600}{450}=\frac{4}{3}$.
ضریب شکست نسبت دو تندی است و واحد ندارد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: تندی انتشار موج را پیدا می‌کنیم. طبق رابطهٔ تندی موج، $v=f\lambda$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۳). با تبدیل طول موج به متر داریم:
$\lambda=25\,\mathrm{cm}=0.25\,\mathrm{m}$
پس:
$v=200\times0.25=50\,\mathrm{m/s}$

گام دوم: چگالی خطی تار را حساب می‌کنیم. تندی موج عرضی در تار کشیده از رابطهٔ $v=\sqrt{F/\mu}$ به دست می‌آید که در آن $\mu$ جرم واحد طول تار است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۳). بنابراین:
$\mu=\frac{F}{v^2}=\frac{60}{50^2}=0.024\,\mathrm{kg/m}$

گام سوم: چگالی خطی را به مساحت مقطع مربوط می‌کنیم. چگالی داده‌شده در صورت سؤال، چگالی حجمی است:
$\rho=8\,\mathrm{g/cm^3}=8000\,\mathrm{kg/m^3}$
برای تار یکنواختی به طول $L$ و مساحت مقطع $A$، حجم برابر $AL$ و جرم برابر $m=\rho AL$ است؛ پس:
$\mu=\frac{m}{L}=\rho A$
در نتیجه:
$A=\frac{\mu}{\rho}=\frac{0.024}{8000}=3\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}=3\,\mathrm{mm^2}$

گام چهارم: قطر مقطع دایره‌ای را به دست می‌آوریم. با استفاده از $A=\pi d^2/4$ و مقدار داده‌شدهٔ $\pi=3$:
$d^2=\frac{4A}{\pi}=\frac{4\times3}{3}=4\,\mathrm{mm^2}$
بنابراین:
$d=2\,\mathrm{mm}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. رابطهٔ فوتوالکتریک را می‌نویسیم. انرژی فوتون صرف جدا کردن الکترون از فلز و تأمین انرژی جنبشی آن می‌شود:
$hf=W_0+K_{\max}$
طبق رابطهٔ بسامد آستانه، $W_0=hf_0$ است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۸). بنابراین:
$f=f_0+\frac{K_{\max}}{h}$

۲. بیشینهٔ سرعت را به یکای متر بر ثانیه تبدیل می‌کنیم:
$v_{\max}=\frac{4}{3}\,\mathrm{Mm/s}=\frac{4}{3}\times10^6\,\mathrm{m/s}$
پس بیشینهٔ انرژی جنبشی برابر است با:
$K_{\max}=\frac{1}{2}m_ev_{\max}^2=\frac{1}{2}\times(9\times10^{-31})\times\left(\frac{4}{3}\times10^6\right)^2=8\times10^{-19}\,\mathrm{J}$
استفاده از رابطهٔ انرژی جنبشی برای ارتباط دادن بیشینهٔ تندی و بیشینهٔ انرژی جنبشی، همان روش مثال کتاب است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۲۰).

۳. چون ثابت پلانک برحسب $\mathrm{eV\cdot s}$ داده شده است، انرژی جنبشی را به الکترون‌ولت تبدیل می‌کنیم. با توجه به بار بنیادی داده‌شده، داریم:
$1\,\mathrm{eV}=1.6\times10^{-19}\,\mathrm{J}$
در نتیجه:
$K_{\max}=\frac{8\times10^{-19}}{1.6\times10^{-19}}\,\mathrm{eV}=5\,\mathrm{eV}$

۴. اکنون بسامد نور فرودی را محاسبه می‌کنیم:
$f=5\times10^{14}+\frac{5}{4\times10^{-15}}=5\times10^{14}+1.25\times10^{15}=1.75\times10^{15}\,\mathrm{Hz}$
این مقدار از بسامد آستانه بیشتر است و با گسیل الکترون‌هایی با انرژی جنبشی مثبت سازگاری دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا دقت کنید که در نگارش این سؤال، علامت «/» ممیز اعشاری است؛ بنابراین انرژی‌های گزینه‌های دوم و سوم به‌ترتیب $2.5\,\mathrm{eV}$ و $4.5\,\mathrm{eV}$ هستند، نه کسر.

گام اول: مطابق رابطهٔ انرژی فوتون در مثال کتاب داریم (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۱۹):
$E=hf=\frac{hc}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad\lambda=\frac{hc}{E}$
پس انرژی و طول موج فوتون با یکدیگر نسبت وارون دارند. با مقدار داده‌شدهٔ $hc=1240\,\mathrm{eV\cdot nm}$، اگر انرژی را برحسب الکترون‌ولت وارد کنیم، طول موج برحسب نانومتر به دست می‌آید.

گام دوم: طول موج نور مرئی تقریباً در گسترهٔ $400\,\mathrm{nm}$ تا $700\,\mathrm{nm}$ قرار دارد. طول موج مربوط به هر گزینه را محاسبه می‌کنیم:

گزینهٔ اول:
$\lambda_1=\frac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{1\,\mathrm{eV}}=1240\,\mathrm{nm}$
این طول موج از گسترهٔ مرئی بلندتر است و در ناحیهٔ فروسرخ قرار دارد.

گزینهٔ دوم:
$\lambda_2=\frac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{2.5\,\mathrm{eV}}=496\,\mathrm{nm}$
این طول موج در گسترهٔ نور مرئی است.

گزینهٔ سوم:
$\lambda_3=\frac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{4.5\,\mathrm{eV}}\simeq276\,\mathrm{nm}$
این طول موج از گسترهٔ مرئی کوتاه‌تر است و در ناحیهٔ فرابنفش قرار دارد.

گزینهٔ چهارم:
$\lambda_4=\frac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{10\,\mathrm{eV}}=124\,\mathrm{nm}$
این طول موج نیز در ناحیهٔ فرابنفش است.

بنابراین تنها انرژی $2.5\,\mathrm{eV}$ به فوتونی در محدودهٔ نور مرئی مربوط می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای تشخیص پرتوها، ابتدا علامت بار هر مسیر را از جهت انحراف آن مشخص می‌کنیم و سپس نوع پرتو را تعیین می‌کنیم.

۱. تعیین جهت نیروی مغناطیسی: نیروی وارد بر ذرهٔ باردارِ متحرک از رابطهٔ $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$ به دست می‌آید. در شکل، سرعت اولیه به راست و میدان مغناطیسی به درون صفحه است؛ بنابراین طبق قاعدهٔ دست راست، نیروی وارد بر بار مثبت رو به بالا و نیروی وارد بر بار منفی رو به پایین است. آرایش همین آزمایش در پرسش مربوط به شناسایی بار پرتوهای طبیعی مطرح شده است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۲–۱۴۳).

۲. مسیر $A$: این مسیر به پایین خم می‌شود؛ پس پرتو آن بار منفی دارد. ذرات بتای منفی، الکترون‌اند؛ بنابراین مسیر $A$ مربوط به الکترون است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۴).

۳. مسیر $B$: این مسیر بدون انحراف ادامه می‌یابد. چون سرعت اولیه بر میدان عمود است، ذرهٔ باردار منحرف می‌شود؛ پس مسیر مستقیم در میان پرتوهای مورد نظر متعلق به گامای بدون بار است. پرتو گاما از فوتون‌های پرانرژی تشکیل شده است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۵).

۴. مسیر $C$: این مسیر به بالا خم می‌شود؛ پس پرتو آن بار مثبت دارد. ذرهٔ آلفا، هستهٔ هلیم با بار مثبت است؛ بنابراین مسیر $C$ مربوط به آلفاست (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۳).

در نتیجه، ترتیب پرتوها در مسیرهای $A$، $B$ و $C$ به‌ترتیب الکترون، گاما و آلفا است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: تعیین مقدار باقی‌مانده
اگر تعداد هسته‌های مادر اولیه را $N_0$ بگیریم، با تبدیل‌شدن $75\%$ آن‌ها به هسته‌های دیگر، درصد باقی‌مانده برابر است با:
$100\%-75\%=25\%$
پس در پایان $4\,\text{سال}$ داریم:
$N=0.25N_0=\frac{N_0}{4}$.

گام دوم: محاسبهٔ نیمه‌عمر
طبق تعریف نیمه‌عمر، در هر نیمه‌عمر تعداد هسته‌های مادر موجود نصف می‌شود (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۶). بنابراین رسیدن از $N_0$ به $\frac{N_0}{4}$ به دو نیمه‌عمر نیاز دارد:
$N_0\longrightarrow\frac{N_0}{2}\longrightarrow\frac{N_0}{4}$.
در نتیجه:
$2T_{1/2}=4\,\text{سال}\quad\Rightarrow\quad T_{1/2}=2\,\text{سال}$.
این نتیجه با رابطهٔ $N=N_0(\frac{1}{2})^n$ نیز سازگار است (فیزیک ۳ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۴۷).

گام سوم: تعیین زمان اضافی
مقدار هدف برابر است با:
$12.5\%N_0=\frac{N_0}{8}$.
برای کاهش تعداد هسته‌ها از $\frac{N_0}{4}$ به $\frac{N_0}{8}$، باید مقدار فعلی نصف شود؛ بنابراین تنها یک نیمه‌عمر دیگر لازم است:
$\Delta t=T_{1/2}=2\,\text{سال}$.
دقت کنید که سؤال زمان اضافی را می‌خواهد، نه زمان کل از آغاز.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول ـ هندسهٔ مسئله

وسط خط واصل بارها را $O$ و نقطهٔ موردنظر را $P$ می‌نامیم. فاصلهٔ هر بار تا $O$ و فاصلهٔ $P$ تا $O$ برابرند:

$\frac{d}{2}=60\,\mathrm{cm}=0.60\,\mathrm{m}$

$OP=60\,\mathrm{cm}=0.60\,\mathrm{m}$

چون نقطه روی عمودمنصف است، فاصله‌اش تا دو بار یکسان است. با قضیهٔ فیثاغورس داریم:

$r^2=(0.60)^2+(0.60)^2=0.72\,\mathrm{m^2}$

گام دوم ـ تعیین جهت میدان‌ها

میدان بار مثبت از آن دور می‌شود و میدان بار منفی به سمت آن است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۷–۱۸). بنابراین در نقطهٔ $P$، میدان بار مثبت در امتداد دورشدن از $q_1$ و میدان بار منفی در امتداد نزدیک‌شدن به $q_2$ قرار دارد.

دو مثلث قائم‌الزاویه در دو سوی $OP$، متساوی‌الساقین‌اند؛ پس هر پاره‌خط وصل‌کنندهٔ $P$ به یک بار با $OP$ زاویهٔ $45^\circ$ می‌سازد. در نتیجه، زاویهٔ بین دو بردار میدان $90^\circ$ است.

گام سوم ـ محاسبهٔ اندازهٔ میدان هر بار

مطابق روش مثال کتاب، میدان هر بار را از رابطهٔ $E=k|q|/r^2$ محاسبه می‌کنیم و سپس اصل برهم‌نهی را به کار می‌بریم (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۱۵):

$E_1=\frac{9\times10^9\times6\times10^{-6}}{0.72}=7.5\times10^4\,\mathrm{N/C}$

$E_2=\frac{9\times10^9\times8\times10^{-6}}{0.72}=1.0\times10^5\,\mathrm{N/C}$

گام چهارم ـ محاسبهٔ میدان برایند

میدان‌ها برداری جمع می‌شوند، نه صرفاً با جمع اندازه‌ها. چون در این مسئله دو میدان بر هم عمودند:

$E=\sqrt{E_1^2+E_2^2}$

$E=\sqrt{(7.5\times10^4)^2+(10\times10^4)^2}=\sqrt{56.25+100}\times10^4$

$E=12.5\times10^4=1.25\times10^5\,\mathrm{N/C}$

این مقدار با مقدار درج‌شده در گزینهٔ دوم برابر است؛ در نگارش گزینه‌ها، ممیز با نشانهٔ «/» آمده است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تعیین محل نقطهٔ تعادل
طبق روش محاسبهٔ نیروی خالص، باید نیروهای وارد از سوی دو بار را به‌صورت برداری جمع کنیم (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۹). برای صفر شدن برآیند، دو نیرو باید هم‌اندازه و خلاف جهت باشند. از آنجا که هر نیرو در راستای خط واصل دو بار اثر می‌کند، محل $q_3$ باید روی خط $AB$ باشد. دو بار ثابت هم‌نام‌اند؛ بنابراین فقط بین آن‌ها نیروهای وارد بر $q_3$ خلاف جهت یکدیگرند. این نتیجه به مثبت یا منفی بودن $q_3$ بستگی ندارد.

۲. محاسبهٔ فاصلهٔ دو بار ثابت
با استفاده از مختصات داده‌شده داریم:
$AB=\sqrt{(12\,\mathrm{cm})^2+(9\,\mathrm{cm})^2}=15\,\mathrm{cm}$.

۳. نوشتن شرط برابری اندازهٔ نیروها
فاصلهٔ $q_3$ از $q_1$ را $r_{13}$ و فاصلهٔ آن از $q_2$ را $r_{23}$ می‌نامیم. طبق قانون کولن، اندازهٔ نیرو با بزرگی بارها نسبت مستقیم و با مربع فاصله نسبت وارون دارد (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۶). پس:
$k\frac{|q_1||q_3|}{r_{13}^2}=k\frac{|q_2||q_3|}{r_{23}^2}$.
با حذف عامل‌های مشترک:
$\frac{r_{23}^2}{r_{13}^2}=\frac{|q_2|}{|q_1|}=\frac{8}{2}=4\quad\Rightarrow\quad r_{23}=2r_{13}$.
بنابراین نقطهٔ تعادل به بار کوچک‌تر، یعنی $q_1$، نزدیک‌تر است.

۴. به دست آوردن فاصلهٔ خواسته‌شده
چون نقطهٔ تعادل بین دو بار است:
$r_{13}+r_{23}=15\,\mathrm{cm}$.
در نتیجه:
$r_{13}+2r_{13}=15\,\mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad r_{13}=5\,\mathrm{cm}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: تشخیص جریان‌ها

مقاومت‌های $2\,\Omega$ و $4\,\Omega$ موازی‌اند؛ پس اختلاف پتانسیل دو سر آن‌ها یکسان است. مقاومت $6\,\Omega$ در مسیر جریان اصلی قرار دارد و جریان مجموع دو شاخه از آن می‌گذرد. در تحلیل مدار باید اتصال‌ها را ملاک قرار دهیم، نه جای ظاهری مقاومت‌ها در شکل؛ در بخش‌های متوالی نیز جریان یکسان است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحهٔ ۷۰).

گام دوم: تعیین نسبت جریان‌ها

جریان مقاومت $4\,\Omega$ را $i$ می‌نامیم. با استفاده از قانون اهم و برابری ولتاژ دو شاخه داریم:

$V=4i=2I_2\quad\Rightarrow\quad I_2=2i$

پس جریان عبوری از مقاومت $6\,\Omega$ برابر مجموع جریان دو شاخه است:

$I_6=I_2+I_4=2i+i=3i$

گام سوم: محاسبهٔ نسبت توان‌ها

توان مصرفی مقاومت از رابطهٔ $P=I^2R$ به دست می‌آید؛ بنابراین:

$\displaystyle \frac{P_6}{P_4}=\frac{I_6^2R_6}{I_4^2R_4}=\frac{(3i)^2\times6}{i^2\times4}=\frac{54}{4}=13.5$

بنابراین توان مصرفی مقاومت $6\,\Omega$، برابر $13.5$ برابر توان مصرفی مقاومت $4\,\Omega$ است. برای این نسبت، نیازی به دانستن نیروی محرکهٔ باتری یا محاسبهٔ جریان کل نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ انتخاب رابطه: تغییر شار مغناطیسی عبوری از پیچه، نیروی محرکهٔ القایی و در پیچهٔ بسته جریان القایی ایجاد می‌کند؛ این ارتباط در توضیح القای متقابل نیز بیان شده است (فیزیک ۲ (ریاضی)، صفحه‌های ۱۲۰–۱۲۱). طبق قانون فاراده، اندازهٔ نیروی محرکهٔ القایی متوسط در پیچه‌ای با $N$ حلقه برابر است با:
$|\overline{\mathcal{E}}|=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$
در این رابطه، شار داده‌شده مربوط به هر حلقه است و اثر تعداد حلقه‌ها با ضریب $N$ منظور می‌شود.

گام دوم ـ محاسبهٔ تغییر شار:
$\Delta\Phi=\Phi_f-\Phi_i=0.005-0.02=-0.015\,\mathrm{Wb}$
علامت منفی نشان می‌دهد شار کاهش یافته است. چون سؤال اندازهٔ جریان را می‌خواهد، از قدرمطلق تغییر شار استفاده می‌کنیم:
$|\Delta\Phi|=0.015\,\mathrm{Wb}$

گام سوم ـ محاسبهٔ نیروی محرکهٔ متوسط: با تعداد حلقه‌های $N=200$ و بازهٔ زمانی $\Delta t=0.1\,\mathrm{s}$ داریم:
$|\overline{\mathcal{E}}|=\frac{200\times0.015}{0.1}=30\,\mathrm{V}$

گام چهارم ـ محاسبهٔ جریان متوسط: چون مقاومت پیچه ثابت و برابر $R=15\,\Omega$ است، از قانون اهم داریم:
$|\overline I|=\frac{|\overline{\mathcal{E}}|}{R}=\frac{30}{15}=2\,\mathrm{A}$
پس جریان القایی متوسط از نظر اندازه برابر $2\,\mathrm{A}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ تشخیص فشار پیمانه‌ای:
طبق تعریف کتاب، فشار پیمانه‌ای اختلاف فشار مطلق و فشار جو است:
$P_g=P-P_0=\rho gh$
(فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۳۸–۳۹).
در سطح آزاد مایع، عمق برابر صفر است؛ بنابراین عرض از مبدأ نمودار، فشار جو را نشان می‌دهد:
$P_0=1.03\times10^5\,\mathrm{Pa}$.

گام دوم ـ محاسبهٔ فشار پیمانه‌ای در عمق معلوم نمودار:
در عمق $50\,\mathrm{cm}$، فشار مطلق برابر $1.71\times10^5\,\mathrm{Pa}$ است. پس:
$P_g(50\,\mathrm{cm})=(1.71-1.03)\times10^5=6.8\times10^4\,\mathrm{Pa}$.

گام سوم ـ استفاده از تناسب فشار پیمانه‌ای با عمق:
چون چگالی مایع و شتاب گرانش ثابت‌اند، از رابطهٔ $P_g=\rho gh$ نتیجه می‌شود که فشار پیمانه‌ای با عمق نسبت مستقیم دارد. بنابراین:
$\frac{P_g(10\,\mathrm{cm})}{P_g(50\,\mathrm{cm})}=\frac{10\,\mathrm{cm}}{50\,\mathrm{cm}}=\frac{1}{5}$.
در نتیجه:
$P_g(10\,\mathrm{cm})=\frac{1}{5}\times6.8\times10^4=1.36\times10^4\,\mathrm{Pa}$.
در این روش نیازی به محاسبهٔ چگالی یا استفادهٔ جداگانه از مقدار شتاب گرانش نیست، زیرا حاصل‌ضرب $\rho g$ در نسبت‌گیری حذف می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق رابطهٔ انرژی جنبشی، $K=\frac{1}{2}mv^2$؛ در این رابطه، اگر تندی برحسب متر بر ثانیه و انرژی برحسب ژول باشد، جرم برحسب کیلوگرم به دست می‌آید (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۴).

گام اول: افزایش انرژی جنبشی را به صورت تفاضل انرژی نهایی و اولیه می‌نویسیم (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحه‌های ۵۴–۵۵):
$\Delta K=K_2-K_1=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2)$.

گام دوم: داده‌های مسئله را جایگذاری می‌کنیم. توجه کنید که باید «تفاضل مربع تندی‌ها» را حساب کنیم، نه «مربع تفاضل تندی‌ها»:
$4\,\mathrm{J}=\frac{1}{2}m\big[(6\,\mathrm{m/s})^2-(2\,\mathrm{m/s})^2\big]$.

پس جرم برابر است با:
$m=\frac{2\times4}{36-4}\,\mathrm{kg}=\frac{8}{32}\,\mathrm{kg}=0.25\,\mathrm{kg}$.

گام سوم: جرم را به گرم تبدیل می‌کنیم:
$m=0.25\times1000\,\mathrm{g}=250\,\mathrm{g}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا توجه کنید که تندی $2/5$ در نگارش صورت سؤال، عدد اعشاری است؛ یعنی $v=2.5\,\mathrm{m/s}$.

گام اول: محاسبهٔ کار نیروی واردشده
طبق رابطهٔ کار نیروی ثابت، فقط مؤلفهٔ هم‌راستا با جابه‌جایی در کار نقش دارد: $W_F=Fd\cos\theta$ (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۸). پس:
$W_F=40\times5\times\cos60^\circ=40\times5\times\frac12=100\,\mathrm{J}$.

گام دوم: محاسبهٔ تغییر انرژی جنبشی
جسم از حال سکون حرکت می‌کند، پس انرژی جنبشی اولیه صفر است. با استفاده از رابطهٔ $K=\frac12 mv^2$ (فیزیک ۱ (ریاضی)، صفحهٔ ۵۴) داریم:
$\Delta K=\frac12\times8\times(2.5)^2=25\,\mathrm{J}$.