سوال ۵۲ فیزیک کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

ابتدا دامنه و جرم را در یکاهای مناسب می‌نویسیم. طول پاره‌خط نوسان، فاصلهٔ میان دو نقطهٔ بازگشت و برابر $2A$ است؛ بنابراین:
$2A=10\,\mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad A=5\,\mathrm{cm}=0.05\,\mathrm{m}$
$m=400\,\mathrm{g}=0.4\,\mathrm{kg}$

تعیین بازهٔ حرکت در کمترین زمان:
تندی نوسانگر در نقطهٔ تعادل بیشینه است و با دورشدن از آن کاهش می‌یابد (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۶۳ و صفحهٔ ۶۶). پس برای پیمودن یک مسافت معین در کمترین زمان، باید بخش سریع‌تر مسیر را انتخاب کنیم؛ یعنی بازه‌ای متقارن نسبت به تعادل. چون مسافت خواسته‌شده برابر دامنه است، این بازه از $x=+A/2$ تا $x=-A/2$ خواهد بود.

به‌دست‌آوردن بسامد زاویه‌ای:
طبق معادلهٔ مکان ــ زمان $x=A\cos\omega t$ (فیزیک ۳ ریاضی، صفحهٔ ۶۳)، هنگام حرکت از سمت مثبت به سمت منفی داریم:
$\cos\varphi_1=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad\varphi_1=\frac{\pi}{3}$
$\cos\varphi_2=-\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad\varphi_2=\frac{2\pi}{3}$
پس اختلاف فاز این عبور برابر است با:
$\Delta\varphi=\frac{\pi}{3}$
در نتیجه:
$\omega\Delta t=\frac{\pi}{3}\quad\Rightarrow\quad\omega=\frac{\pi/3}{1/30}=10\pi\,\mathrm{rad/s}$
با تقریب داده‌شدهٔ $\pi=3$:
$\omega=30\,\mathrm{rad/s}$

محاسبهٔ بیشینهٔ انرژی جنبشی:
بیشینهٔ تندی در تعادل برابر $v_{\max}=A\omega$ است؛ بنابراین بیشینهٔ انرژی جنبشی از رابطهٔ زیر به دست می‌آید (فیزیک ۳ ریاضی، صفحه‌های ۶۶–۶۷):
$K_{\max}=\frac{1}{2}mv_{\max}^2=\frac{1}{2}m\omega^2A^2$
با جای‌گذاری:
$K_{\max}=\frac{1}{2}\times0.4\times30^2\times(0.05)^2=0.45\,\mathrm{J}=450\,\mathrm{mJ}$

پاسخ: گزینهٔ ۲