سوالات ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: نمایش جمله‌های هندسی
طبق تعریف دنبالهٔ هندسی، سه جملهٔ متوالی را به صورت $a,ar,ar^2$ می‌نویسیم که در آن $a\ne0$ و $r\ne0$ است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۲۵–۲۶).
با ضرب این جمله‌ها به‌ترتیب در $4$، $8$ و $16$، سه جملهٔ $4a,8ar,16ar^2$ به دست می‌آیند.

گام دوم: استفاده از شرط حسابی‌بودن
در سه جملهٔ متوالیِ حسابی، اختلاف جمله‌های پیاپی برابر است؛ بنابراین دو برابر جملهٔ میانی، برابر مجموع جمله‌های کناری است. این همان ویژگی واسطهٔ حسابی است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۴). پس:
$2(8ar)=4a+16ar^2$
چون $a\ne0$، دو طرف را بر $4a$ تقسیم می‌کنیم:
$4r=1+4r^2\Rightarrow4r^2-4r+1=0\Rightarrow(2r-1)^2=0$
بنابراین $r=\frac12$ و سه جملهٔ هندسی عبارت‌اند از:
$a,\frac a2,\frac a4$
سه جملهٔ حاصل از ضرب نیز $4a,4a,4a$ هستند. ثابت‌بودن این جمله‌ها با حسابی‌بودن سازگار است؛ زیرا اختلاف مشترک آن‌ها صفر است. نمونهٔ دنبالهٔ حسابی ثابت نیز در تمرین کتاب آمده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۴).

گام سوم: استفاده از برابری دو مجموع
طبق شرط دوم سؤال، مجموع مربعات جمله‌های هندسی برابر مجموع جمله‌های حسابی است:
$a^2+\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a4\right)^2=4a+4a+4a$
پس:
$a^2\left(1+\frac14+\frac1{16}\right)=12a\Rightarrow\frac{21}{16}a^2=12a$
با تقسیم بر $a\ne0$ داریم:
$\frac{21}{16}a=12\Rightarrow a=\frac{12\times16}{21}=\frac{64}{7}$
پس جملهٔ اول دنبالهٔ هندسی برابر $\frac{64}{7}$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: طول رأس را برحسب ضریب سهمی پیدا می‌کنیم.
طبق رابطهٔ رأس سهمی $y=ax^2+bx+c$، طول رأس برابر $x_{\text{رأس}}=-\frac{b}{2a}$ است و با جای‌گذاری آن در معادلهٔ سهمی، عرض رأس به دست می‌آید (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۰–۸۱). در این سؤال $a=k$ و $b=-4$ است؛ همچنین چون نمودار سهمی است، $k\ne0$. بنابراین:
$x_{\text{رأس}}=-\frac{-4}{2k}=\frac{2}{k}$.

گام دوم: عرض رأس را از معادلهٔ سهمی می‌نویسیم:
$y_{\text{رأس}}=k\left(\frac{2}{k}\right)^2-4\left(\frac{2}{k}\right)-6=\frac{4}{k}-\frac{8}{k}-6=-\frac{4}{k}-6$.

گام سوم: شرط قرار داشتن رأس روی خط را به کار می‌بریم. مختصات رأس باید در معادلهٔ $y=-4x-4$ نیز صدق کند؛ پس:
$y_{\text{رأس}}=-4\left(\frac{2}{k}\right)-4=-\frac{8}{k}-4$.
با برابر قرار دادن دو عبارت عرض رأس داریم:
$-\frac{4}{k}-6=-\frac{8}{k}-4\Rightarrow\frac{4}{k}=2\Rightarrow k=2$.

گام چهارم: مقدار به‌دست‌آمده را جای‌گذاری می‌کنیم:
$x_{\text{رأس}}=\frac{2}{2}=1$،
$y_{\text{رأس}}=-4(1)-4=-8$.
پس رأس سهمی نقطهٔ $(1,-8)$ است و عرض آن، یعنی مؤلفهٔ دوم، برابر $-8$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا نشان می‌دهیم که نمودار حتی برای هیچ مقدار حقیقیِ $x$ نیز بین دو خط داده‌شده قرار نمی‌گیرد؛ بنابراین ابهامی در شمارش مقدارهای صحیح باقی نمی‌ماند.

گام اول: تبدیل شرط هندسی به نامعادله
قرارگرفتن بین دو خط یعنی باید هم‌زمان داشته باشیم:
$-3<\frac{2}{x^2-3x+2}<0$.
این تبدیل، مطابق روش نوشتن شرط‌های هم‌زمان به‌صورت نامعادلهٔ دوگانه است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۹–۹۰).

گام دوم: بررسی علامت تابع و دامنه
مخرج را تجزیه می‌کنیم:
$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.
پس تابع در $x=1$ و $x=2$ تعریف نشده است. چون صورت کسر مثبت است، تابع فقط وقتی منفی می‌شود که مخرج منفی باشد؛ یعنی:
$(x-1)(x-2)<0\quad\Longrightarrow\quad 1<x<2$.
این نتیجه از تعیین علامت عبارت درجهٔ دوم و کسر به دست می‌آید (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۷–۸۸). همین‌جا می‌بینیم که هیچ مقدار صحیحی برای $x$ در بازهٔ لازم وجود ندارد.

گام سوم: بررسی جایگاه تمام نقاط شاخهٔ منفی
برای اطمینان، با روش مربع کامل که در ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۴ به کار رفته است، می‌نویسیم:
$x^2-3x+2=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$.
چون مربع هر عدد حقیقی نامنفی است، در بازهٔ $1<x<2$ داریم:
$-\frac{1}{4}\le x^2-3x+2<0$.
اگر مخرج را $d$ بنامیم، از $d\ge-\frac{1}{4}$ نتیجه می‌شود $-8d\le2$. با تقسیم بر $d<0$، جهت نامساوی عوض می‌شود و به دست می‌آید:
$\frac{2}{d}\le-8$.
بنابراین شاخهٔ منفی نمودار همواره در ناحیهٔ $y\le-8$ است و پایین‌تر از خط $y=-3$ قرار دارد. در خارج از این بازه نیز تابع مثبت و بالاتر از خط $y=0$ است.

در نتیجه، هیچ نقطه‌ای از نمودار بین دو خط قرار نمی‌گیرد و تعداد مقدارهای صحیح موردنظر صفر است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

در این مسئله، ترتیب سخنرانی افراد مهم است؛ بنابراین با جایگشت سروکار داریم. در کتاب نیز هر چینش اشیای متمایز، یک جایگشت نامیده می‌شود (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۷).

گام اول: دو نفر خاص را با $A$ و $B$ نشان می‌دهیم. چون باید پشت سر هم سخنرانی کنند، آن‌ها را یک «بسته» در نظر می‌گیریم. در نتیجه، به‌جای پنج نفر، چهار واحد برای چیدن داریم: یک بسته و سه نفر دیگر.

گام دوم: تعداد ترتیب‌های این چهار واحد، با استفاده از اصل ضرب، برابر است با:
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
این همان روش شمارش جایگشت‌ها با انتخاب پیاپی جایگاه‌هاست (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۷).

گام سوم: داخل بسته نیز دو ترتیب متفاوتِ $AB$ و $BA$ وجود دارد؛ پس تعداد ترتیب‌های داخلی برابر $2! = 2$ است. برای هر چینش چهار واحد، هر دو ترتیب داخلی امکان‌پذیر است؛ بنابراین طبق اصل ضرب (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۴)، تعداد کل حالت‌ها برابر می‌شود با:
$4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$

هر برنامهٔ مجاز دقیقاً یک جایگاه برای بسته و یک ترتیب داخلی مشخص دارد؛ پس هیچ حالتی حذف یا دوبار شمرده نشده است.

پاسخ: گزینهٔ ۲