سوالات ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: تعیین مقدار $a$
در دنبالهٔ حسابی، تفاضل هر دو جملهٔ متوالی عددی ثابت است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۱). بنابراین برای سه جملهٔ داده‌شده داریم:
$(2a+1)-a=(5-a)-(2a+1)$
با ساده‌سازی:
$a+1=4-3a$
$4a=3\quad\Rightarrow\quad a=\frac{3}{4}=0.75$

گام دوم: تعیین قدرنسبت
قدرنسبت را از تفاضل جملهٔ دوم و اول به دست می‌آوریم:
$d=(2a+1)-a=a+1=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}$

گام سوم: محاسبهٔ جملهٔ نهم
طبق رابطهٔ جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی، $t_n=t_1+(n-1)d$ است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۳). چون طبق صورت سؤال $a$ جملهٔ نخست است، داریم:
$t_1=a=\frac{3}{4}$
از جملهٔ اول تا جملهٔ نهم، هشت بار قدرنسبت اضافه می‌شود؛ پس:
$t_9=t_1+8d=\frac{3}{4}+8\times\frac{7}{4}=\frac{59}{4}=14.75$
این مقدار همان عدد اعشاری نوشته‌شده در گزینهٔ چهارم است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

نقطهٔ برخورد خط با محور عمودی را $B$، نقطهٔ برخورد آن با محور افقی را $C$ و مبدأ مختصات را $O$ می‌نامیم.

گام اول: یافتن شیب و معادلهٔ خط
زاویهٔ تند خط با خط افقی برابر است با:
$180^\circ-135^\circ=45^\circ$
بنابراین مثلث قائم‌الزاویه‌ای که از جابه‌جایی افقی و عمودی روی خط ساخته می‌شود، دو ضلع قائم برابر دارد. چون خط نزولی است، شیب آن $m=-1$ است. این استدلال بر تعریف شیب به‌صورت نسبت تغییرات عمودی به افقی تکیه دارد (ریاضی نهم، صفحه‌های ۱۰۳–۱۰۴).

عرض از مبدأ خط $2$ است؛ پس $B=(0,2)$. با توجه به صورت $y=ax+b$، معادلهٔ خط چنین می‌شود (ریاضی نهم، صفحه‌های ۱۰۲–۱۰۳):
$y=-x+2$

گام دوم: یافتن محل برخورد با محور افقی
روی محور افقی، عرض نقطه صفر است؛ بنابراین:
$0=-x+2\quad\Rightarrow\quad x=2$
پس $C=(2,0)$ است.

گام سوم: استفاده از تساوی پاره‌خط‌ها
طبق علامت‌های شکل، $BC=CA$ و این سه نقطه روی یک خط‌اند؛ پس $C$ وسط پاره‌خط $BA$ است. از $B$ تا $C$، طول مختصاتی $2$ واحد افزایش و عرض $2$ واحد کاهش یافته است. همین تغییرات از $C$ تا $A$ نیز تکرار می‌شود؛ بنابراین:
$A=(2+2,\,0-2)=(4,-2)$

گام چهارم: محاسبهٔ فاصله از مبدأ
فاصله‌های افقی و عمودی نقطهٔ $A$ از مبدأ به‌ترتیب $4$ و $2$ هستند. با قضیهٔ فیثاغورس:
$OA=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

پاسخ: گزینهٔ ۱

نقطهٔ مشخص‌شده روی قاعده را $D$ و پای ارتفاع وارد از $A$ بر $BC$ را $H$ می‌نامیم.

گام اول ـ پیدا کردن فاصله‌های روی قاعده:
چون مثلث در رأس $A$ متساوی‌الساقین است، $AB=AC=4$ و ارتفاع $AH$ قاعده را نصف می‌کند. بنابراین:
$BC=BD+DC=5+1=6$
$BH=HC=\frac{6}{2}=3$
از آنجا که $BD=5$ و $BH=3$، ترتیب نقاط روی قاعده $B,H,D,C$ است و داریم:
$HD=BD-BH=5-3=2$

گام دوم ـ محاسبهٔ ارتفاع:
با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویهٔ $AHC$، مانند روش محاسبهٔ ضلع مجهول در درس نسبت‌های مثلثاتی (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۴–۳۵)، داریم:
$AH^2=AC^2-HC^2=4^2-3^2=7$
پس:
$AH=\sqrt{7}$

گام سوم ـ محاسبهٔ تانژانت و تعیین علامت:
زاویهٔ تند $ADH$ را $\beta$ می‌نامیم. در مثلث قائم‌الزاویهٔ $AHD$، تانژانت برابر نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است:
$\tan\beta=\frac{AH}{HD}=\frac{\sqrt{7}}{2}$
اما زاویهٔ خواسته‌شده بین نیم‌خط‌های $DA$ و $DC$ است. چون نیم‌خط‌های $DH$ و $DC$ خلاف جهت یکدیگرند، داریم:
$\alpha=180^\circ-\beta$
بنابراین $\alpha$ در ناحیهٔ دوم قرار دارد و تانژانت آن منفی است. توجه به ناحیهٔ زاویه برای تعیین علامت نسبت‌های مثلثاتی در کتاب نیز تأکید شده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳). در نتیجه:
$\tan\alpha=-\tan\beta=-\frac{\sqrt{7}}{2}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا شرط‌های مسئله را مشخص می‌کنیم: حداقل یکی از دو عدد باید اول باشد و هم‌زمان مجموع آن‌ها حداقل $6$ باشد. بنابراین با اشتراک دو پیشامد روبه‌رو هستیم؛ مانند نمونه‌های ترکیب پیشامدها در کتاب (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۵ و ۱۴۶).

گام اول: شمارش کل حالت‌ها
دو تاس را متمایز در نظر می‌گیریم؛ پس نتیجهٔ پرتاب یک زوج مرتب است و داریم:
$n(S)=6\times6=36$.
این حالت‌ها هم‌شانس‌اند؛ بنابراین احتمال مطلوب برابر نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد کل حالت‌هاست (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۶ و ۱۴۷).

گام دوم: شمارش حالت‌های دارای مجموع حداقل $6$
از روش متمم استفاده می‌کنیم؛ همان روشی که کتاب برای شرط مجموع دو تاس به کار برده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۹). مجموع‌های کمتر از $6$ عبارت‌اند از $2،3،4،5$ و به‌ترتیب $1،2،3،4$ حالت دارند. پس:
$n(\text{مجموع حداقل }6)=36-(1+2+3+4)=26$.

گام سوم: حذف حالت‌هایی که هیچ‌کدام از تاس‌ها اول نیستند
عددهای اول روی تاس $\{2,3,5\}$ هستند؛ بنابراین عددهای غیراول آن $\{1,4,6\}$ هستند. توجه کنید که $1$ عدد اول نیست.
از میان حالت‌های مرحلهٔ قبل، حالت‌هایی که هر دو عدد غیراول‌اند عبارت‌اند از:
$\{(1,6),(6,1),(4,4),(4,6),(6,4),(6,6)\}$.
پس باید این $6$ حالت را حذف کنیم و تعداد حالت‌های مطلوب برابر است با:
$n(A)=26-6=20$.

گام چهارم: محاسبهٔ احتمال
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲