سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

طبق تعریف ترکیب توابع، ابتدا باید مقدار تابع داخلی، یعنی $f$، را به دست آوریم و سپس آن را در $g$ قرار دهیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴):
$(g\circ f)(-\frac{5}{3})=g(f(-\frac{5}{3}))$.

گام اول: محاسبهٔ خروجی تابع داخلی
نماد $[x]$ بیانگر بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساویِ $x$ است. چون
$-2\leq -\frac{5}{3}<-1$،
داریم $[-\frac{5}{3}]=-2$. بنابراین:
$f(-\frac{5}{3})=2(-2)-(-\frac{5}{3})=-4+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$.

گام دوم: ساده‌کردن ضابطهٔ تابع دوم
با استفاده از ضابطهٔ داده‌شدهٔ $f$:
$x+f(x)=x+2[x]-x=2[x]$.
چون $2[x]$ عددی صحیح است، جزء صحیحِ آن با خودش برابر است؛ پس:
$g(x)=f([x+f(x)])=f(2[x])$.
از طرفی، برای هر عدد صحیحِ $n$ داریم:
$f(n)=2[n]-n=2n-n=n$.
در نتیجه:
$g(x)=2[x]$.

گام سوم: محاسبهٔ مقدار ترکیب
اکنون خروجی گام اول را در ضابطهٔ ساده‌شدهٔ $g$ قرار می‌دهیم:
$(g\circ f)(-\frac{5}{3})=g(-\frac{7}{3})=2[-\frac{7}{3}]$.
چون $-3\leq -\frac{7}{3}<-2$، جزء صحیحِ این کسر برابر $-3$ است؛ بنابراین:
$(g\circ f)(-\frac{5}{3})=2(-3)=-6$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: ابعاد اولیه را مشخص می‌کنیم.
چون نسبت طول به عرض $5$ به $4$ است، می‌توان نوشت:
$L_0=5k,\qquad W=4k,\qquad k>0$.
با افزایش طول، عرض تغییر نمی‌کند.

گام دوم: نسبت طلایی را به دست می‌آوریم.
طبق تعریف مستطیل طلایی، اگر طول جدید $L$ و عرض $W$ باشد، داریم:
$\frac{L+W}{L}=\frac{L}{W}$
(ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۹).
اگر $r=\frac{L}{W}$ بگیریم، این رابطه به صورت زیر درمی‌آید:
$1+\frac{1}{r}=r\ \Rightarrow\ r^2-r-1=0$.
پس:
$r=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$.
چون نسبت دو طول مثبت است، ریشهٔ منفی پذیرفتنی نیست؛ بنابراین:
$r=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
در نتیجه طول مستطیل طلایی برابر است با:
$L=4k\times\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

گام سوم: نسبت مساحت‌ها را محاسبه می‌کنیم.
مساحت مستطیل برابر حاصل‌ضرب طول و عرض است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲–۱۳). چون عرض دو مستطیل یکسان است، در نسبت مساحت‌ها حذف می‌شود:
$\frac{A_{\text{طلایی}}}{A_{\text{اولیه}}}=\frac{L\times W}{L_0\times W}=\frac{L}{L_0}$.
بنابراین:
$\frac{A_{\text{طلایی}}}{A_{\text{اولیه}}}=\frac{4k\times\frac{1+\sqrt{5}}{2}}{5k}=\frac{2}{5}(1+\sqrt{5})=0.4(1+\sqrt{5})$.
این عبارت همان عبارت گزینهٔ چهارم است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ دوم را پیدا می‌کنیم.
طبق رابطه‌های کتاب، در معادلهٔ $Ax^2+Bx+C=0$، مجموع ریشه‌ها $-\frac BA$ و حاصل‌ضرب آن‌ها $\frac CA$ است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲–۱۳).
اگر ریشه‌های معادلهٔ $2ax^2+ax-6=0$ را $\alpha$ و $\beta$ بنامیم، با توجه به $a\ne0$ داریم:
$\alpha+\beta=-\frac{a}{2a}=-\frac12$
$\alpha\beta=\frac{-6}{2a}=-\frac3a$

گام دوم: با مقایسهٔ مجموع ریشه‌ها، مقدار $a$ را به دست می‌آوریم.
طبق صورت سؤال، ریشه‌های معادلهٔ $2x^2-ax+b=0$ برابر $\alpha+\frac12$ و $\beta+\frac12$ هستند. بنابراین مجموع آن‌ها برابر است با:
$\left(\alpha+\frac12\right)+\left(\beta+\frac12\right)=\alpha+\beta+1=-\frac12+1=\frac12$
از سوی دیگر، مجموع ریشه‌های معادلهٔ اول $\frac a2$ است؛ پس:
$\frac a2=\frac12\ \Rightarrow\ a=1$

گام سوم: با مقایسهٔ حاصل‌ضرب ریشه‌ها، مقدار $b$ را می‌یابیم.
با جای‌گذاری $a=1$، داریم $\alpha\beta=-3$. در نتیجه:
$\left(\alpha+\frac12\right)\left(\beta+\frac12\right)=\alpha\beta+\frac12(\alpha+\beta)+\frac14$
$=-3+\frac12\left(-\frac12\right)+\frac14=-3$
حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ اول برابر $\frac b2$ است، پس:
$\frac b2=-3\ \Rightarrow\ b=-6$

گام چهارم: جزء صحیح عبارت را محاسبه می‌کنیم.
$\frac{ab}{4}=\frac{1\times(-6)}4=-\frac32$
نماد کروشه در این سؤال بیانگر جزء صحیح، یعنی بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی عدد موردنظر است. چون $-2\le-\frac32<-1$، داریم:
$\left[\frac{ab}{4}\right]=-2$

پاسخ: گزینهٔ ۳

نکتهٔ مهم: پاسخ تأییدشدهٔ اعلام‌شده با شرط دامنهٔ تابع مرکب سازگار نیست. گزینهٔ دوم پاسخِ موردنظر طراح به نظر می‌رسد، اما با صورت فعلی سؤال، هیچ گزینه‌ای جواب دقیق نیست.

گام اول: تعیین دامنهٔ نامعادله

به دلیل وجود لگاریتم، دامنهٔ تابع برابر است با:

$D_f=(0,+\infty)$

طبق تعریف دامنهٔ ترکیب توابع، برای تعریف شدن $f(f(x))$ باید هم $x$ در دامنهٔ تابع باشد و هم $f(x)$ در دامنهٔ تابع بیرونی قرار بگیرد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳–۱۴). بنابراین:

$x>0,\qquad f(x)>0$

چون توان پنجم علامت پایه را حفظ می‌کند، شرط دوم معادل است با:

$(x+\log x)^5>0\iff x+\log x>0$

از طرف دیگر، برای $x>0$، عبارت $f(x^5)$ تعریف شده است. پس دامنهٔ مشترک دو طرف نامعادله چنین است:

$D=\{x>0\mid x+\log x>0\}$

گام دوم: بررسی یکنوایی تابع

روی اعداد مثبت، هر دو تابع $x$ و $\log x$ اکیداً صعودی‌اند؛ بنابراین مجموع آن‌ها نیز اکیداً صعودی است. تابع توان پنجم نیز روی اعداد حقیقی اکیداً صعودی است؛ در نتیجه $f$ روی دامنه‌اش اکیداً صعودی است. مطابق تعریف تابع اکیداً صعودی، ترتیب ورودی‌ها با ترتیب خروجی‌ها یکسان است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۶–۷).

پس برای ورودی‌های مجاز داریم:

$f(f(x))<f(x^5)\iff f(x)<x^5$

گام سوم: حل نامعادله با حفظ شرط دامنه

با جای‌گذاری ضابطهٔ تابع و استفاده از اکیداً صعودی بودن توان پنجم:

$(x+\log x)^5<x^5\iff x+\log x<x$

بنابراین:

$\log x<0\iff 0<x<1$

اما این بازه باید با دامنهٔ گام اول اشتراک گرفته شود. در نتیجه جواب دقیق برابر است با:

$S=\{x\in(0,1)\mid x+\log x>0\}$

اگر ریشهٔ معادلهٔ $x+\log x=0$ را $\alpha$ بنامیم، چون این عبارت پیوسته و اکیداً صعودی است و از مقادیر منفی به مثبت می‌رسد، دقیقاً یک ریشه در بازهٔ $(0,1)$ دارد. پس:

$S=(\alpha,1),\qquad \alpha+\log\alpha=0$

چرا گزینهٔ دوم دقیق نیست؟

برای نمونه، عدد $x=\frac{1}{10}$ در بازهٔ گزینهٔ دوم قرار دارد، ولی با لگاریتم معمول داریم:

$x+\log x=\frac{1}{10}-1=-\frac{9}{10}<0$

پس $f(x)<0$ و لگاریتمِ ورودی در تابع بیرونی تعریف نمی‌شود؛ یعنی $f(f(x))$ اصلاً مقدار حقیقی ندارد. کتاب نیز تأکید می‌کند که دامنهٔ ترکیب باید از تعریف آن تعیین شود و نباید هنگام ساده‌سازی از آن صرف‌نظر کرد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴).

بنابراین تنها با نادیده گرفتن شرط دامنه، گزینهٔ دوم حاصل می‌شود؛ جواب دقیق صورت فعلی سؤال در گزینه‌ها نیست.

پاسخ: هیچ‌یک از گزینه‌ها؛ گزینهٔ ۲ پاسخِ موردنظر طراح، اما فاقد شرط لازم دامنه است.

گام اول: رأس‌های مثلث را مشخص می‌کنیم.
طبق تعریف کتاب، صفرهای تابع نقاط برخورد نمودار با محور افقی‌اند و عرض از مبدأ نیز از مقدار تابع در $x=0$ به دست می‌آید (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۵–۱۶). برای تابع اول داریم:
$2x^2-(m+2)x+m=(x-1)(2x-m)$
پس رأس‌های مثلث عبارت‌اند از:
$A=(1,0),\qquad B=(\frac{m}{2},0),\qquad C=(0,m)$.

گام دوم: مساحت مثلث را برحسب پارامتر می‌نویسیم.
ضلع $AB$ روی محور افقی است؛ بنابراین طول قاعده و ارتفاع متناظر آن برابرند با:
$AB=\left|1-\frac{m}{2}\right|=\frac{|m-2|}{2},\qquad h=|m|$.
توجه کنید که حتی اگر نقطهٔ $C$ پایین محور افقی باشد، ارتفاع مثلث مثبت است. با استفاده از رابطهٔ مساحت مثلث، که در ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴ نیز به آن اشاره شده است، داریم:
$S=\frac{1}{2}\times AB\times h=\frac{|m(m-2)|}{4}$.
اکنون شرط سؤال را اعمال می‌کنیم:
$\frac{|m(m-2)|}{4}=\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad |m(m-2)|=3$.

گام سوم: حالت‌های قدرمطلق را حل می‌کنیم.
حالت اول:
$m(m-2)=3\quad\Rightarrow\quad m^2-2m-3=0\quad\Rightarrow\quad (m-3)(m+1)=0$.
بنابراین $m=3$ یا $m=-1$.
حالت دوم:
$m(m-2)=-3\quad\Rightarrow\quad m^2-2m+3=0$.
این معادله جواب حقیقی ندارد؛ زیرا $m^2-2m+3=(m-1)^2+2>0$. پس تنها مقادیر مجاز همان $m=3$ و $m=-1$ هستند.

گام چهارم: طول رأس سهمی دوم را به دست می‌آوریم.
طول رأس سهمی $y=ax^2+bx+c$ برابر $x_v=-\frac{b}{2a}$ است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴). در سهمی $y=x^2-mx+1$ داریم:
$x_v=-\frac{-m}{2}=\frac{m}{2}$.
پس طول رأس می‌تواند $\frac{3}{2}$ یا $-\frac{1}{2}$ باشد. از میان گزینه‌های داده‌شده، فقط $-\frac{1}{2}$ وجود دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق تعریف تابع وارون، برای یافتن $f^{-1}(-19)$ باید ورودی‌ای را پیدا کنیم که خروجی تابع در آن برابر $-19$ باشد. همچنین وارون‌پذیری تابع مستلزم یک‌به‌یک بودن آن است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۲۴–۲۵).

گام اول: بررسی شاخهٔ خطی
شرط شاخه‌ها را ساده می‌کنیم:
$2x+3\leq0\iff x\leq-\frac{3}{2}$.
پس شاخهٔ اول، تابع نزولی $f(x)=2-3x$ روی بازهٔ $(-\infty,-\frac{3}{2}]$ است. کمترین مقدار این شاخه در انتهای بستهٔ بازه به دست می‌آید:
$f(-\frac{3}{2})=2-3(-\frac{3}{2})=\frac{13}{2}$.
بنابراین برد شاخهٔ اول برابر $[\frac{13}{2},+\infty)$ است.

گام دوم: شرط یک‌به‌یک بودن شاخهٔ سهمی
شاخهٔ دوم روی بازهٔ $x>-\frac{3}{2}$ تعریف شده و ضابطهٔ آن را می‌توان به صورت زیر نوشت:
$2+2mx-x^2=2+m^2-(x-m)^2$.
طول رأس این سهمی برابر $m$ است. اگر رأس داخل بازهٔ شاخهٔ دوم باشد، دو نقطهٔ متمایز در دو طرف رأس خروجی یکسان خواهند داشت. پس لازم است:
$m\leq-\frac{3}{2}$.
با این شرط، شاخهٔ دوم در تمام بازهٔ خود اکیداً نزولی است. این همان توجه به محدودیت دامنه برای یک‌به‌یک شدن تابع درجهٔ دوم است که در تمرین‌های تابع وارون نیز مطرح شده است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲۹).

گام سوم: جلوگیری از اشتراک برد دو شاخه
مقدار ضابطهٔ شاخهٔ دوم در مرز برابر است با:
$2+2m(-\frac{3}{2})-(-\frac{3}{2})^2=-\frac{1}{4}-3m$.
چون مرز در دامنهٔ شاخهٔ دوم نیست و این شاخه نزولی است، برد آن برابر است با:
$(-\infty,-\frac{1}{4}-3m)$.
برای اینکه هیچ خروجی مشترکی میان دو شاخه وجود نداشته باشد، باید:
$-\frac{1}{4}-3m\leq\frac{13}{2}\iff m\geq-\frac{9}{4}$.
تساوی نیز مجاز است؛ زیرا انتهای بالایی برد شاخهٔ دوم باز است. در نتیجه:
$-\frac{9}{4}\leq m\leq-\frac{3}{2}$.
تنها عدد صحیح این بازه $m=-2$ است.

گام چهارم: یافتن ورودی متناظر با خروجی خواسته‌شده
چون $-19$ در برد شاخهٔ اول نیست، باید از شاخهٔ دوم استفاده کنیم:
$2-4x-x^2=-19$.
پس:
$x^2+4x-21=0\iff(x+7)(x-3)=0$.
ریشه‌ها $x=-7$ و $x=3$ هستند؛ اما شاخهٔ دوم فقط برای $x>-\frac{3}{2}$ معتبر است، پس ریشهٔ $x=-7$ پذیرفته نیست. بنابراین:
$f(3)=-19\implies f^{-1}(-19)=3$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: ضرایب معادله را با ویژگی‌های لگاریتم محاسبه می‌کنیم. طبق قواعد لگاریتم حاصل‌ضرب و خارج‌قسمت، لگاریتم حاصل‌ضرب برابر مجموع لگاریتم‌ها و لگاریتم خارج‌قسمت برابر تفاضل آن‌هاست (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱۱). با استفاده از تقریب‌های داده‌شده در خود سؤال داریم:
$\log 30=\log(3\times 10)=\log 3+1\simeq 0.4+1=1.4$
$\log 6=\log 2+\log 3\simeq 0.3+0.4=0.7$
همچنین:
$\log 5=\log\frac{10}{2}=1-\log 2\simeq 1-0.3=0.7$
بنابراین:
$\log\frac{5}{6}=\log 5-\log 6\simeq 0.7-0.7=0$

گام دوم: با جای‌گذاری این تقریب‌ها، معادله به شکل زیر درمی‌آید:
$1.4x^2+2(0.7)x-0=0$
پس:
$1.4x^2+1.4x=0\quad\Rightarrow\quad 1.4x(x+1)=0$
در نتیجه دو ریشه عبارت‌اند از:
$x_1=0,\qquad x_2=-1$

گام سوم: منظور از اختلاف ریشه‌ها، ریشهٔ بزرگ‌تر منهای ریشهٔ کوچک‌تر است؛ بنابراین:
$|x_1-x_2|=|0-(-1)|=1$

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: حاصل‌ضرب سینوس و کسینوس را پیدا می‌کنیم.
با تعریف تانژانت و کتانژانت و اتحاد اصلی مثلثات، مطابق روابط به‌کاررفته در ریاضی ۲، صفحه‌های ۷۷–۷۸، داریم:
$\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$.
بنابراین:
$\frac{1}{\sin x\cos x}=-3\quad\Rightarrow\quad\sin x\cos x=-\frac{1}{3}$.

گام دوم: مجموع سینوس و کسینوس را به دست می‌آوریم.
از اتحاد مربع مجموع داریم:
$(\sin x+\cos x)^2=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
برای انتخاب علامت ریشه، شرط زاویه را بررسی می‌کنیم:
$3\pi<4x<4\pi\quad\Rightarrow\quad\frac{3\pi}{4}<x<\pi$.
زاویه در ربع دوم است؛ پس سینوس مثبت و کسینوس منفی است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۷۷–۷۸). همچنین چون زاویه از $\frac{3\pi}{4}$ بزرگ‌تر است، قدرمطلق کسینوس از سینوس بزرگ‌تر است؛ در نتیجه مجموع آن‌ها منفی خواهد بود. پس:
$\sin x+\cos x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

گام سوم: مجموع مکعب‌ها را تجزیه می‌کنیم.
با اتحاد $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ داریم:
$\cos^3x+\sin^3x=(\cos x+\sin x)(\cos^2x-\sin x\cos x+\sin^2x)$.
در نتیجه:
$\cos^3x+\sin^3x=(\cos x+\sin x)(1-\sin x\cos x)=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)=-\frac{4}{3\sqrt{3}}$.
اکنون معکوس می‌گیریم:
$\frac{1}{\cos^3x+\sin^3x}=-\frac{3\sqrt{3}}{4}=-0.75\sqrt{3}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: دورهٔ تناوب را از نمودار می‌خوانیم.
طبق تعریف، دورهٔ تناوب طول کوچک‌ترین بازه‌ای است که نمودار با تکرار آن ساخته می‌شود (ریاضی ۳، صفحهٔ ۳۱–۳۳). دو سر بازهٔ داده‌شده، دو ماکزیمم متوالی‌اند؛ پس:
$T=\frac{9\pi}{20}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{5}$.

با استفاده از اتحاد $\cos^2 u=\frac{1+\cos 2u}{2}$، تابع را می‌نویسیم:
$y=\frac{a}{2}\cos\left(2bx-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{a}{2}+c$.
طبق رابطهٔ دورهٔ تناوب تابع کسینوسی، ضریب متغیر تعیین‌کنندهٔ دوره است و انتقال‌ها آن را تغییر نمی‌دهند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۳۵). بنابراین:
$T=\frac{2\pi}{|2b|}=\frac{\pi}{|b|}$.
در نتیجه:
$\frac{\pi}{|b|}=\frac{\pi}{5}\quad\Rightarrow\quad |b|=5$.

گام دوم: اندازهٔ ضریب بیرونی را تعیین می‌کنیم.
چون $0\leq\cos^2 u\leq1$، اختلاف بیشینه و کمینهٔ تابع برابر $|a|$ است. این نتیجه با اعمال روابط بیشینه و کمینهٔ تابع کسینوسی بر ضابطهٔ بازنویسی‌شده نیز به دست می‌آید (ریاضی ۳، صفحهٔ ۳۵):
$|a|=1-(-2)=3$.

گام سوم: علامت حاصل‌ضرب را مشخص می‌کنیم.
صرفِ ماکزیمم بودن نقطهٔ آغاز، بدون بررسی عبارت داخل کسینوس، برای مثبت دانستن $a$ کافی نیست. دو حالت داریم:

اگر $b=5$ باشد، در $x=\frac{\pi}{4}$ داریم:
$bx-\frac{\pi}{4}=\pi\quad\Rightarrow\quad\cos^2\pi=1$.
پس مقدار تابع در این نقطه $a+c$ است. برای آنکه این مقدار ماکزیمم باشد، باید $a>0$ باشد؛ بنابراین $a=3$ و $ab=3\times5=15$.

اگر $b=-5$ باشد، در همان نقطه داریم:
$bx-\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad\cos^2\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=0$.
این بار مقدار تابع برابر $c$ است و برای ماکزیمم بودن آن باید $a<0$ باشد؛ بنابراین $a=-3$ و باز هم $ab=(-3)\times(-5)=15$.

پس در هر دو حالتِ مجاز، حاصل‌ضرب یکسان است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: ساده‌سازی مخرج‌ها و تعیین شرط دامنه

با استفاده از روابط زاویه‌های متمم داریم:
$\sin\left(\frac{\pi+4x}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)=\cos(2x)$
و
$\cos\left(\frac{\pi+8x}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}+4x\right)=-\sin(4x)$.

پس معادله به صورت زیر نوشته می‌شود:
$\frac{1}{\cos(2x)}-\frac{1}{\sin(4x)}=0$،
با شرط‌های $\cos(2x)\ne0$ و $\sin(4x)\ne0$.

گام دوم: تبدیل به یک معادلهٔ سینوسی

چون مخرج‌ها ناصفرند، می‌توانیم دو طرف را در حاصل‌ضرب آن‌ها ضرب کنیم:
$\sin(4x)-\cos(2x)=0$.

با استفاده از رابطهٔ سینوس دوبرابر زاویه:
$2\sin(2x)\cos(2x)-\cos(2x)=0$
$\Rightarrow\cos(2x)\bigl(2\sin(2x)-1\bigr)=0$.

حالت $\cos(2x)=0$ به دلیل شرط دامنه پذیرفتنی نیست؛ بنابراین:
$\sin(2x)=\frac{1}{2}$.

گام سوم: یافتن جواب‌ها در بازهٔ داده‌شده

مطابق روش حل معادلات سینوسی با دایرهٔ مثلثاتی، برای سینوس مثبت باید هر دو زاویهٔ ربع اول و دوم را در نظر بگیریم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۴–۴۵). چون $x\in[0,\pi]$، داریم $2x\in[0,2\pi]$؛ پس:
$2x=\frac{\pi}{6}\quad\text{یا}\quad2x=\frac{5\pi}{6}$.

در نتیجه:
$x_1=\frac{\pi}{12},\qquad x_2=\frac{5\pi}{12}$.

برای این دو مقدار، $\cos(2x)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ و $\sin(4x)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ است؛ بنابراین هر دو جواب، شرط ناصفر بودن مخرج‌ها را دارند.

گام چهارم: محاسبهٔ عبارت خواسته‌شده

اختلاف دو جواب برابر است با:
$\alpha=x_2-x_1=\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}$.

بنابراین:
$\tan(2\alpha)=\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول ـ استفاده از شرط غیرصفر بودن حد:
با استفاده از حد ریشه‌ها داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۳–۱۳۴):
$\lim_{x\to8}\sqrt[3]{x}=2$ و $\lim_{x\to8}\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}=2$.
پس حد صورت برابر است با:
$\lim_{x\to8}b\bigl(\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2\bigr)=0$.
اگر $8a-b\ne0$ باشد، طبق قانون حد تقسیم، حد کسر صفر خواهد شد (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۰–۱۳۱). چون سؤال حد غیرصفر می‌خواهد، باید:
$8a-b=0\quad\Rightarrow\quad b=8a$.
همچنین $a\ne0$؛ زیرا در غیر این صورت $b=0$ نیز می‌شود و مخرج همواره صفر خواهد بود. بنابراین:
$\frac{b\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2b}{ax-b}=8\frac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}$.

گام دوم ـ رفع ابهام با مزدوج:
صورت و مخرج را در مزدوج صورت ضرب می‌کنیم:
$8\frac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}=\frac{8(\sqrt[3]{x}-2)}{(x-8)\bigl(\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2\bigr)}$.
از اتحاد تفاضل مکعب‌ها داریم:
$x-8=(\sqrt[3]{x}-2)\bigl((\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4\bigr)$.
در محاسبهٔ حد، $x\ne8$ است؛ پس می‌توان عامل مشترک $\sqrt[3]{x}-2$ را حذف کرد. این همان روش حذف عامل مشترک در رفع ابهام است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۲–۱۳۳). در نتیجه:
$\frac{8(\sqrt[3]{x}-2)}{(x-8)\bigl(\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2\bigr)}=\frac{8}{\bigl((\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4\bigr)\bigl(\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2\bigr)}$.

گام سوم ـ محاسبهٔ حد عبارت ساده‌شده:
اکنون حد مخرج غیرصفر است و می‌توان از قانون حد تقسیم استفاده کرد:
$\lim_{x\to8}\frac{8}{\bigl((\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4\bigr)\bigl(\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2\bigr)}=\frac{8}{(4+4+4)(2+2)}=\frac{8}{48}=\frac{1}{6}$.
پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: معادلهٔ دو خط را به دست می‌آوریم.
خط $f$ از نقاط $(0,3m)$ و $(m,0)$ می‌گذرد؛ پس شیب آن برابر است با:
$a_f=\frac{0-3m}{m-0}=-3$.
بنابراین:
$f(x)=-3x+3m$.
خط $g$ نیز از نقاط $(0,-3)$ و $(4,0)$ می‌گذرد؛ در نتیجه:
$a_g=\frac{0-(-3)}{4-0}=\frac{3}{4}$،
و معادلهٔ آن چنین است:
$g(x)=\frac{3}{4}x-3$.

گام دوم: علامت عبارت داخل قدرمطلق را بررسی می‌کنیم.
هنگامی که $x\to-\infty$، عبارت $-3x+3m$ مثبت می‌شود؛ پس برای ورودی‌های به‌اندازهٔ کافی منفی داریم:
$|f(x)|=f(x)=-3x+3m$.
بنابراین:
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{|f(x)|}{g(x)}=\lim_{x\to-\infty}\frac{-3x+3m}{\frac{3}{4}x-3}$.

گام سوم: حد نسبت را محاسبه می‌کنیم.
مطابق روش محاسبهٔ حد نسبت چندجمله‌ای‌ها، صورت و مخرج را بر بزرگ‌ترین توان متغیر در مخرج، یعنی $x$، تقسیم می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۶۰):
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{-3+\frac{3m}{x}}{\frac{3}{4}-\frac{3}{x}}$.
از آنجا که $m$ ثابت است و $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$، جمله‌های کسری به صفر میل می‌کنند. همچنین حد مخرج ناصفر است و می‌توان از قانون حدِ خارج‌قسمت استفاده کرد (ریاضی ۳، صفحه‌های ۵۹–۶۰):
$\displaystyle \frac{-3+0}{\frac{3}{4}-0}=\frac{-3}{\frac{3}{4}}=-4$.
پس مقدار مجهول $m$ در جواب نهایی نقشی ندارد. منفی بودن پاسخ نیز با نمودار سازگار است؛ زیرا در سمت چپ، صورت مثبت و مخرج منفی است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول ـ نمایش داده‌ها و محاسبهٔ انحراف‌معیار:
با استفاده از تعریف میانگین، مجموع داده‌ها را بر تعداد آن‌ها تقسیم می‌کنیم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۴–۱۵۵). چون هفت عدد زوج متوالی نسبت به عضو وسط متقارن‌اند، اگر میانگین را $m$ بگیریم، داده‌ها چنین‌اند:
$m-6,\ m-4,\ m-2,\ m,\ m+2,\ m+4,\ m+6$.
بنابراین واریانس، یعنی میانگین مربع اختلاف داده‌ها با میانگین، برابر است با:
$\sigma^2=\frac{(-6)^2+(-4)^2+(-2)^2+0^2+2^2+4^2+6^2}{7}=\frac{112}{7}=16$.
پس انحراف‌معیار برابر است با:
$\sigma=\sqrt{16}=4$.

گام دوم ـ تعیین دستهٔ اول:
طبق صورت سؤال، انحراف‌معیار نصف میانگین دستهٔ اول است؛ پس:
$\sigma=\frac{m_1}{2}\ \Rightarrow\ m_1=2\sigma=8$.
بنابراین دستهٔ اول عبارت است از:
$2,4,6,8,10,12,14$.
بزرگ‌ترین عضو این دسته برابر است با $14$.

گام سوم ـ بررسی تغییر دسته‌ها:
با حذف کوچک‌ترین عضو، برای حفظ توالی باید عددی را اضافه کنیم که $2$ واحد از بزرگ‌ترین عضو قبلی بیشتر باشد. در نتیجه، دستهٔ جدید مانند آن است که به تک‌تک داده‌های دستهٔ قبلی $2$ واحد اضافه کرده باشیم. با این تغییر، میانگین $2$ واحد افزایش می‌یابد، اما اختلاف داده‌ها با میانگین و در نتیجه انحراف‌معیار ثابت می‌ماند. این ویژگیِ انتقال داده‌ها با موضوع تمرین تغییر شاخص‌های آماری در کتاب مرتبط است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۶۲).
پس در تمام دسته‌ها داریم:
$\sigma=4,\qquad \sigma^2=16$.

گام چهارم ـ تعیین دستهٔ آخر و اختلاف موردنظر:
میانگین دستهٔ آخر باید برابر مجذور انحراف‌معیار باشد؛ بنابراین:
$m_f=\sigma^2=16$.
بزرگ‌ترین عضو هر دسته، $6$ واحد از میانگین آن بیشتر است؛ پس بزرگ‌ترین عضو دستهٔ آخر برابر است با:
$16+6=22$.
در نتیجه اختلاف بزرگ‌ترین عضو دستهٔ اول و آخر برابر است با:
$22-14=8$.
پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. شرط بخش‌پذیری را اعمال می‌کنیم.

عدد مضربِ $6$ باید هم بر $2$ و هم بر $3$ بخش‌پذیر باشد. چون تنها ارقام مجاز $1$ و $2$ هستند، برای زوج‌بودن، رقم یکان حتماً باید $2$ باشد. ابتدا پرکردن جایگاه یکان برای ساختن عدد زوج، همان روشی است که در کتاب به کار رفته است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۳).

۲. تعداد رقم‌های $2$ را در جایگاه‌های باقی‌مانده مشخص می‌کنیم.

پس از ثابت‌کردن یکان، ده جایگاه باقی می‌ماند. فرض کنیم $k$ جایگاه از آن‌ها با رقمِ $2$ و بقیه با رقمِ $1$ پر شوند. مجموع ارقام عدد برابر است با:

$S=2+2k+(10-k)=12+k$

برای بخش‌پذیری عدد بر $3$، مجموع ارقام باید مضربِ $3$ باشد. بنابراین با توجه به $0\leq k\leq10$، داریم:

$k\in\{0،3،6،9\}$

۳. تعداد اعداد هر حالت را می‌شماریم.

با انتخاب جایگاه‌های رقمِ $2$، بقیهٔ جایگاه‌ها خودبه‌خود با رقمِ $1$ پر می‌شوند؛ پس هر انتخاب دقیقاً یک عدد می‌سازد. تعداد انتخاب $k$ جایگاه از ده جایگاه را با $\binom{10}{k}$ نشان می‌دهیم. در نتیجه:

$k=0:\quad \binom{10}{0}=1$

$k=3:\quad \binom{10}{3}=\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120$

$k=6:\quad \binom{10}{6}=\binom{10}{4}=\dfrac{10\times9\times8\times7}{4\times3\times2\times1}=210$

$k=9:\quad \binom{10}{9}=10$

برای نمونه، در انتخاب سه جایگاه، حاصل‌ضربِ صورت، انتخاب‌های ترتیب‌دار را می‌شمارد؛ تقسیم بر $3\times2\times1$ تکرار ناشی از ترتیب انتخاب همان سه جایگاه را حذف می‌کند.

۴. حالت‌ها را با اصل جمع ترکیب می‌کنیم.

این چهار حالت اشتراکی ندارند؛ بنابراین مطابق اصل جمع، تعدادشان را جمع می‌کنیم؛ همان‌طور که کتاب در شمارش حالت‌های جداگانهٔ اعداد زوج عمل می‌کند (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۴):

$N=1+120+210+10=341$

پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا دو پیشامد را از هم جدا می‌کنیم:

ـ پیشامد $A$: ظهور «رو» برای بار $k$ام، دقیقاً در پرتاب $n$ام رخ دهد.

ـ پیشامد $B$: در $n$ پرتاب، دقیقاً $k$ بار «رو» ظاهر شود، بدون اینکه جایگاه آخرین «رو» مشخص باشد.

طبق تعریف احتمال در حالت‌های هم‌شانس، احتمال هر پیشامد برابر نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد کل حالت‌هاست (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۶–۱۴۷). با فرض معمول سکهٔ سالم و پرتاب‌های مستقل، در $n$ پرتاب، $2^n$ دنبالهٔ هم‌شانس داریم.

گام اول: احتمال پایان‌یافتن آزمایش در پرتاب $n$ام

برای رخ‌دادن $A$، پرتاب آخر حتماً باید «رو» باشد؛ همچنین در $n-1$ پرتاب نخست باید دقیقاً $k-1$ بار «رو» آمده باشد. بنابراین با انتخاب جایگاه این «رو»ها داریم:

$P(A)=\frac{\binom{n-1}{k-1}}{2^n}$

گام دوم: احتمال آمدن دقیقاً $k$ بار «رو» در $n$ پرتاب

برای رخ‌دادن $B$، کافی است جایگاه $k$ بار «رو» را از میان $n$ جایگاه انتخاب کنیم؛ پس:

$P(B)=\frac{\binom{n}{k}}{2^n}$

گام سوم: استفاده از نسبت داده‌شده

از صورت سؤال داریم:

$\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{k}{k+5}$

از طرف دیگر، با ساده‌کردن ترکیب‌ها:

$\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{\binom{n-1}{k-1}}{\binom{n}{k}}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{k!(n-k)!}{n!}=\frac{k}{n}$

بنابراین:

$\frac{k}{n}=\frac{k}{k+5}$

چون $k$ صحیح و مثبت است، می‌توان آن را حذف کرد و نتیجه گرفت:

$n=k+5\quad\Longrightarrow\quad n+k=2k+5$

گام چهارم: بررسی مقدارهای پیشنهادی

مجموع $n+k$ باید فرد باشد؛ بنابراین مقدارهای $12$ و $8$ ممکن نیستند. مقدار $5$ نیز به $k=0$ منجر می‌شود و پذیرفتنی نیست. اما برای مقدار $9$ داریم:

$2k+5=9\quad\Longrightarrow\quad k=2,\qquad n=7$

این دو مقدار صحیح و مثبت‌اند و شرط مسئله را برقرار می‌کنند؛ پس مجموع آن‌ها می‌تواند $9$ باشد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: استفاده از خاصیت قطرهای مستطیل

در مستطیل $ABCD$، قطرهای $AC$ و $BD$ یکدیگر را نصف می‌کنند؛ این خاصیت در تمرین مربوط به مختصات رأس چهارم مستطیل نیز یادآوری شده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۹). بنابراین مختصات وسط این دو قطر برابر است:

$\left(\frac{-1+x}{2},\frac{4+y}{2}\right)=\left(\frac{3+(-1-x)}{2},\frac{1+(y+3)}{2}\right)$

برابری مؤلفه‌های طولی می‌دهد:

$-1+x=2-x\quad\Rightarrow\quad 2x=3\quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{2}$

برابری مؤلفه‌های عرضی به تساوی $4+y=y+4$ می‌انجامد و اطلاعات تازه‌ای نمی‌دهد. پس فعلاً داریم:

$C\left(\frac{3}{2},y\right)$

گام دوم: استفاده از عمود بودن ضلع‌های متوالی

شیب ضلع $AB$ برابر است با:

$m_{AB}=\frac{1-4}{3-(-1)}=-\frac{3}{4}$

چون $AB$ و $BC$ بر هم عمودند، حاصل‌ضرب شیب‌های آن‌ها برابر $-1$ است؛ بنابراین:

$m_{BC}=\frac{4}{3}$

از مختصات دو نقطۀ $B$ و $C$ نیز داریم:

$m_{BC}=\frac{y-1}{\frac{3}{2}-3}=\frac{y-1}{-\frac{3}{2}}$

پس:

$\frac{y-1}{-\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad y-1=-2\quad\Rightarrow\quad y=-1$

در نتیجه، مختصات رأس سوم برابر است با:

$C\left(\frac{3}{2},-1\right)$

گام سوم: محاسبۀ طول ضلع‌ها و محیط

طبق فرمول فاصلۀ دو نقطه، باید مجموع مربع اختلاف مؤلفه‌ها را زیر رادیکال قرار دهیم (ریاضی ۲، صفحه‌های ۴–۵):

$AB=\sqrt{(3+1)^2+(1-4)^2}=\sqrt{16+9}=5$

$BC=\sqrt{\left(\frac{3}{2}-3\right)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$

محیط مستطیل دو برابر مجموع طول دو ضلع متوالی است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲–۱۳):

$P=2(AB+BC)=2\left(5+\frac{5}{2}\right)=15$

پاسخ: گزینهٔ ۳