سوال ۱۲۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول ـ نمایش داده‌ها و محاسبهٔ انحراف‌معیار:
با استفاده از تعریف میانگین، مجموع داده‌ها را بر تعداد آن‌ها تقسیم می‌کنیم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۴–۱۵۵). چون هفت عدد زوج متوالی نسبت به عضو وسط متقارن‌اند، اگر میانگین را $m$ بگیریم، داده‌ها چنین‌اند:
$m-6,\ m-4,\ m-2,\ m,\ m+2,\ m+4,\ m+6$.
بنابراین واریانس، یعنی میانگین مربع اختلاف داده‌ها با میانگین، برابر است با:
$\sigma^2=\frac{(-6)^2+(-4)^2+(-2)^2+0^2+2^2+4^2+6^2}{7}=\frac{112}{7}=16$.
پس انحراف‌معیار برابر است با:
$\sigma=\sqrt{16}=4$.

گام دوم ـ تعیین دستهٔ اول:
طبق صورت سؤال، انحراف‌معیار نصف میانگین دستهٔ اول است؛ پس:
$\sigma=\frac{m_1}{2}\ \Rightarrow\ m_1=2\sigma=8$.
بنابراین دستهٔ اول عبارت است از:
$2,4,6,8,10,12,14$.
بزرگ‌ترین عضو این دسته برابر است با $14$.

گام سوم ـ بررسی تغییر دسته‌ها:
با حذف کوچک‌ترین عضو، برای حفظ توالی باید عددی را اضافه کنیم که $2$ واحد از بزرگ‌ترین عضو قبلی بیشتر باشد. در نتیجه، دستهٔ جدید مانند آن است که به تک‌تک داده‌های دستهٔ قبلی $2$ واحد اضافه کرده باشیم. با این تغییر، میانگین $2$ واحد افزایش می‌یابد، اما اختلاف داده‌ها با میانگین و در نتیجه انحراف‌معیار ثابت می‌ماند. این ویژگیِ انتقال داده‌ها با موضوع تمرین تغییر شاخص‌های آماری در کتاب مرتبط است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۶۲).
پس در تمام دسته‌ها داریم:
$\sigma=4,\qquad \sigma^2=16$.

گام چهارم ـ تعیین دستهٔ آخر و اختلاف موردنظر:
میانگین دستهٔ آخر باید برابر مجذور انحراف‌معیار باشد؛ بنابراین:
$m_f=\sigma^2=16$.
بزرگ‌ترین عضو هر دسته، $6$ واحد از میانگین آن بیشتر است؛ پس بزرگ‌ترین عضو دستهٔ آخر برابر است با:
$16+6=22$.
در نتیجه اختلاف بزرگ‌ترین عضو دستهٔ اول و آخر برابر است با:
$22-14=8$.
پاسخ: گزینهٔ ۲