سوال ۱۳۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

نکتهٔ مهم: برای رسیدن به پاسخ موردنظر، باید قبولی نیلوفر و دوستش را مستقل فرض کنیم. این فرض در صورت سؤال تصریح نشده است و بدون آن، اطلاعات داده‌شده برای تعیین یک پاسخ یکتا کافی نیست. حل زیر با فرض استقلال انجام می‌شود؛ موضوع پیشامدهای مستقل در همین بخش کتاب مطرح شده است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۵۲–۱۵۳).

۱. پیشامد قبولی نیلوفر را $A$ و پیشامد قبولی دوستش را $B$ می‌نامیم. اگر $P(B)=x$ باشد، طبق صورت سؤال داریم:
$P(A)=\frac{2}{3}x$.

۲. عبارت «فقط دوستش قبول شود» به معنی وقوع $B$ و رخ‌ندادن $A$ است؛ یعنی $A^c\cap B$. با فرض استقلال:
$P(A^c\cap B)=P(A^c)P(B)=(1-\frac{2}{3}x)x$.
پس:
$x(1-\frac{2}{3}x)=\frac{3}{8}$.

۳. معادله را حل می‌کنیم:
$24x-16x^2=9$
$16x^2-24x+9=0$
$(4x-3)^2=0$.
بنابراین:
$P(B)=x=\frac{3}{4}$،
$P(A)=\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$.

۴. «هیچ‌کدام قبول نشوند» یعنی هر دو مردود شوند. احتمال مردودی هر نفر برابر متمم احتمال قبولی اوست؛ بنابراین با فرض استقلال:
$P(A^c\cap B^c)=(1-P(A))(1-P(B))$
$=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{3}{4})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲