سوال ۱۲۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

۱. مجموع چهار داده را پیدا می‌کنیم.
طبق تعریف میانگین، مجموع داده‌ها برابر حاصل‌ضرب میانگین در تعداد آن‌هاست (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۳–۱۵۴). بنابراین:
$a+b+c+d=4\times3=12$
با افزودن عدد $5$، میانگین جدید برابر است با:
$\bar{x}_{\text{جدید}}=\frac{12+5}{5}=\frac{17}{5}$

۲. مجموع مجذور چهار داده را محاسبه می‌کنیم.
واریانس، میانگین مجذور فاصلهٔ داده‌ها از میانگین است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۸–۱۵۹). با باز کردن مربع‌ها در این تعریف و استفاده از $\sum x_i=N\bar{x}$، داریم:
$\sigma^2=\frac{\sum x_i^2}{N}-\bar{x}^{\,2}$
پس برای چهار دادهٔ اولیه:
$1.5=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}-3^2$
در نتیجه:
$a^2+b^2+c^2+d^2=4(1.5+9)=42$

۳. واریانس مجموعهٔ جدید را به دست می‌آوریم.
پس از افزودن عدد $5$، مجموع مجذور داده‌ها برابر می‌شود با:
$42+5^2=67$
اکنون با تعداد و میانگین جدید داریم:
$\sigma_{\text{جدید}}^2=\frac{67}{5}-\left(\frac{17}{5}\right)^2=\frac{335-289}{25}=\frac{46}{25}=1.84$

نکته: افزودن یک داده به مجموعه با افزودن یک مقدار ثابت به تک‌تک داده‌ها متفاوت است؛ در اینجا هم تعداد داده‌ها و هم میانگین تغییر می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۴