کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول · ریاضی

سوال ۱۳۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۱ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۱ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول · سوال ۱۳۱ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۷: آمار و احتمال

احتمال اینکه یک کشتی‌گیر رقیب اصلی خود را ببرد $\frac{1}{5}$ و احتمال کسب مدال طلا برای او $\frac{1}{3}$ بوده و درصورتی‌که اصلی‌ترین رقیب خود را ببرد به $\frac{1}{2}$ افزایش خواهد یافت. با کدام احتمال، این کشتی‌گیر قهرمان می‌شود یا رقیب اصلی خود را می‌برد؟

گزینهٔ ۱: $\frac{4}{15}$
گزینهٔ ۲: $\frac{11}{30}$
گزینهٔ ۳: $\frac{13}{30}$
گزینهٔ ۴: $\frac{7}{15}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: پیشامدها را تعریف می‌کنیم:

$A$ : قهرمان شدن کشتی‌گیر، یعنی کسب مدال طلا.

$B$ : بردن رقیب اصلی.

داده‌های سؤال عبارت‌اند از:

$P(A)=\frac{1}{3},\qquad P(B)=\frac{1}{5},\qquad P(A|B)=\frac{1}{2}$

دقت کنید که $\frac{1}{2}$ احتمال قهرمانی به شرط بردن رقیب است، نه احتمال وقوع هم‌زمان این دو اتفاق. این برداشت مطابق تعریف احتمال شرطی است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۵).

گام دوم: احتمال وقوع هم‌زمان دو پیشامد را محاسبه می‌کنیم. از رابطهٔ احتمال شرطی داریم:

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

پس:

$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{10}$

گام سوم: منظور از «قهرمان شود یا رقیب اصلی خود را ببرد»، وقوع حداقل یکی از دو پیشامد است؛ بنابراین باید احتمال اجتماع را بیابیم. مطابق روش مثال کتاب، احتمال اشتراک را از مجموع احتمال‌ها کم می‌کنیم تا حالت وقوع هر دو اتفاق، دوبار شمرده نشود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۶):

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}=\frac{10+6-3}{30}=\frac{13}{30}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است با محاسبهٔ $\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{4}{15}$ به این گزینه برسید. این عبارت با فرض نادرست استقلال، احتمال «قهرمانی و نبردن رقیب» را محاسبه می‌کند، نه احتمال اجتماع دو پیشامد.
گزینهٔ ۲: اگر احتمال اشتراک را به‌اشتباه $\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}$ بگیرید، این گزینه حاصل می‌شود. در رابطهٔ $P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$ باید احتمال بردن رقیب را در احتمال شرطی ضرب کرد، نه احتمال قهرمانی را.
گزینهٔ ۴: با فرض استقلال و استفاده از $P(A\cap B)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}$ ، این گزینه به دست می‌آید. اما دو پیشامد مستقل نیستند؛ چون بردن رقیب، احتمال قهرمانی را تغییر می‌دهد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

تعریف احتمال شرطی را در ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۵، به یاد بیاورید. عبارت «درصورتی‌که رقیب خود را ببرد» یک شرط است، نه بیان وقوع هم‌زمان دو اتفاق.
قهرمانی را $A$ و بردن رقیب را $B$ بنامید. خواستهٔ سؤال $P(A\cup B)$ است و برای محاسبهٔ آن، ابتدا باید $P(A\cap B)$ را از رابطهٔ احتمال شرطی پیدا کنید.
در رابطهٔ اجتماع، احتمال اشتراک را به‌صورت $P(A|B)P(B)$ جای‌گذاری کنید؛ بنابراین فقط کافی است عبارت $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}\right)$ را ساده کنید.

ریاضی ۲ · فصل ۷: آمار و احتمال

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «آمار و احتمال» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگان تمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول

تمرین رایگان

تمرین در پنل یادگیری