سوال ۱۳۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۳ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۳ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول · سوال ۱۳۳ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۲: هندسه

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

در شکل زیر، $\hat{AED}=\hat{ACB}$ است. مقدار $x$ کدام است؟

شکل: مثلث ABC که A در بالا، B پایین چپ و C پایین راست است. نقطه D روی ضلع AC و نقطه E روی ضلع AB قرار دارند و پاره‌خط DE رسم شده است. AD برابر 2، DC برابر 13، AE برابر x و EB برابر 1 است. زاویه AED (در E) و زاویه ACB (در C) با کمان علامت‌گذاری شده‌اند و برابرند.

گزینهٔ ۱: 7
گزینهٔ ۲: 6
گزینهٔ ۳: 5
گزینهٔ ۴: 4

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

۱. تشخیص تشابه
چون $E$ روی ضلع $AB$ و $D$ روی ضلع $AC$ قرار دارند، زاویهٔ رأس $A$ در دو مثلث کوچک و بزرگ برابر است:
$\angle EAD=\angle CAB$ .
همچنین طبق دادهٔ سؤال، $\angle AED=\angle ACB$ است. پس به کمک حالت دو زاویه، داریم:
$\triangle AED\sim\triangle ACB$
(ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۳–۴۴).

۲. تعیین اضلاع متناظر
از ترتیب زاویه‌های برابر، تناظر رأس‌ها چنین است:
$A\leftrightarrow A,\quad E\leftrightarrow C,\quad D\leftrightarrow B$ .
پس $AE$ با $AC$ و $AD$ با $AB$ متناظرند. با توجه به تناسب اضلاع متناظر در مثلث‌های متشابه (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۲–۴۳)، می‌نویسیم:
$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$ .

۳. جای‌گذاری طول‌ها
طول کامل ضلع‌ها برابر است با:
$AC=AD+DC=2+13=15$ ،
$AB=AE+EB=x+1$ .
بنابراین:
$\frac{x}{15}=\frac{2}{x+1}$ .
با ضرب طرفین و وسطین:
$x(x+1)=30\Rightarrow x^2+x-30=0$ .

۴. حل معادله و انتخاب ریشهٔ مجاز
با تجزیه داریم:
$(x-5)(x+6)=0\Rightarrow x=5\ \text{یا}\ x=-6$ .
چون $x$ طول پاره‌خط است، باید مثبت باشد؛ در نتیجه $x=5$ .

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: اشتباه در تشخیص اضلاع متناظر یا حل معادله می‌تواند به این انتخاب منجر شود؛ اما با قرار دادن $x=7$ در رابطهٔ لازم، حاصل $7\times8=56$ می‌شود، نه $30$ .
گزینهٔ ۲: ممکن است ریشهٔ منفی معادله، یعنی $x=-6$ ، را به‌اشتباه با گرفتن قدرمطلق به طول تبدیل کنید. ریشهٔ منفی باید حذف شود، نه اینکه علامتش تغییر کند؛ همچنین $6\times7\ne30$ .
گزینهٔ ۴: اگر مقدار به‌دست‌آمده برای $AE$ را با طول کل $AB$ اشتباه بگیرید و دوباره $EB=1$ را از آن کم کنید، به این گزینه می‌رسید. مجهول از ابتدا خودِ $AE$ است و نیازی به این تفریق نیست.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

حالت تشابه دو مثلث با داشتن دو زاویهٔ برابر را به یاد بیاورید. علاوه بر دو زاویهٔ علامت‌گذاری‌شده، زاویهٔ رأس مشترک را بررسی کنید.
تناظر رأس‌ها به صورت $A\leftrightarrow A$ ، $E\leftrightarrow C$ و $D\leftrightarrow B$ است؛ بنابراین $AE$ با $AC$ و $AD$ با $AB$ متناظر است.
ابتدا طول کامل دو ضلع را بنویسید: $AC=2+13$ و $AB=x+1$ . سپس تناسب $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$ را تشکیل دهید و از میان ریشه‌های معادله، فقط ریشهٔ مثبت را بپذیرید.

فصل «هندسه» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.