سوال ۱۳۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

گام اول: قاعدهٔ کوچک ذوزنقه را $a$، قاعدهٔ بزرگ را $b$ و ارتفاع را $h$ می‌نامیم؛ بنابراین $a<b$. طول پاره‌خط واصل وسط‌های ساق‌ها را نیز با $m$ نشان می‌دهیم.

گام دوم: طول پاره‌خط میانی را به دست می‌آوریم. طبق ویژگی پاره‌خط واصل وسط‌های دو ضلع مثلث، این پاره‌خط با ضلع سوم موازی و برابر نصف آن است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۰–۴۱). با رسم یک قطر ذوزنقه و وصل‌کردن وسط قطر به وسط هر ساق، دو پاره‌خط هم‌راستا به طول‌های $\frac{a}{2}$ و $\frac{b}{2}$ به دست می‌آید. پس پاره‌خط واصل وسط‌های ساق‌ها با قاعده‌ها موازی است و طول آن برابر است با:
$m=\frac{a+b}{2}$.
این خط، ارتفاع ذوزنقه را نیز نصف می‌کند؛ بنابراین ارتفاع هر بخش $\frac{h}{2}$ است.

گام سوم: مساحت بخش مجاور قاعدهٔ کوچک را $S_1$ و مساحت بخش مجاور قاعدهٔ بزرگ را $S_2$ می‌نامیم. با استفاده از فرمول مساحت ذوزنقه داریم:
$S_1=\frac{a+m}{2}\times\frac{h}{2}=\frac{h(a+m)}{4}$،
$S_2=\frac{b+m}{2}\times\frac{h}{2}=\frac{h(b+m)}{4}$.
چون $a<b$، داریم $S_1<S_2$؛ پس نسبت داده‌شده در صورت سؤال به شکل زیر است:
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{a+m}{b+m}=\frac{1}{2}$.

گام چهارم: مقدار $m$ را جای‌گذاری و تناسب را حل می‌کنیم. با استفاده از خاصیت ضرب طرفین و وسطین تناسب (ریاضی ۲، صفحهٔ ۳۲):
$\frac{a+\frac{a+b}{2}}{b+\frac{a+b}{2}}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow\frac{3a+b}{a+3b}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow 2(3a+b)=a+3b$
$\Rightarrow 6a+2b=a+3b$
$\Rightarrow 5a=b$
$\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{1}{5}$.

بنابراین نسبت قاعدهٔ کوچک به قاعدهٔ بزرگ برابر $\frac{1}{5}$ است.
پاسخ: گزینهٔ ۲