نمونه سوال فصل ۲ ریاضی یازدهم با جواب

نقاطی که از خط $d$ فاصلهٔ $2\mathrm{cm}$ دارند، روی دو خط موازی با آن و در دو سوی آن قرار می‌گیرند. نقاطی که از $O$ فاصلهٔ $3\mathrm{cm}$ دارند نیز دایره‌ای به مرکز $O$ و شعاع $3\mathrm{cm}$ می‌سازند. چون $O$ روی $d$ است، فاصلهٔ آن تا هر دو خط موازی برابر $2\mathrm{cm}$ و کمتر از شعاع دایره است؛ بنابراین هر خط، دایره را در دو نقطه قطع می‌کند. دو خط موازی اشتراکی ندارند، پس در مجموع چهار نقطه داریم. (صفحهٔ ۲۶) پاسخ: گزینهٔ ۳

برای تعیین عمودمنصف به روش توصیف‌شده، لازم است دو دایره در دو نقطهٔ متمایز یکدیگر را قطع کنند. اگر $r<\frac{L}{2}$ باشد، دایره‌ها جدا هستند و اگر $r=\frac{L}{2}$ باشد، فقط یک نقطهٔ مشترک دارند. پس شرط لازم و کافی، $2r>L$ یا همان $r>\frac{L}{2}$ است. خط گذرنده از دو نقطهٔ تقاطع، عمودمنصف خواهد بود؛ زیرا هر دو نقطه از دو سر پاره‌خط فاصلهٔ برابر دارند. (صفحه‌های ۲۷ و ۲۸) پاسخ: گزینهٔ ۱

چون $O$ روی عمودمنصف $AB$ است، داریم $OA=OB$. همچنین قرارداشتن آن روی عمودمنصف $BC$ نتیجه می‌دهد $OB=OC$. پس $OA=OC$ و بنابراین $2x+1=5x-8$؛ از این تساوی $x=3$ به دست می‌آید. در نتیجه $OA=2(3)+1=7\mathrm{cm}$. هر سه رأس از $O$ همین فاصله را دارند، پس شعاع دایرهٔ گذرنده از آن‌ها برابر $7\mathrm{cm}$ است. (صفحه‌های ۲۷ و ۳۰) پاسخ: گزینهٔ ۴

نقطهٔ $P$ روی نیمساز داخلی زاویهٔ $A$ است؛ پس فاصله‌های آن تا $AB$ و $AC$ برابرند. بنابراین $2x-1=x+3$ و در نتیجه $x=4$. فاصلهٔ مشترک برابر $2(4)-1=7\mathrm{cm}$ است. از طرفی، $P$ روی نیمساز داخلی زاویهٔ $B$ نیز قرار دارد، پس فاصلهٔ آن تا $BC$ با فاصله‌اش تا $AB$ برابر و در نتیجه $7\mathrm{cm}$ است. (صفحه‌های ۲۹ و ۳۰) پاسخ: گزینهٔ ۲

با طرفین و وسطین داریم $2(a+b)=7(b-a)$. بنابراین $2a+2b=7b-7a$ و در نتیجه $9a=5b$. پس می‌توان نوشت $a=5k$ و $b=9k$ که در آن $k>0$ است. اکنون $\frac{3a+2b}{2b-a}=\frac{15k+18k}{18k-5k}=\frac{33}{13}$. این محاسبه بر خواص تناسب و اعمال یکسان بر دو طرف تساوی استوار است. (صفحه‌های ۳۱ و ۳۲) پاسخ: گزینهٔ ۱

در این روش، چند حالت مشخص بررسی و سپس حکمی دربارهٔ تمام حالت‌ها بیان شده است؛ بنابراین حرکت استدلال از نمونه‌های جزئی به حکم کلی است و استقرایی محسوب می‌شود. زیادشدن تعداد نمونه‌ها یا دقیق‌ترشدن اندازه‌گیری، آن را به اثبات عمومی تبدیل نمی‌کند. برای اثبات حکم باید استدلالی منطقی بر پایهٔ واقعیت‌های پذیرفته‌شده ارائه شود. (صفحهٔ ۳۳) پاسخ: گزینهٔ ۴

از ترتیب نقاط داریم $DB=18-4=14$، $AF=4+6=10$ و $FB=18-10=8$. برای خط موازی نخست، تالس می‌دهد $\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}=\frac{4}{14}$. چون $AE=6$، نتیجه می‌شود $EC=21$ و در نتیجه $AC=27$. برای خط موازی دوم نیز $\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FB}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$. با قرار دادن $AG=27-GC$ داریم $4(27-GC)=5GC$، پس $GC=12$. بنابراین $\frac{EC}{GC}=\frac{21}{12}=\frac{7}{4}$. (صفحه‌های ۳۱ و ۳۴) پاسخ: گزینهٔ ۲

مساحت مثلث $ADE$ را $s$ می‌نامیم. چون $S_{ABE}=30$ است، داریم $S_{DEB}=30-s$. از $DE\parallel BC$ نتیجه می‌شود مثلث‌های $DEB$ و $DEC$ قاعدهٔ مشترک و ارتفاع برابر دارند؛ پس $S_{DEC}=30-s$. شرط اختلاف مساحت‌ها می‌دهد $(30-s)-s=6$ و در نتیجه $s=12$ و $S_{DEB}=18$. مثلث‌های $ADE$ و $DEB$ نسبت به خط $AB$ ارتفاع مشترک دارند؛ بنابراین $\frac{AD}{DB}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$. طبق تالس، $\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$ و در نتیجه $\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}$. مثلث‌های $ABE$ و $ABC$ نیز نسبت به خط $AC$ ارتفاع مشترک دارند، پس $\frac{S_{ABE}}{S_{ABC}}=\frac{2}{5}$ و $S_{ABC}=75\mathrm{cm^2}$. با حذف مثلث $ADE$، مساحت چهارضلعی برابر $75-12=63\mathrm{cm^2}$ می‌شود. (صفحه‌های ۳۴ و ۳۵) پاسخ: گزینهٔ ۳

حکم کلی دربارهٔ همهٔ اعضای مجموعه ادعا می‌کند؛ بنابراین یافتن حتی یک عضو که با ادعا سازگار نباشد، آن را رد می‌کند. در مقابل، پیدا نکردن مثال نقض ممکن است ناشی از محدود بودن بررسی ما باشد و جای اثبات را نمی‌گیرد. همچنین اثبات‌نشده بودن یک حکم به معنای نادرست بودن آن نیست. این تمایز در بحث مثال نقض بیان شده است. (صفحه‌های ۳۹ و ۴۰) پاسخ: گزینهٔ ۱

چون $DE\parallel BC$ و $EF\parallel AB$ است، چهارضلعی $DEFB$ متوازی‌الاضلاع است؛ پس $EF=DB$ و $BF=DE$. قرار می‌دهیم $k=\dfrac{AD}{AB}$. از تعمیم تالس داریم $AE=20k$ و $DE=k\,BC$؛ همچنین $AD=15k$ و $DB=15(1-k)$. بنابراین از محیط مثلث $ADE$ داریم $k(35+BC)=24$. از محیط متوازی‌الاضلاع نیز $2[15(1-k)+k\,BC]=38$، پس $k\,BC-15k=4$. معادلهٔ نخست به صورت $k\,BC+35k=24$ است. با تفریق، $50k=20$ و در نتیجه $k=\dfrac{2}{5}$. اکنون $k\,BC=4+15k=10$؛ بنابراین $BC=25$. (صفحه‌های ۳۵ و ۳۶) پاسخ: گزینهٔ ۲

مثلث‌های $ADE$ و $ABE$ نسبت به خط $AB$ ارتفاع مشترک دارند؛ پس $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABE}}$. چون $S_{ABE}=12+18=30$، این نسبت برابر $\dfrac{12}{30}$ است. به همین ترتیب، مثلث‌های $ADE$ و $ACD$ نسبت به خط $AC$ ارتفاع مشترک دارند. از $S_{ACD}=12+27=39$ نتیجه می‌شود $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{12}{39}$. بنابراین $\dfrac{\dfrac{AD}{AB}}{\dfrac{AE}{AC}}=\dfrac{12/30}{12/39}=\dfrac{39}{30}=\dfrac{13}{10}$. این روش بر همان مقایسهٔ مساحت‌ها با ارتفاع مشترک تکیه دارد که در اثبات تالس استفاده شده است. (صفحه‌های ۳۴ و ۳۵) پاسخ: گزینهٔ ۴

از فرض خلف $DE\not\parallel BC$ و ساخت $DF\parallel BC$ نتیجه می‌شود $F\ne E$؛ زیرا در صورت یکی بودن این دو نقطه، خط‌های $DF$ و $DE$ یکی می‌شدند. از طرف دیگر، تالس برای خط کمکی می‌دهد $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$. با مقایسه با فرض $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$، داریم $AF=AE$. چون هر دو نقطهٔ $E$ و $F$ روی پاره‌خط $AC$ هستند، این برابری مستلزم $F=E$ است؛ تناقضی که فرض خلف را باطل می‌کند. رابطهٔ تناسب از صورت‌های دیگر تالس و ساختار استدلال از برهان خلف است. (صفحه‌های ۳۵ تا ۳۸) پاسخ: گزینهٔ ۳