نمونه سوال ریاضی یازدهم با جواب

فاصلهٔ یک نقطه از خط، با پاره‌خط عمود بر آن خط اندازه‌گیری می‌شود (صفحهٔ ۸). چون $AH\perp L$ و دو نقطهٔ $H$ و $B$ روی خط قرار دارند، مثلث $AHB$ در رأس $H$ قائم‌الزاویه است. بنابراین $AB$ وتر این مثلث است و از ضلع $AH$ بلندتر خواهد بود؛ پس $AH<AB$. پاسخ: گزینهٔ ۱

با استفاده از رابطهٔ نقطهٔ وسط داریم $M\left(\frac{-3+5}{2},\frac{4-2}{2}\right)=(1,1)$ (صفحهٔ ۷). خط داده‌شده به صورت $y=\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$ نوشته می‌شود؛ بنابراین شیب هر خط موازی با آن نیز $\frac{3}{2}$ است (صفحهٔ ۳). اگر معادلهٔ خط مطلوب $y=\frac{3}{2}x+h$ باشد، با قرار دادن مختصات $M$ داریم $1=\frac{3}{2}+h$؛ پس $h=-\frac{1}{2}$. پاسخ: گزینهٔ ۲

نقاطی که از خط $d$ فاصلهٔ $2\mathrm{cm}$ دارند، روی دو خط موازی با آن و در دو سوی آن قرار می‌گیرند. نقاطی که از $O$ فاصلهٔ $3\mathrm{cm}$ دارند نیز دایره‌ای به مرکز $O$ و شعاع $3\mathrm{cm}$ می‌سازند. چون $O$ روی $d$ است، فاصلهٔ آن تا هر دو خط موازی برابر $2\mathrm{cm}$ و کمتر از شعاع دایره است؛ بنابراین هر خط، دایره را در دو نقطه قطع می‌کند. دو خط موازی اشتراکی ندارند، پس در مجموع چهار نقطه داریم. (صفحهٔ ۲۶) پاسخ: گزینهٔ ۳

برای تعیین عمودمنصف به روش توصیف‌شده، لازم است دو دایره در دو نقطهٔ متمایز یکدیگر را قطع کنند. اگر $r<\frac{L}{2}$ باشد، دایره‌ها جدا هستند و اگر $r=\frac{L}{2}$ باشد، فقط یک نقطهٔ مشترک دارند. پس شرط لازم و کافی، $2r>L$ یا همان $r>\frac{L}{2}$ است. خط گذرنده از دو نقطهٔ تقاطع، عمودمنصف خواهد بود؛ زیرا هر دو نقطه از دو سر پاره‌خط فاصلهٔ برابر دارند. (صفحه‌های ۲۷ و ۲۸) پاسخ: گزینهٔ ۱

مخرج ضابطهٔ $f$ در $x=3$ صفر می‌شود؛ بنابراین $D_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}$. برای هر عضو این دامنه داریم $f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$. پس مقدارهای دو تابع در دامنهٔ مشترک برابرند و برای تساوی آن‌ها کافی و لازم است دامنه‌ها نیز یکسان باشند؛ یعنی $\mathbb{R}\setminus\{a\}=\mathbb{R}\setminus\{3\}$، پس $a=3$. تعیین دامنه باید پیش از ساده‌سازی انجام شود. (صفحه‌های ۵۰ و ۵۱) پاسخ: گزینهٔ ۱

برای اینکه وارون $f$ تابع باشد، خروجی‌های $f$ باید دوبه‌دو متفاوت باشند. پس باید $a^2\ne1$ و $a^2\ne4$ باشد؛ یعنی $a\notin\{-2,-1,1,2\}$. از عددهای صحیح بازهٔ $[-3,3]$ فقط $-3$، $0$ و $3$ باقی می‌مانند. بنابراین تعداد مقدارهای مجاز برابر $3$ است. (صفحهٔ ۵۹) پاسخ: گزینهٔ ۲

برای زاویهٔ یک رادیانی، طول کمان مقابل برابر شعاع دایره است. بنابراین، نسبت این طول کمان به محیط دایره برابر است با $\frac{r}{2\pi r}=\frac{1}{2\pi}$. کمان‌های توصیف‌شده در سه گزینهٔ دیگر، به‌ترتیب زاویه‌های $2$ رادیان، $\pi$ رادیان و $1^\circ$ را مشخص می‌کنند. (صفحه‌های ۷۳ و ۷۴) پاسخ: گزینهٔ 1

شعاع دایرهٔ کوچک‌تر را $r$ سانتی‌متر می‌گیریم؛ شعاع دایرهٔ بزرگ‌تر برابر $r+20$ سانتی‌متر است. چون طول دو کمان برابر است، داریم $r\times75\times\frac{\pi}{180}=(r+20)\times50\times\frac{\pi}{180}$. با ساده‌سازی، $75r=50r+1000$ و در نتیجه $r=40$ به دست می‌آید. پس شعاع دایرهٔ کوچک‌تر $40\,\mathrm{cm}$ است. (صفحه‌های ۷۴ و ۷۵) پاسخ: گزینهٔ 3

در تعریف تابع نمایی، پایه باید مثبت و مخالف یک باشد (صفحهٔ ۹۹). بنابراین لازم است $(m-2)^2>0$ و $(m-2)^2\ne1$. شرط اول مقدار $m=2$ و شرط دوم مقدارهای $m=1$ و $m=3$ را کنار می‌گذارد. پس مجموعهٔ مجاز برابر $\mathbb{R}\setminus\{1,2,3\}$ است. پاسخ: گزینهٔ ۱

از رابطهٔ پایه‌های معکوس داریم $g(x)=3^x=\left(\frac13\right)^{-x}=f(-x)$؛ این همان رابطهٔ تقارن نمودارها نسبت به محور عرض‌هاست (صفحهٔ ۱۰۲). همچنین $f(c)g(c)=\left(\frac13\right)^c3^c=1$. پس از $f(c)=5$ نتیجه می‌شود $g(c)=\frac15$ و بنابراین $f(c)+g(c)=5+\frac15=\frac{26}{5}$. پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق معیار وجود حد دوطرفه، اگر حد چپ و حد راست در یک نقطه موجود و برابر باشند، حد دوطرفه نیز وجود دارد و برابر مقدار مشترک آن‌هاست. تعریف‌شدن تابع در خود نقطه، شرط این نتیجه نیست. بنابراین از داده‌های سؤال، وجود حد تابع در $x=a$ نتیجه می‌شود، اما دربارهٔ مقدار $f(a)$ نمی‌توان حکم کرد. (صفحهٔ ۱۲۴) پاسخ: گزینهٔ ۱

با استفاده از قانون حد توان و مجموع، حد صورت برابر است با $(-2)^2+2(3)=10$. همچنین حد مخرج برابر $3-(-2)=5$ است. چون این مقدار صفر نیست، قانون حد تقسیم قابل استفاده است و داریم: $\lim_{x\to a}\frac{(f(x))^2+2g(x)}{g(x)-f(x)}=\frac{10}{5}=2$. (صفحه‌های ۱۲۸ تا ۱۳۱) پاسخ: گزینهٔ ۲

در احتمال شرطی، وقوع پیشامد شرط معلوم فرض می‌شود؛ بنابراین برای محاسبهٔ $P(A|B)$، حالت‌های ممکن به اعضای $B$ محدود می‌شوند و داریم $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$، به شرط آنکه $P(B)>0$ باشد (صفحهٔ ۱۴۵). پس عبارت دوم درست است. اگر $P(B)=0$ باشد، این احتمال تعریف نمی‌شود. همچنین استقلال با رابطهٔ $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ مشخص می‌شود و لزوماً به معنای تهی بودن اشتراک نیست (صفحه‌های ۱۴۶ و ۱۴۷). در دو احتمال شرطیِ معکوس نیز مخرج‌ها متفاوت‌اند و برابری همیشگی نداریم. پاسخ: گزینهٔ ۲

پیشامد بخش‌پذیری بر دو را $A$ و پیشامد بخش‌پذیری بر سه را $B$ می‌نامیم. در میان اعداد موردنظر، $n(A)=12$ و $n(B)=8$ است. اعداد متعلق به اشتراک، مضرب‌های شش هستند؛ پس $n(A\cap B)=4$. با استفاده از شمارش اجتماع، $n(A\cup B)=12+8-4=16$ به دست می‌آید (صفحهٔ ۱۴۴). اکنون با محدود کردن فضای نمونه‌ای به شرط داده‌شده، احتمال مطلوب برابر است با $\frac{n(A\cap B)}{n(A\cup B)}=\frac{4}{16}=\frac14$ (صفحهٔ ۱۴۵). پاسخ: گزینهٔ ۴