نمونه سوال فصل ۷ ریاضی یازدهم با جواب

در احتمال شرطی، وقوع پیشامد شرط معلوم فرض می‌شود؛ بنابراین برای محاسبهٔ $P(A|B)$، حالت‌های ممکن به اعضای $B$ محدود می‌شوند و داریم $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$، به شرط آنکه $P(B)>0$ باشد (صفحهٔ ۱۴۵). پس عبارت دوم درست است. اگر $P(B)=0$ باشد، این احتمال تعریف نمی‌شود. همچنین استقلال با رابطهٔ $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ مشخص می‌شود و لزوماً به معنای تهی بودن اشتراک نیست (صفحه‌های ۱۴۶ و ۱۴۷). در دو احتمال شرطیِ معکوس نیز مخرج‌ها متفاوت‌اند و برابری همیشگی نداریم. پاسخ: گزینهٔ ۲

پیشامد بخش‌پذیری بر دو را $A$ و پیشامد بخش‌پذیری بر سه را $B$ می‌نامیم. در میان اعداد موردنظر، $n(A)=12$ و $n(B)=8$ است. اعداد متعلق به اشتراک، مضرب‌های شش هستند؛ پس $n(A\cap B)=4$. با استفاده از شمارش اجتماع، $n(A\cup B)=12+8-4=16$ به دست می‌آید (صفحهٔ ۱۴۴). اکنون با محدود کردن فضای نمونه‌ای به شرط داده‌شده، احتمال مطلوب برابر است با $\frac{n(A\cap B)}{n(A\cup B)}=\frac{4}{16}=\frac14$ (صفحهٔ ۱۴۵). پاسخ: گزینهٔ ۴

از رابطهٔ اجتماع داریم $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=\frac25+\frac12-\frac7{10}=\frac15$ (صفحهٔ ۱۴۴). از طرف دیگر، $P(A)P(B)=\frac25\times\frac12=\frac15$؛ بنابراین دو پیشامد مستقل‌اند (صفحه‌های ۱۴۶ و ۱۴۷). همچنین $P(A|B)=\frac{1/5}{1/2}=\frac25$ است (صفحهٔ ۱۴۵). پاسخ: گزینهٔ ۱

اگر داده‌های اولیه را $x_i$ بنامیم، داده‌های جدید برابر $y_i=2x_i-3$ هستند. طبق ویژگی‌های میانگین، میانگین جدید برابر $2\times12-3=21$ است؛ بنابراین مجموع شش دادهٔ جدید $6\times21=126$ می‌شود (صفحه‌های ۱۵۳ و ۱۵۴). چون ضریب تبدیل مثبت است، بزرگ‌ترین دادهٔ جدید از بزرگ‌ترین دادهٔ اولیه حاصل می‌شود و مقدار آن $2\times19-3=35$ است. پس مجموع پنج دادهٔ باقی‌مانده $126-35=91$ و میانگین آنها $\frac{91}{5}$ است. پاسخ: گزینهٔ ۴

با جایگزینی داده، مجموع داده‌ها به اندازهٔ $100-40=60$ افزایش می‌یابد. چون تعداد داده‌ها شش است، افزایش میانگین $\frac{60}{6}=10$ خواهد بود (صفحه‌های ۱۵۳ و ۱۵۴). پیش و پس از جایگزینی، دو دادهٔ میانی $10$ و $12$ هستند؛ بنابراین میانه در هر دو حالت $\frac{10+12}{2}=11$ است و تغییر نمی‌کند. این مثال تفاوت اثر یک دادهٔ بزرگ بر میانگین و میانه را نشان می‌دهد (صفحه‌های ۱۵۴ و ۱۵۵). پاسخ: گزینهٔ ۱

چون میانگین داده‌ها $8$ است، داریم $\sum_{i=1}^{6}(x_i-8)=0$ (صفحه‌های ۱۵۷ و ۱۵۸). اکنون می‌نویسیم $(x_i-11)^2=((x_i-8)-3)^2=(x_i-8)^2-6(x_i-8)+9$. با جمع کردن این رابطه برای شش داده، به $90=\sum_{i=1}^{6}(x_i-8)^2-6\times0+6\times9$ می‌رسیم. بنابراین مجموع خواسته‌شده برابر $90-54=36$ است. پاسخ: گزینهٔ ۳

مجموع پنج داده برابر $1+2+4+8+15=30$ است. اگر دادهٔ حذف‌شده را $r$ بنامیم، میانگین چهار دادهٔ باقی‌مانده $\frac{30-r}{4}$ خواهد بود (صفحه‌های ۱۵۳ و ۱۵۴). شرط مسئله می‌دهد $\frac{30-r}{4}>6$، پس $r<6$؛ بنابراین فقط حذف یکی از داده‌های $1$، $2$ و $4$ ممکن است. این سه حالت به دلیل انتخاب یکنواخت اولیه، در فضای شرط شانس برابر دارند. با حذف $1$، میانهٔ داده‌های باقی‌مانده $\frac{4+8}{2}=6$ است. با حذف $2$ نیز میانه همین مقدار است؛ اما با حذف $4$، میانه $\frac{2+8}{2}=5$ می‌شود (صفحه‌های ۱۵۴ و ۱۵۵). پس از سه حالت سازگار با شرط، دو حالت مطلوب است و احتمال شرطی برابر $\frac23$ خواهد بود (صفحهٔ ۱۴۵). پاسخ: گزینهٔ ۲

احتمال فرد بودن عدد تاس اول برابر $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ است. حالت‌های پیشامد $B$ عبارت‌اند از $\{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\}$. در دو حالت، عدد تاس اول فرد است؛ پس $P(A|B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=P(A)$ و این دو پیشامد مستقل‌اند. حالت‌های پیشامد $C$ عبارت‌اند از $\{(4,6),(5,5),(6,4)\}$. تنها در یک حالت، عدد تاس اول فرد است؛ بنابراین $P(A|C)=\frac{1}{3}\ne P(A)$ و این دو پیشامد مستقل نیستند. این بررسی بر تعریف احتمال شرطی و معیار استقلال تکیه دارد. (صفحهٔ ۱۴۵ و صفحات ۱۴۷ تا ۱۴۹) پاسخ: گزینهٔ 1

برای دو والد با عامل‌های $Aa$، چهار حالت هم‌شانس فرزند عبارت‌اند از $AA$، $Aa$، $aA$ و $aa$. سه حالت نخست نرمۀ گوش آزاد ایجاد می‌کنند و تنها حالت $AA$ هم آزاد و هم خالص است. با معلوم بودن آزاد بودن نرمۀ گوش، حالت $aa$ حذف می‌شود؛ بنابراین احتمال خواسته‌شده برابر است با $\frac{1}{3}$، یا به کمک رابطهٔ احتمال شرطی، $\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}$. (صفحهٔ ۱۴۵ و صفحات ۱۵۰ و ۱۵۱) پاسخ: گزینهٔ 2

طبق تعریف، $\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar X)^2}{N}$ است. چون تعداد داده‌ها مثبت و هر جملهٔ صورت نامنفی است، واریانس دقیقاً زمانی صفر می‌شود که برای هر داده داشته باشیم $(x_i-\bar X)^2=0$. پس همهٔ داده‌ها باید با میانگین و در نتیجه با یکدیگر برابر باشند. برعکس، اگر همهٔ داده‌ها برابر باشند، میانگین نیز همان مقدار است و تمام جمله‌های صورت صفر می‌شوند. بنابراین این شرط هم لازم و هم کافی است. (صفحات ۱۵۸ و ۱۵۹) پاسخ: گزینهٔ 4

میانگین مجموعهٔ اولیه برابر $\bar X=\frac{0+4+6+10}{4}=5$ است. در مجموعهٔ جدید نیز مجموع داده‌ها تغییر نمی‌کند، پس میانگین همان $5$ می‌ماند. کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین داده نیز تغییر نکرده‌اند؛ بنابراین دامنهٔ تغییرات در هر دو مجموعه $10\,\mathrm{cm}$ است. واریانس اولیه برابر $\sigma_1^2=\frac{25+1+1+25}{4}=13\,\mathrm{cm}^2$ و واریانس جدید برابر $\sigma_2^2=\frac{25+9+9+25}{4}=17\,\mathrm{cm}^2$ است. پس واریانس به‌اندازهٔ $4\,\mathrm{cm}^2$ افزایش می‌یابد. واحد واریانس، مجذور واحد داده‌هاست. (صفحات ۱۵۳ و ۱۵۴ و صفحات ۱۵۶ تا ۱۵۹) پاسخ: گزینهٔ 3

پیشامد شرط را $D=(A\cap B)'$ می‌نامیم. از استقلال داریم $P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{10}$. پس $P(D)=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$. از طرف دیگر، اگر $A$ رخ ندهد، وقوع هم‌زمان $A$ و $B$ نیز ناممکن است؛ بنابراین $A'\subseteq D$ و $A'\cap D=A'$. در نتیجه $P(A'|D)=\frac{P(A')}{P(D)}=\frac{1-2/5}{7/10}=\frac{3/5}{7/10}=\frac{6}{7}$. باید توجه داشت که شرط سؤال اجازهٔ وقوع یکی از دو پیشامد را می‌دهد و فقط وقوع هر دو را کنار می‌گذارد. (صفحات ۱۴۳ تا ۱۴۵ و صفحات ۱۴۷ و ۱۴۸) پاسخ: گزینهٔ 1