دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم · ریاضی

سوال ۱۲۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۷ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۷ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم · سوال ۱۲۷ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۷: آمار و احتمال

اگر انحراف معیار داده‌های مثبت 33، 2a2a و aa برابر 14\sqrt{14} باشد، مقدار a3\frac{a}{3} کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 1/51/5
  2. گزینهٔ ۲: 22
  3. گزینهٔ ۳: 3/53/5
  4. گزینهٔ ۴: 44
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

ابتدا میانگین داده‌ها را محاسبه می‌کنیم:
xˉ=3+2a+a3=a+1\bar{x}=\frac{3+2a+a}{3}=a+1.

طبق تعریف کتاب، واریانس برابر میانگین مربع اختلاف داده‌ها از میانگین است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۸–۱۵۹). همچنین انحراف معیار، جذر واریانس است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۹–۱۶۰)؛ بنابراین:
σ=14⇒σ2=14\sigma=\sqrt{14}\quad\Rightarrow\quad\sigma^2=14.

اکنون اختلاف هر داده از میانگین را در فرمول واریانس قرار می‌دهیم:
[3−(a+1)]2+[2a−(a+1)]2+[a−(a+1)]23=14\frac{[3-(a+1)]^2+[2a-(a+1)]^2+[a-(a+1)]^2}{3}=14.

پس:
(2−a)2+(a−1)2+(−1)23=14\frac{(2-a)^2+(a-1)^2+(-1)^2}{3}=14.

با بسط مربع‌ها و ساده‌سازی داریم:
a2−4a+4+a2−2a+1+1=42a^2-4a+4+a^2-2a+1+1=42،
2a2−6a−36=02a^2-6a-36=0،
a2−3a−18=0a^2-3a-18=0،
(a−6)(a+3)=0(a-6)(a+3)=0.

بنابراین a=6a=6 یا a=−3a=-3 است. چون همهٔ داده‌ها مثبت‌اند و خودِ aa نیز یکی از داده‌هاست، باید a>0a>0 باشد؛ پس ریشهٔ منفی پذیرفتنی نیست و a=6a=6 است.

در نتیجه، نسبت خواسته‌شده برابر است با:
a3=63=2\frac{a}{3}=\frac{6}{3}=2.

پاسخ: گزینهٔ ۲

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: اشتباه در محاسبهٔ میانگین داده‌های دارای پارامتر می‌تواند به انتخاب این گزینه منجر شود؛ میانگین درست برابر a+1a+1 است و مقدار پیشنهادی این گزینه شرط واریانس را برآورده نمی‌کند.
  • گزینهٔ ۳: خطا در بسط مربع اختلاف داده‌ها از میانگین ممکن است باعث انتخاب این گزینه شود؛ با بسط درست، باید معادلهٔ a2−3a−18=0a^2-3a-18=0 برقرار باشد، اما مقدار متناظر با این گزینه ریشهٔ آن نیست.
  • گزینهٔ ۴: این گزینه ممکن است بر اثر اشتباه در حل معادله یا محاسبهٔ نسبت خواسته‌شده انتخاب شود؛ این نسبت به معنای a=12a=12 است که واریانس داده‌ها را برابر 7474 می‌کند، نه 1414.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. تعریف واریانس و ارتباط آن با انحراف معیار را به یاد بیاورید: واریانس، میانگین مربع اختلاف داده‌ها از میانگین است.
  2. ابتدا میانگین سه داده را به دست آورید؛ برابر a+1a+1 می‌شود. همچنین چون انحراف معیار داده شده است، برای یافتن واریانس باید آن را به توان دو برسانید.
  3. پس از جای‌گذاری در فرمول واریانس و ساده‌سازی، به معادلهٔ a2−3a−18=0a^2-3a-18=0 می‌رسید. ریشهٔ ناسازگار با مثبت‌بودن داده‌ها را کنار بگذارید و سپس نسبت خواسته‌شده را حساب کنید.

ریاضی ۲ · فصل ۷: آمار و احتمال

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «آمار و احتمال» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری