سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

جملهٔ اول را $a$ و قدرنسبت را $r$ می‌نامیم. طبق فرمول جملهٔ عمومی دنبالهٔ هندسی، $t_n=ar^{n-1}$ و هر دو عدد $a$ و $r$ غیرصفرند (ریاضی ۱، صفحه‌های ۲۵–۲۶). بنابراین:
$t_3=ar^2,\qquad t_4=ar^3,\qquad t_5=ar^4$.

گام اول: شرط جذر را به رابطهٔ جبری تبدیل می‌کنیم. چون جملهٔ سوم جذر جملهٔ چهارم است، داریم:
$ar^2=\sqrt{ar^3}$.
با مجذور کردن دو طرف:
$a^2r^4=ar^3$.
از آنجا که $ar^3\ne0$، دو طرف را بر آن تقسیم می‌کنیم:
$ar=1$.
پس $a=\frac{1}{r}$.

گام دوم: از مقدار جملهٔ پنجم استفاده می‌کنیم:
$ar^4=27\ \Rightarrow\ \frac{1}{r}r^4=27\ \Rightarrow\ r^3=27\ \Rightarrow\ r=3$.
در نتیجه:
$a=\frac{1}{3}$.
برای بررسی شرط اولیه، با این مقادیر داریم $t_3=3$ و $t_4=9$؛ پس واقعاً $t_3=\sqrt{t_4}$ است.

گام سوم: سؤال خودِ جملهٔ اول را نمی‌خواهد، بلکه می‌پرسد این جمله چقدر از $\frac{1}{2}$ کمتر است. بنابراین:
$\frac{1}{2}-a=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا تابع دوم را با توجه به علامت ورودی می‌نویسیم:
$\frac{x}{|x|}=\begin{cases}1&x>0\\-1&x<0\end{cases}$
این تابع در $x=0$ تعریف نشده است.

گام اول: تشکیل نامعادله در بازهٔ مثبت
در بازهٔ $(0,\frac{1}{2})$ داریم $x>0$؛ بنابراین پایین‌تر بودن سهمی از نمودار تابع دوم یعنی:
$2x^2+\frac{3}{2}x+c<1$.
مطابق روش تعیین علامت، پایین‌تر بودن یک نمودار از نمودار دیگر را می‌توان با منفی بودن تفاضل آن‌ها بررسی کرد (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۷–۸۸).

گام دوم: استفاده از شرط «بزرگ‌ترین بازه»
انتهای راست بازه، یعنی $x=\frac{1}{2}$، در دامنهٔ هر دو تابع قرار دارد. اگر مقدار سهمی در این نقطه کمتر از $1$ باشد، به دلیل پیوستگی سهمی، نامساوی کمی پس از این نقطه هم برقرار می‌ماند و بازه بزرگ‌تر می‌شود. اگر مقدار سهمی بیشتر از $1$ باشد، نامساوی در نقاط نزدیک به انتهای بازه از سمت چپ نیز برقرار نخواهد بود. پس در این نقطه باید دو نمودار هم‌ارتفاع باشند:
$2\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)+c=1$.
بنابراین:
$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+c=1\quad\Longrightarrow\quad c=-\frac{1}{4}$.

گام سوم: بررسی بازهٔ به‌دست‌آمده
با جای‌گذاری مقدار پارامتر، برای ورودی‌های مثبت داریم:
$2x^2+\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}<1$
$\Longleftrightarrow 8x^2+6x-5<0$
$\Longleftrightarrow (2x-1)(4x+5)<0$.
ریشه‌ها $-\frac{5}{4}$ و $\frac{1}{2}$ هستند. چون ضریب جملهٔ درجهٔ دوم مثبت است، عبارت بین دو ریشه منفی است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۷–۸۸). با اعمال شرط $x>0$، دقیقاً بازهٔ $(0,\frac{1}{2})$ حاصل می‌شود.

برای اطمینان از نبودن بازه‌ای در سمت منفی نیز سهمی را به شکل مربع کامل می‌نویسیم:
$2x^2+\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}=2\left(x+\frac{3}{8}\right)^2-\frac{17}{32}\geq-\frac{17}{32}>-1$.
طبق فرم رأسی سهمی، این مقدار کران پایین سهمی است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۹–۸۰). پس برای $x<0$، سهمی هیچ‌گاه پایین‌تر از شاخهٔ $y=-1$ قرار نمی‌گیرد و بازهٔ خواسته‌شده تأیید می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. خواندن نقاط نمودار
در شکل، طول نقطهٔ برخورد با محور افقی به‌صورت اعشاری نوشته شده است؛ بنابراین دو نقطهٔ معلوم نمودار عبارت‌اند از:
$(-1.5,0)=\left(-\frac{3}{2},0\right)$ و $(0,2)$.

۲. استفاده از عرض از مبدأ
طبق تعریف لگاریتم، $\log_c u=v$ معادل $u=c^v$ است و پایه باید شرایط $c>0$ و $c\ne1$ را داشته باشد (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷).
با جای‌گذاری نقطهٔ $(0,2)$ در ضابطه داریم:
$2=1-\log_c(-b)$
پس:
$\log_c(-b)=-1\quad\Rightarrow\quad -b=c^{-1}=\frac{1}{c}$
در نتیجه:
$b=-\frac{1}{c},\qquad bc=-1$.

۳. تعیین پایه و پارامتر ثابت
اکنون شرط داده‌شده را به کار می‌بریم:
$b+c=-\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{c}+c=-\frac{3}{2}$.
چون $c>0$ است، طرفین را در $2c$ ضرب می‌کنیم:
$2c^2+3c-2=0$
$(2c-1)(c+2)=0$.
پس $c=\frac{1}{2}$ یا $c=-2$؛ ریشهٔ منفی نمی‌تواند پایهٔ لگاریتم باشد. بنابراین:
$c=\frac{1}{2},\qquad b=-2$.

۴. استفاده از طول از مبدأ
نقطهٔ $\left(-\frac{3}{2},0\right)$ روی نمودار است؛ پس:
$0=1-\log_{\frac{1}{2}}\left(-\frac{3}{2}a+2\right)$
$\log_{\frac{1}{2}}\left(-\frac{3}{2}a+2\right)=1$
با تبدیل به رابطهٔ نمایی:
$-\frac{3}{2}a+2=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad a=1$.
این مقادیر با صعودی بودن نمودار نیز سازگارند: لگاریتم با پایهٔ بین صفر و یک نزولی است و علامت منفیِ جلوی آن جهت تغییرات را برعکس می‌کند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۷–۱۰۹ و ۱۱۵–۱۱۶).

۵. محاسبهٔ عبارت خواسته‌شده
$(a+c)b=\left(1+\frac{1}{2}\right)(-2)=-3$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: استفاده از تعریف وارون
طبق تعریف وارون، اگر نقطهٔ $(u,v)$ روی نمودار $f^{-1}$ باشد، نقطهٔ $(v,u)$ روی نمودار $f$ قرار دارد (ریاضی ۲، صفحهٔ ۵۷). بنابراین از دادهٔ سؤال داریم:
$(-\frac18,-\frac35)\in f^{-1}\quad\Longrightarrow\quad(-\frac35,-\frac18)\in f$.
پس کافی است در تابع اصلی، $x=-\frac35$ و $y=-\frac18$ قرار دهیم؛ نیازی به محاسبهٔ ضابطهٔ وارون نیست.

گام دوم: محاسبهٔ قدرمطلق و جای‌گذاری
چون $|-\frac35|=\frac35$، داریم:
$-\frac18=\frac{-\frac35}{a+a\times\frac35}=\frac{-\frac35}{\frac{8a}{5}}=-\frac{3}{8a}$.
توجه کنید که برای تعریف‌شدن تابع، باید $a\ne0$ باشد.

گام سوم: حل معادله
از تساوی بالا نتیجه می‌شود:
$\frac18=\frac{3}{8a}\quad\Longrightarrow\quad8a=24\quad\Longrightarrow\quad a=3$.
این مقدار شرط $a\ne0$ را نیز برقرار می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: شرط مسئله را به زبان جبری بنویسیم.
اگر طول ضلع لوزی $a$ و طول قطرهای آن $p$ و $q$ باشد، داریم:
$a=\sqrt{pq}\quad\Rightarrow\quad a^2=pq$.

گام دوم: مساحت لوزی را به دو روش حساب کنیم.
مساحت لوزی برحسب قطرها برابر است با:
$S=\frac{pq}{2}$.
از طرف دیگر، اگر یکی از ضلع‌ها را قاعده بگیریم، ارتفاعِ متناظر با آن برابر $h=a\sin A$ است؛ زیرا در مثلث قائم‌الزاویهٔ حاصل از رسم ارتفاع، سینوس برابر نسبت ضلع مقابل به وتر است. این کاربرد نسبت سینوس در محاسبهٔ ارتفاع، در ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲–۳۳ آمده است. بنابراین:
$S=ah=a^2\sin A$.
با برابر قرار دادن دو عبارت مساحت و استفاده از شرط مسئله:
$a^2\sin A=\frac{pq}{2}=\frac{a^2}{2}\quad\Rightarrow\quad\sin A=\frac{1}{2}$.

گام سوم: زاویه‌های مجاور را تعیین کنیم.
زاویه‌های داخلی لوزی بین $0^\circ$ و $180^\circ$ هستند. با توجه به $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$ و برابری سینوس دو زاویهٔ مکمل، زاویه‌های لوزی $30^\circ$ و $150^\circ$ هستند (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲–۳۳، نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص).
همچنین دو زاویهٔ مجاور لوزی مکمل‌اند:
$A+B=180^\circ$.
پس نصف تفاضل آن‌ها، بسته به ترتیب نام‌گذاری، برابر $60^\circ$ یا $-60^\circ$ می‌شود. چون مقدار مثبت تانژانت خواسته شده است، حالت $A=150^\circ$ و $B=30^\circ$ را در نظر می‌گیریم:
$\frac{A-B}{2}=\frac{150^\circ-30^\circ}{2}=60^\circ$.

گام چهارم: تانژانت را به دست آوریم.
طبق جدول نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲–۳۳):
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)=\tan 60^\circ=\sqrt{3}$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا با استفاده از اتحاد زاویهٔ دوبرابر، معادله را فقط برحسب $\sin x$ می‌نویسیم:
$\cos 2x=1-2\sin^2x$
پس:
$1-2\sin^2x=3\sin x-1$
با انتقال جمله‌ها به یک طرف داریم:
$2\sin^2x+3\sin x-2=0$
این عبارت تجزیه می‌شود:
$(2\sin x-1)(\sin x+2)=0$
بنابراین:
$\sin x=\frac{1}{2}\quad\text{یا}\quad\sin x=-2$
چون مقدار سینوس هر زاویه در بازهٔ $[-1,1]$ است، حالت $\sin x=-2$ پذیرفتنی نیست.

اکنون باید معادلهٔ $\sin x=\frac{1}{2}$ را در بازهٔ $[0,\pi]$ حل کنیم. مطابق فعالیت کتاب دربارهٔ این معادله، دو زاویهٔ مکمل $\frac{\pi}{6}$ و $\pi-\frac{\pi}{6}$ سینوس یکسان دارند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۴–۴۵). بنابراین تنها جواب‌های واقع در بازهٔ خواسته‌شده عبارت‌اند از:
$x_1=\frac{\pi}{6},\qquad x_2=\frac{5\pi}{6}$
اختلاف جواب‌ها، یعنی جواب بزرگ‌تر منهای جواب کوچک‌تر، برابر است با:
$x_2-x_1=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$
پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: رابطهٔ دورهٔ تناوب را مشخص می‌کنیم.
طبق تعریف کتاب، دورهٔ تناوب کوچک‌ترین عدد مثبت است که با جابه‌جایی متغیر به اندازهٔ آن، مقدار تابع برای همهٔ نقاط دامنه تکرار شود. دورهٔ پایهٔ سینوس و کسینوس برابر $2\pi$ است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۳۱–۳۳). بنابراین برای توابع $y=A\sin(bx)+c$ و $y=A\cos(bx)+c$ با $A\ne0$ و $b\ne0$ داریم:
$T=\frac{2\pi}{|b|}$.
ضریب بیرون تابع و انتقال عمودی، دوره را تغییر نمی‌دهند؛ کاربرد این رابطه در مثال‌های کتاب نیز دیده می‌شود (ریاضی ۳، صفحه‌های ۳۵–۳۷).

گام دوم: از دورهٔ تابع اول، مقدار قدرمطلق پارامتر را می‌یابیم.
در تابع $f(x)=\frac{1}{2}-\sin\frac{2x}{a}$، ضریب $x$ درون سینوس برابر $b=\frac{2}{a}$ است. پس:
$T_f=\frac{2\pi}{\left|\frac{2}{a}\right|}=\pi|a|$.
با استفاده از دادهٔ سؤال:
$\pi|a|=\frac{\pi}{3}\quad\Longrightarrow\quad |a|=\frac{1}{3}$.
نیازی به تعیین علامت $a$ نداریم؛ زیرا دوره به قدرمطلق ضریب وابسته است.

گام سوم: دورهٔ تابع دوم را محاسبه می‌کنیم.
برای $y=\cos ax$ داریم:
$T=\frac{2\pi}{|a|}=\frac{2\pi}{\frac{1}{3}}=6\pi$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: ساده‌سازی ضابطه
نماد $[x]$ نشان‌دهندهٔ جزءصحیح است. افزودن یک واحد به ورودی، جزءصحیح را نیز یک واحد افزایش می‌دهد؛ بنابراین برای هر $x\in\mathbb{R}$ داریم:
$[x+1]=[x]+1$.
پس:
$f(x)=a[x]+b([x]+1)=(a+b)[x]+b$.

گام دوم: استفاده از شرط پیوستگی
پیوستگی روی کل خط حقیقی یعنی تابع در تک‌تک نقاط آن پیوسته باشد (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۰–۱۴۱). از طرفی، تابع جزءصحیح در اعداد صحیح پرش دارد؛ بررسی همین موضوع در تمرین کتاب آمده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۲).
برای به‌دست‌آوردن شرط حذف پرش، کافی است پیوستگی را در $x=0$ بررسی کنیم. اگر $-1<x<0$، آنگاه $[x]=-1$ و در نتیجه:
$f(x)=-(a+b)+b=-a$.
اگر $0\leq x<1$، آنگاه $[x]=0$ و بنابراین:
$f(x)=b$.
پس:
$\lim_{x\to0^-}f(x)=-a,\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=f(0)=b$.
برای پیوستگی، این مقدارها باید برابر باشند؛ در نتیجه:
$-a=b\quad\Longrightarrow\quad a+b=0$.

گام سوم: تعیین تابع و محاسبهٔ نسبت
با قرار دادن شرط بالا در ضابطه، برای تمام اعداد حقیقی داریم:
$f(x)=b=-a$.
این تابع ثابت است و در همه‌جا پیوسته است؛ زیرا حد تابع ثابت برابر مقدار همان ثابت است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲۸–۱۳۰). بنابراین شرط به‌دست‌آمده کافی نیز هست.
چون تابع غیرصفر است، $b\ne0$ و در نتیجه $a\ne0$؛ پس تقسیم بر $a$ مجاز است. اکنون:
$f(a)=-a\quad\Longrightarrow\quad \frac{f(a)}{a}=\frac{-a}{a}=-1$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای حل، ابتدا مساحت مستطیل را برحسب ارتفاع آن می‌نویسیم و سپس بیشترین مقدارش را با مشتق به دست می‌آوریم. این همان روش تبدیل قیدهای هندسی به تابع یک‌متغیره در مسائل بهینه‌سازی است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۱۱۳–۱۱۴ و ۱۱۸–۱۱۹).

گام اول: تعیین ابعاد مستطیل
ارتفاع مستطیل را $h$ می‌نامیم. چون ضلع پایینی بر محور $x$ها قرار دارد، دو رأس بالایی دارای عرض یکسان $h$ هستند.

برای رأس بالایی سمت چپ روی نمودار $y=\sqrt{x}$ داریم:
$h=\sqrt{x_1}\Rightarrow x_1=h^2$.

برای رأس بالایی سمت راست روی نمودار $y=\sqrt{a-x}$ داریم:
$h=\sqrt{a-x_2}\Rightarrow x_2=a-h^2$.

پس قاعدهٔ مستطیلِ بین دو نمودار برابر است با:
$L=x_2-x_1=a-2h^2$.

در نتیجه، تابع مساحت و بازهٔ بررسی آن عبارت‌اند از:
$S(h)=h(a-2h^2)=ah-2h^3,\qquad 0\le h\le\sqrt{\frac{a}{2}}$.

دو سر این بازه، حالت‌های تباهیده با مساحت صفر هستند.

گام دوم: یافتن بیشترین مساحت
مشتق تابع مساحت را حساب می‌کنیم:
$S'(h)=a-6h^2$.

بنابراین نقطهٔ بحرانیِ داخل بازه از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
$a-6h^2=0\Rightarrow h=\sqrt{\frac{a}{6}}$.

مشتق پیش از این ارتفاع مثبت و پس از آن منفی است؛ پس مساحت ابتدا افزایش و سپس کاهش می‌یابد. با توجه به صفر بودن مساحت در دو سر بازه، این نقطه، بیشینهٔ مطلق مساحت را می‌دهد؛ مطابق روش بررسی اکسترمم مطلق در کتاب (ریاضی ۳، صفحه‌های ۱۱۱–۱۱۲).

گام سوم: استفاده از مساحت داده‌شده
با جای‌گذاری ارتفاع بهینه داریم:
$S_{\max}=\sqrt{\frac{a}{6}}\left(a-2\times\frac{a}{6}\right)=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{6}}$.

طبق صورت سؤال:
$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{6}}=\sqrt{2}$.

دو طرف مثبت‌اند؛ پس با به توان دو رساندن:
$\frac{4a^2}{9}\times\frac{a}{6}=2\Rightarrow\frac{2a^3}{27}=2\Rightarrow a^3=27\Rightarrow a=3$.

برای کنترل، در این حالت ارتفاع بهینه $h=\frac{1}{\sqrt{2}}$ و قاعده $L=2$ است؛ بنابراین مساحت برابر $2\times\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا میانگین داده‌ها را محاسبه می‌کنیم:
$\bar{x}=\frac{3+2a+a}{3}=a+1$.

طبق تعریف کتاب، واریانس برابر میانگین مربع اختلاف داده‌ها از میانگین است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۸–۱۵۹). همچنین انحراف معیار، جذر واریانس است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۹–۱۶۰)؛ بنابراین:
$\sigma=\sqrt{14}\quad\Rightarrow\quad\sigma^2=14$.

اکنون اختلاف هر داده از میانگین را در فرمول واریانس قرار می‌دهیم:
$\frac{[3-(a+1)]^2+[2a-(a+1)]^2+[a-(a+1)]^2}{3}=14$.

پس:
$\frac{(2-a)^2+(a-1)^2+(-1)^2}{3}=14$.

با بسط مربع‌ها و ساده‌سازی داریم:
$a^2-4a+4+a^2-2a+1+1=42$،
$2a^2-6a-36=0$،
$a^2-3a-18=0$،
$(a-6)(a+3)=0$.

بنابراین $a=6$ یا $a=-3$ است. چون همهٔ داده‌ها مثبت‌اند و خودِ $a$ نیز یکی از داده‌هاست، باید $a>0$ باشد؛ پس ریشهٔ منفی پذیرفتنی نیست و $a=6$ است.

در نتیجه، نسبت خواسته‌شده برابر است با:
$\frac{a}{3}=\frac{6}{3}=2$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: فضای نمونه‌ای را مشخص می‌کنیم. نتیجهٔ پرتاب دو تاس را با زوج مرتب $(a,b)$ نمایش می‌دهیم. هر تاس شش نتیجهٔ ممکن دارد؛ بنابراین تعداد حالت‌های هم‌شانس برابر است با:
$n(S)=6\times6=36$
این روش نمایش و شمارش در جدول پرتاب دو تاس آمده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۲–۱۴۳).

گام دوم: پیشامد خواسته‌شده را تفسیر می‌کنیم. عبارت «یکی از اعداد بزرگ‌تر از دیگری است» تاس مشخصی را تعیین نمی‌کند؛ پس هم $a>b$ و هم $b>a$ پذیرفته است. در نتیجه، کافی است دو عدد برابر نباشند.

گام سوم: متمم را می‌شماریم. اگر پیشامد موردنظر را $A$ بنامیم، متمم آن برابر بودن دو عدد است:
$A'=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$
پس $n(A')=6$ است. با استفاده از نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به کل حالت‌های هم‌شانس داریم (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۶–۱۴۷):
$P(A')=\frac{n(A')}{n(S)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

گام چهارم: مانند روش متمم در مثال پرتاب دو تاسِ کتاب، احتمال به‌دست‌آمده را از یک کم می‌کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۹):
$P(A)=1-P(A')=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

برای محاسبهٔ پاسخ موردنظر سؤال، مدال گرفتن دو ورزشکار را مستقل فرض می‌کنیم؛ یعنی مدال گرفتن یکی، احتمال مدال گرفتن دیگری را تغییر نمی‌دهد. طبق قاعدهٔ پیشامدهای مستقل، احتمال وقوع هم‌زمان برابر حاصل‌ضرب احتمال‌هاست (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۷–۱۴۸).

گام اول: پیشامدها را تعریف می‌کنیم.
$A$: مدال گرفتن ورزشکار اول، با احتمال $P(A)=0.6$.
$B$: مدال گرفتن ورزشکار دوم، با احتمال $P(B)=0.4$.
پس احتمال‌های مدال نگرفتن عبارت‌اند از:
$P(A^c)=1-0.6=0.4$
$P(B^c)=1-0.4=0.6$

گام دوم: «فقط یکی مدال بگیرد» را به دو حالت تقسیم می‌کنیم:

• ورزشکار اول مدال بگیرد و ورزشکار دوم مدال نگیرد:

$P(A\cap B^c)=P(A)P(B^c)=0.6\times0.6=0.36$

• ورزشکار اول مدال نگیرد و ورزشکار دوم مدال بگیرد:

$P(A^c\cap B)=P(A^c)P(B)=0.4\times0.4=0.16$

گام سوم: این دو حالت ناسازگارند؛ یعنی نمی‌توانند هم‌زمان رخ دهند. بنابراین احتمال‌هایشان را جمع می‌کنیم:
$P(\text{فقط یکی مدال بگیرد})=0.36+0.16=0.52$

نکتهٔ دقت: استقلال در صورت سؤال صریحاً بیان نشده است؛ پاسخ بالا بر اساس فرض استقلال به دست می‌آید. بدون این فرض یا اطلاعاتی دربارهٔ احتمال مدال گرفتن هم‌زمان، دو احتمال داده‌شده به‌تنهایی برای تعیین پاسخ کافی نیستند.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: شرط تابع‌بودن را به کار می‌بریم. در نمایش زوج‌مرتب، اگر دو زوج مؤلفهٔ اول یکسان داشته باشند، مؤلفهٔ دوم آن‌ها نیز باید برابر باشد؛ یعنی هر ورودی فقط یک خروجی دارد (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۸–۹۹).

در رابطهٔ داده‌شده، دو زوج $(7,1-3n^2)$ و $(7,-2n)$ ورودی یکسان دارند؛ بنابراین:
$1-3n^2=-2n$
با انتقال جمله‌ها و تجزیه داریم:
$3n^2-2n-1=0$
$(3n+1)(n-1)=0$
پس دو مقدار نامزد عبارت‌اند از:
$n=-\frac{1}{3}\quad\text{یا}\quad n=1$

گام دوم: هر نامزد را در کل رابطه بررسی می‌کنیم. وجود عبارت $\frac{1}{n}$ ایجاب می‌کند که $n\ne0$ باشد؛ هر دو نامزد این شرط را دارند.

اگر $n=1$ باشد، زوج آخر برابر $(1,2)$ می‌شود. از طرف دیگر، زوج $(1,-1)$ نیز در رابطه وجود دارد؛ بنابراین ورودی $1$ دو خروجی متفاوت خواهد داشت. پس این مقدار پذیرفتنی نیست.

اگر $n=-\frac{1}{3}$ باشد، زوج آخر $(-3,2)$ می‌شود و دو زوج با ورودی $7$ نیز هر دو خروجی $\frac{2}{3}$ دارند. در این حالت رابطه به صورت زیر است:
$f=\{(7,\frac{2}{3}),(1,-1),(2,-\frac{1}{3}),(-3,2)\}$
در نتیجه هر ورودی دقیقاً یک خروجی دارد و شرط تابع‌بودن برقرار است.

گام سوم: طبق معنای نماد مقدار تابع، زوج $(a,b)$ نشان می‌دهد که $f(a)=b$ (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۰۲). بنابراین از زوج $(2,n)$ می‌خوانیم:
$f(2)=n=-\frac{1}{3}$

پاسخ: گزینهٔ ۱