سوال ۱۱۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

۱. خواندن نقاط نمودار
در شکل، طول نقطهٔ برخورد با محور افقی به‌صورت اعشاری نوشته شده است؛ بنابراین دو نقطهٔ معلوم نمودار عبارت‌اند از:
$(-1.5,0)=\left(-\frac{3}{2},0\right)$ و $(0,2)$.

۲. استفاده از عرض از مبدأ
طبق تعریف لگاریتم، $\log_c u=v$ معادل $u=c^v$ است و پایه باید شرایط $c>0$ و $c\ne1$ را داشته باشد (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷).
با جای‌گذاری نقطهٔ $(0,2)$ در ضابطه داریم:
$2=1-\log_c(-b)$
پس:
$\log_c(-b)=-1\quad\Rightarrow\quad -b=c^{-1}=\frac{1}{c}$
در نتیجه:
$b=-\frac{1}{c},\qquad bc=-1$.

۳. تعیین پایه و پارامتر ثابت
اکنون شرط داده‌شده را به کار می‌بریم:
$b+c=-\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{c}+c=-\frac{3}{2}$.
چون $c>0$ است، طرفین را در $2c$ ضرب می‌کنیم:
$2c^2+3c-2=0$
$(2c-1)(c+2)=0$.
پس $c=\frac{1}{2}$ یا $c=-2$؛ ریشهٔ منفی نمی‌تواند پایهٔ لگاریتم باشد. بنابراین:
$c=\frac{1}{2},\qquad b=-2$.

۴. استفاده از طول از مبدأ
نقطهٔ $\left(-\frac{3}{2},0\right)$ روی نمودار است؛ پس:
$0=1-\log_{\frac{1}{2}}\left(-\frac{3}{2}a+2\right)$
$\log_{\frac{1}{2}}\left(-\frac{3}{2}a+2\right)=1$
با تبدیل به رابطهٔ نمایی:
$-\frac{3}{2}a+2=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad a=1$.
این مقادیر با صعودی بودن نمودار نیز سازگارند: لگاریتم با پایهٔ بین صفر و یک نزولی است و علامت منفیِ جلوی آن جهت تغییرات را برعکس می‌کند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۷–۱۰۹ و ۱۱۵–۱۱۶).

۵. محاسبهٔ عبارت خواسته‌شده
$(a+c)b=\left(1+\frac{1}{2}\right)(-2)=-3$.

پاسخ: گزینهٔ ۲