سوال ۱۱۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

ابتدا تابع دوم را با توجه به علامت ورودی می‌نویسیم:
$\frac{x}{|x|}=\begin{cases}1&x>0\\-1&x<0\end{cases}$
این تابع در $x=0$ تعریف نشده است.

گام اول: تشکیل نامعادله در بازهٔ مثبت
در بازهٔ $(0,\frac{1}{2})$ داریم $x>0$؛ بنابراین پایین‌تر بودن سهمی از نمودار تابع دوم یعنی:
$2x^2+\frac{3}{2}x+c<1$.
مطابق روش تعیین علامت، پایین‌تر بودن یک نمودار از نمودار دیگر را می‌توان با منفی بودن تفاضل آن‌ها بررسی کرد (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۷–۸۸).

گام دوم: استفاده از شرط «بزرگ‌ترین بازه»
انتهای راست بازه، یعنی $x=\frac{1}{2}$، در دامنهٔ هر دو تابع قرار دارد. اگر مقدار سهمی در این نقطه کمتر از $1$ باشد، به دلیل پیوستگی سهمی، نامساوی کمی پس از این نقطه هم برقرار می‌ماند و بازه بزرگ‌تر می‌شود. اگر مقدار سهمی بیشتر از $1$ باشد، نامساوی در نقاط نزدیک به انتهای بازه از سمت چپ نیز برقرار نخواهد بود. پس در این نقطه باید دو نمودار هم‌ارتفاع باشند:
$2\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)+c=1$.
بنابراین:
$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+c=1\quad\Longrightarrow\quad c=-\frac{1}{4}$.

گام سوم: بررسی بازهٔ به‌دست‌آمده
با جای‌گذاری مقدار پارامتر، برای ورودی‌های مثبت داریم:
$2x^2+\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}<1$
$\Longleftrightarrow 8x^2+6x-5<0$
$\Longleftrightarrow (2x-1)(4x+5)<0$.
ریشه‌ها $-\frac{5}{4}$ و $\frac{1}{2}$ هستند. چون ضریب جملهٔ درجهٔ دوم مثبت است، عبارت بین دو ریشه منفی است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۷–۸۸). با اعمال شرط $x>0$، دقیقاً بازهٔ $(0,\frac{1}{2})$ حاصل می‌شود.

برای اطمینان از نبودن بازه‌ای در سمت منفی نیز سهمی را به شکل مربع کامل می‌نویسیم:
$2x^2+\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}=2\left(x+\frac{3}{8}\right)^2-\frac{17}{32}\geq-\frac{17}{32}>-1$.
طبق فرم رأسی سهمی، این مقدار کران پایین سهمی است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۹–۸۰). پس برای $x<0$، سهمی هیچ‌گاه پایین‌تر از شاخهٔ $y=-1$ قرار نمی‌گیرد و بازهٔ خواسته‌شده تأیید می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۳