سوال ۱۱۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

۱. تعیین نقطهٔ مینیمم

در تابع $y=x^2-mx+2-m$، ضریب جملهٔ درجهٔ دوم $a=1>0$ است؛ بنابراین سهمی رو به بالا و نقطهٔ مینیمم آن همان رأس سهمی است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۸–۷۹).

طبق رابطهٔ مختصات رأس سهمی، داریم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۰–۸۱):
$x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{-m}{2}=\frac{m}{2}$.

با جایگذاری طول رأس در تابع، عرض آن به‌دست می‌آید:
$y_v=\left(\frac{m}{2}\right)^2-m\left(\frac{m}{2}\right)+2-m=2-m-\frac{m^2}{4}$.

۲. اعمال شرط ناحیهٔ اول

نقطه‌ای در ناحیهٔ اول است که هر دو مختصهٔ آن مثبت باشند؛ نقاط روی محورها جزو این ناحیه نیستند. پس:
$x_v>0\Rightarrow \frac{m}{2}>0\Rightarrow m>0$،
و
$y_v>0\Rightarrow 2-m-\frac{m^2}{4}>0\Rightarrow m^2+4m-8<0$.

۳. حل نامعادله و شمارش مقادیر صحیح

ریشه‌های عبارت درجهٔ دوم عبارت‌اند از:
$m=\frac{-4\pm\sqrt{16+32}}{2}=-2\pm2\sqrt{3}$.

چون ضریب جملهٔ درجهٔ دوم مثبت است، عبارت بین دو ریشه منفی است؛ بنابراین:
$-2-2\sqrt{3}<m<-2+2\sqrt{3}$.

با در نظر گرفتن شرط $m>0$، نتیجه می‌شود:
$0<m<-2+2\sqrt{3}$.

از آنجا که $-2+2\sqrt{3}\approx1.464$، تنها مقدار صحیح مجاز $m=1$ است. برای بررسی نیز در این حالت رأس برابر $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right)$ است که هر دو مختصهٔ آن مثبت‌اند.

پس فقط یک مقدار صحیح برای پارامتر وجود دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۲