سوال ۶ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

ابتدا نشان می‌دهیم که نمودار حتی برای هیچ مقدار حقیقیِ $x$ نیز بین دو خط داده‌شده قرار نمی‌گیرد؛ بنابراین ابهامی در شمارش مقدارهای صحیح باقی نمی‌ماند.

گام اول: تبدیل شرط هندسی به نامعادله
قرارگرفتن بین دو خط یعنی باید هم‌زمان داشته باشیم:
$-3<\frac{2}{x^2-3x+2}<0$.
این تبدیل، مطابق روش نوشتن شرط‌های هم‌زمان به‌صورت نامعادلهٔ دوگانه است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۹–۹۰).

گام دوم: بررسی علامت تابع و دامنه
مخرج را تجزیه می‌کنیم:
$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$.
پس تابع در $x=1$ و $x=2$ تعریف نشده است. چون صورت کسر مثبت است، تابع فقط وقتی منفی می‌شود که مخرج منفی باشد؛ یعنی:
$(x-1)(x-2)<0\quad\Longrightarrow\quad 1<x<2$.
این نتیجه از تعیین علامت عبارت درجهٔ دوم و کسر به دست می‌آید (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۷–۸۸). همین‌جا می‌بینیم که هیچ مقدار صحیحی برای $x$ در بازهٔ لازم وجود ندارد.

گام سوم: بررسی جایگاه تمام نقاط شاخهٔ منفی
برای اطمینان، با روش مربع کامل که در ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۴ به کار رفته است، می‌نویسیم:
$x^2-3x+2=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}$.
چون مربع هر عدد حقیقی نامنفی است، در بازهٔ $1<x<2$ داریم:
$-\frac{1}{4}\le x^2-3x+2<0$.
اگر مخرج را $d$ بنامیم، از $d\ge-\frac{1}{4}$ نتیجه می‌شود $-8d\le2$. با تقسیم بر $d<0$، جهت نامساوی عوض می‌شود و به دست می‌آید:
$\frac{2}{d}\le-8$.
بنابراین شاخهٔ منفی نمودار همواره در ناحیهٔ $y\le-8$ است و پایین‌تر از خط $y=-3$ قرار دارد. در خارج از این بازه نیز تابع مثبت و بالاتر از خط $y=0$ است.

در نتیجه، هیچ نقطه‌ای از نمودار بین دو خط قرار نمی‌گیرد و تعداد مقدارهای صحیح موردنظر صفر است.

پاسخ: گزینهٔ ۴