سوال ۱۱۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: تشکیل معادلهٔ نقاط مشترک

طبق تعریف سهمی، ضریب جملهٔ درجهٔ دوم باید ناصفر باشد؛ بنابراین در این سؤال $m\ne0$ است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۸–۷۹).

در هر نقطهٔ مشترک، عرض خط و سهمی برابر است؛ پس:

$-mx^2+mx+1=-m-x$

با انتقال جمله‌ها و ضرب در $-1$، داریم:

$mx^2-(m+1)x-(m+1)=0$

چون $m\ne0$، این معادله نسبت به $x$ درجهٔ دوم است.

گام دوم: اعمال شرط نداشتن نقطهٔ مشترک

برای آنکه خط و سهمی هیچ نقطهٔ مشترکی نداشته باشند، معادلهٔ بالا نباید ریشهٔ حقیقی داشته باشد؛ یعنی باید $\Delta<0$ باشد. ارتباط منفی‌بودن دلتا با نداشتن ریشهٔ حقیقی، در مثال نامعادلهٔ پارامتری کتاب نیز به کار رفته است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۰).

ضرایب معادله عبارت‌اند از:

$a=m,\qquad b=-(m+1),\qquad c=-(m+1)$

بنابراین:

$\Delta=b^2-4ac=(m+1)^2+4m(m+1)$

$\Delta=(m+1)(5m+1)$

پس شرط مسئله چنین است:

$(m+1)(5m+1)<0$

گام سوم: تعیین بازه و شمارش اعداد صحیح

ریشه‌های عبارت برابرند با:

$m=-1,\qquad m=-\frac15$

با تعیین علامت، حاصل‌ضرب دو عامل فقط بین این دو ریشه منفی است؛ همان روشی که برای حل نامعادله‌های درجهٔ دوم در کتاب آمده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۰). در نتیجه:

$-1<m<-\frac15$

مرزهای بازه پذیرفته نیستند، زیرا در آن‌ها $\Delta=0$ و دو نمودار یک نقطهٔ مشترک دارند. بازهٔ به‌دست‌آمده کاملاً بین دو عدد صحیح متوالی $-1$ و $0$ قرار دارد؛ بنابراین هیچ مقدار صحیحی برای $m$ وجود ندارد.

پاسخ: گزینهٔ ۴