سوال ۱۰۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

ابتدا نامعادله را با تعیین علامت حل می‌کنیم و سپس مقادیر جزء صحیح را می‌شماریم. همین نامعادله در تمرین‌های کتاب نیز آمده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۳).

گام اول: تعیین نقاط مرزی و دامنه
ریشه‌های صورت و مخرج عبارت‌اند از:
$4-2x=0\Rightarrow x=2$
$3x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{3}$
در $x=-\frac{1}{3}$ کسر تعریف نشده است؛ بنابراین این مقدار تحت هیچ شرایطی پذیرفته نمی‌شود. مطابق روش تعیین علامت کسر، علامت صورت و مخرج را در بازه‌های جداشده با این دو نقطه بررسی می‌کنیم (ریاضی ۱، صفحه‌های ۸۵ و ۹۱).

گام دوم: حل نامعادله

• اگر $x<-\frac{1}{3}$ باشد، صورت مثبت و مخرج منفی است؛ پس کسر منفی است.
• اگر $-\frac{1}{3}<x<2$ باشد، صورت و مخرج هر دو مثبت‌اند؛ پس کسر مثبت است.
• اگر $x>2$ باشد، صورت منفی و مخرج مثبت است؛ پس کسر منفی است.

در $x=2$، مقدار کسر صفر است و چون نامعادله از نوع بزرگ‌تر یا مساوی است، این نقطه پذیرفته می‌شود. بنابراین:
$x\in\left(-\frac{1}{3},2\right]$

گام سوم: یافتن مقادیر جزء صحیح
با ضرب طرف‌های نامعادله در عدد مثبتِ $3$، جهت نامساوی‌ها تغییر نمی‌کند (ریاضی ۱، صفحه‌های ۸۸–۸۹):
$-1<3x\le 6$
نماد $[3x]$ جزء صحیحِ $3x$، یعنی بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی آن است. با اینکه مقدار $3x=-1$ مجاز نیست، برای $-1<3x<0$ داریم $[3x]=-1$. از طرف دیگر، مقدار $3x=6$ مجاز است و جزء صحیح آن نیز $6$ است.
پس تمام مقادیر ممکن عبارت‌اند از:
$[3x]\in\{-1,0,1,2,3,4,5,6\}$
این مجموعه دارای $6-(-1)+1=8$ عضو است.

پاسخ: گزینهٔ ۴