نمونه سوال فصل ۴ ریاضی دهم با جواب

طبق ویژگی حاصل‌ضرب صفر، اگر حاصل‌ضرب دو عبارت برابر صفر باشد، دست‌کم یکی از آنها صفر است. ممکن است هر دو نیز صفر باشند، اما این اتفاق الزامی نیست. همچنین دربارهٔ مجموع آنها نمی‌توان حکم قطعی داد. (صفحهٔ ۷۱) پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا معادله را بر $3$ تقسیم می‌کنیم: $x^2-4x+\frac{5}{3}=0$. بنابراین $x^2-4x=-\frac{5}{3}$. برای مربع کامل شدن سمت چپ، به دو طرف $4$ اضافه می‌کنیم: $(x-2)^2=4-\frac{5}{3}=\frac{7}{3}$. (صفحه‌های ۷۳ و ۷۴) پاسخ: گزینهٔ ۴

برای درجهٔ دوم بودن معادله باید $m\ne1$ باشد. دلتا برابر است با $\Delta=[2(m-1)]^2-4(m-1)(m+2)=-12(m-1)$. شرط $\Delta=0$ فقط $m=1$ را می‌دهد؛ ولی با این مقدار، معادله به $3=0$ تبدیل می‌شود و هیچ ریشه‌ای ندارد. پس هیچ مقدار حقیقی از پارامتر، معادله‌ای درجهٔ دوم با ریشهٔ مضاعف ایجاد نمی‌کند. (صفحه‌های ۷۰، ۷۴ و ۷۵) پاسخ: گزینهٔ ۱

از $x^2-4x-1=0$ داریم $(x-2)^2=5$؛ پس ریشه‌ها $2\pm\sqrt{5}$ هستند. از سوی دیگر، $|x-1|\le2$ معادل $-1\le x\le3$ است. چون $2<\sqrt{5}<3$، ریشهٔ $2-\sqrt{5}$ بین $-1$ و $0$ قرار می‌گیرد، ولی $2+\sqrt{5}>4$ است. بنابراین فقط ریشهٔ کوچک‌تر هر دو شرط را دارد. (صفحه‌های ۷۳، ۷۴، ۹۲ و ۹۳) پاسخ: گزینهٔ ۳

برای ریشهٔ مضاعف باید $\Delta=(-2k)^2-4(3k+4)=4(k^2-3k-4)=4(k-4)(k+1)=0$ باشد؛ بنابراین $k=4$ یا $k=-1$. ریشهٔ مضاعف برابر $x=-\frac{-2k}{2}=k$ است. از میان این دو مقدار، فقط $-1$ در بازهٔ $-2<x\le1$ قرار دارد. (صفحه‌های ۷۱، ۷۴، ۷۵، ۸۹ و ۹۰) پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر ضلع‌ها $s$ و $t$ باشند، از محیط داریم $2(s+t)=34$ و درنتیجه $t=17-s$. شرط مساحت می‌دهد $s(17-s)=60$ یا $s^2-17s+60=0$. دلتا برابر $17^2-4\times60=49$ است؛ پس $s=\frac{17\pm7}{2}$ و ضلع‌ها $12$ و $5$ مترند. اختلاف آنها برابر $12-5=7\ \text{متر}$ است. (صفحه‌های ۷۴ و ۷۶) پاسخ: گزینهٔ ۱

از $-5<7-3x\le10$ با کم کردن $7$ داریم $-12<-3x\le3$؛ با تقسیم بر $-3$ و تغییر جهت نامساوی‌ها، $-1\le x<4$ به دست می‌آید. همچنین $|x-2|\ge3$ یعنی $x-2\ge3$ یا $x-2\le-3$؛ پس $x\ge5$ یا $x\le-1$. اشتراک این مجموعه با $[-1,4)$ فقط شامل $-1$ است. (صفحه‌های ۸۹، ۹۰، ۹۲ و ۹۳) پاسخ: گزینهٔ ۴

با تعریف $d=|a-2|$، ریشه‌های معادله برابر $3-d$ و $3+d$ هستند. برای متمایز بودن آنها باید $d>0$ باشد. نامعادلهٔ $|x-1|\le4$ معادل $-3\le x\le5$ است. قرار گرفتن هر دو ریشه در این بازه مستلزم $3-d\ge-3$ و $3+d\le5$ است؛ یعنی $d\le6$ و $d\le2$. بنابراین شرط نهایی $0<|a-2|\le2$ است. از $|a-2|\le2$ داریم $0\le a\le4$ و شرط مثبت بودن قدر مطلق، $a=2$ را حذف می‌کند. پس مجموعهٔ مطلوب $[0,2)\cup(2,4]$ است. (صفحه‌های ۷۲، ۷۳، ۸۹، ۹۰، ۹۲ و ۹۳) پاسخ: گزینهٔ ۳

در نمایش $y=a(x-h)^2+k$، رأس برابر $(h,k)$ و خط تقارن برابر $x=h$ است. در این سؤال، $h=-3$ و $k=5$ است؛ پس رأس $(-3,5)$ و خط تقارن $x=-3$ خواهد بود. همچنین چون $a=-2<0$، سهمی رو به پایین است و رأس بالاترین نقطهٔ آن محسوب می‌شود (صفحه‌های ۷۹ و ۸۰). پاسخ: گزینهٔ ۲

در معادلهٔ $3x^2-6x-5=0$، ضرایب برابر $a=3$، $b=-6$ و $c=-5$ هستند. بنابراین $\Delta=(-6)^2-4(3)(-5)=96$. با استفاده از فرمول کلی داریم: $x=\frac{6\pm\sqrt{96}}{6}=\frac{6\pm4\sqrt{6}}{6}=1\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$. چون جملهٔ رادیکالی مثبت است، ریشهٔ بزرگ‌تر برابر $1+\frac{2\sqrt{6}}{3}$ خواهد بود (صفحهٔ ۷۴). پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا باید $x\ne1$ باشد تا مخرج صفر نشود. صورت را تجزیه می‌کنیم: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$. بنابراین برای $x\ne1$ داریم $\frac{x^2-4x+3}{x-1}=x-3$. نامعادله به $x-3\le0$، یعنی $x\le3$ تبدیل می‌شود. با حذف مقدار غیرمجاز $x=1$، مجموعهٔ جواب برابر $(-\infty,1)\cup(1,3]$ است. صفر مخرج در جواب قرار نمی‌گیرد، ولی صفر صورت در صورت تعریف بودن کسر پذیرفته می‌شود (صفحه‌های ۸۸، ۸۹ و ۹۱). پاسخ: گزینهٔ ۱

برای نقاط سهمی $y=-x^2+6x-5$، شرط $y\le3$ به $-x^2+6x-8\le0$ تبدیل می‌شود. با مربع کامل داریم $1-(x-3)^2\le0$؛ پس $(x-3)^2\ge1$ و در نتیجه $x\le2$ یا $x\ge4$ (صفحه‌های ۷۹ و ۸۰). از سوی دیگر، شرط کسری به $\frac{-x^2+6x-5}{x-2}\ge0$ تبدیل می‌شود که صورت آن برابر $-(x-1)(x-5)$ است. نقاط مهم تعیین علامت، $1$، $2$ و $5$ هستند و $x=2$ مجاز نیست. علامت کسر در بازه‌های $(-\infty,1)$، $(1,2)$، $(2,5)$ و $(5,+\infty)$ به‌ترتیب مثبت، منفی، مثبت و منفی است. بنابراین جواب شرط کسری $(-\infty,1]\cup(2,5]$ خواهد بود (صفحهٔ ۹۱). اشتراک این مجموعه با $(-\infty,2]\cup[4,+\infty)$ برابر $(-\infty,1]\cup[4,5]$ است. پاسخ: گزینهٔ ۳