سوال ۱۳۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

گام اول: عضویت در بازه را به نامعادله تبدیل می‌کنیم.
چون کران چپ بسته و کران راست باز است، داریم:
$\frac{1}{3a+1}\le\frac{1}{5}<\frac{1}{2a-3}$.
تفاوت علامت‌های $\le$ و $<$ از بسته یا بازبودن دو سر بازه می‌آید (ریاضی ۱، صفحات ۹۲–۹۳).

گام دوم: علامت مخرج‌ها را بررسی می‌کنیم.
برای $a$ طبیعی، همواره $3a+1>0$ است. از سوی دیگر، شرط $\frac{1}{5}<\frac{1}{2a-3}$ ایجاب می‌کند که کسر سمت راست مثبت باشد؛ پس:
$2a-3>0\Rightarrow a>\frac{3}{2}$.
بنابراین، با توجه به طبیعی‌بودن $a$، باید $a\ge2$ باشد. بررسی علامت مخرج پیش از حل نامعادلهٔ کسری ضروری است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۱).

گام سوم: دو نامعادله را حل می‌کنیم.
اکنون مخرج‌ها مثبت‌اند؛ بنابراین با ضرب در آن‌ها، جهت نامعادله تغییر نمی‌کند:
$\frac{1}{3a+1}\le\frac{1}{5}\Rightarrow 5\le3a+1\Rightarrow a\ge\frac{4}{3}$.
همچنین:
$\frac{1}{5}<\frac{1}{2a-3}\Rightarrow 2a-3<5\Rightarrow a<4$.

گام چهارم: مقادیر طبیعی مشترک را می‌شماریم.
از ترکیب شرط‌های بالا، $2\le a<4$ به دست می‌آید؛ پس مقادیر مجاز $a=2$ و $a=3$ هستند و تعداد آن‌ها برابر $2$ است. دقت کنید که $a=4$ به‌دلیل بازبودن کران راست پذیرفته نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۲