سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

فرض کنیم دو صفر سهمی $x_1<x_2$ و رأس آن $V$ باشد. قاعدهٔ مثلث پاره‌خط بین دو صفر روی محور طول‌هاست و ارتفاع آن، عرض رأس سهمی است.

گام اول: محاسبهٔ قاعده و ارتفاع
در سهمی داده‌شده، ضریب جملهٔ درجهٔ دوم $-8$ و ضریب جملهٔ خطی $a$ است؛ بنابراین نباید پارامتر $a$ را با ضریب درجهٔ دوم اشتباه بگیریم. با استفاده از فرمول مختصات رأس داریم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۰–۸۱):
$x_V=-\frac{a}{2(-8)}=\frac{a}{16}$
و با جای‌گذاری در معادلهٔ سهمی:
$y_V=-8\left(\frac{a}{16}\right)^2+a\left(\frac{a}{16}\right)+1=\frac{a^2+32}{32}$.
این مقدار مثبت است و ارتفاع مثلث را نشان می‌دهد.

برای به‌دست‌آوردن صفرها، معادلهٔ $-8x^2+ax+1=0$ را حل می‌کنیم. طبق فرمول کلی معادلهٔ درجهٔ دوم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۴):
$\Delta=a^2-4(-8)(1)=a^2+32$،
$x_1=\frac{a-\sqrt{a^2+32}}{16},\qquad x_2=\frac{a+\sqrt{a^2+32}}{16}$.
پس طول قاعده برابر است با:
$x_2-x_1=\frac{\sqrt{a^2+32}}{8}$.

گام دوم: استفاده از مساحت مثلث
از رابطهٔ مساحت مثلث داریم:
$\frac12\times\frac{\sqrt{a^2+32}}{8}\times\frac{a^2+32}{32}=\frac{27}{64}$.
بنابراین:
$(a^2+32)\sqrt{a^2+32}=216$.
اگر $t=\sqrt{a^2+32}>0$ بگذاریم، به $t^3=216$ می‌رسیم؛ پس:
$t=6\ \Longrightarrow\ a^2+32=36\ \Longrightarrow\ a^2=4\ \Longrightarrow\ a=\pm2$.

گام سوم: تعیین علامت با شرط ناحیهٔ دوم
چون $\sqrt{a^2+32}>|a|$، یکی از صفرها منفی و دیگری مثبت است. همچنین رأس بالای محور طول‌ها قرار دارد؛ پس مثلث فقط در دو ناحیهٔ اول و دوم قرار می‌گیرد.

دو صفر نسبت به خط گذرنده از رأس، یعنی $x=\frac{a}{16}$، قرینه‌اند؛ بنابراین این خط مثلث را به دو قسمت هم‌مساحت تقسیم می‌کند (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۰–۸۱). اگر این خط سمت چپ محور عرض‌ها باشد، تمام نیمهٔ چپ مثلث و بخشی از نیمهٔ راست آن در ناحیهٔ دوم قرار می‌گیرند؛ پس سهم ناحیهٔ دوم بیشتر می‌شود. در نتیجه باید:
$\frac{a}{16}<0\ \Longrightarrow\ a<0$.
از میان دو مقدار به‌دست‌آمده، مقدار $a=-2$ پذیرفته می‌شود.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ حذف رادیکال‌ها:
طبق روابط نسبت‌های مثلثاتی، $\cot x=\frac{1}{\tan x}$؛ بنابراین $\tan x\cot x=1$ (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳). با به توان دو رساندن دو طرف تساوی داده‌شده داریم:
$\tan x+\cot x-2\sqrt{\tan x\cot x}=\frac{4}{7}$
پس:
$\tan x+\cot x=2+\frac{4}{7}=\frac{18}{7}$.

گام دوم ـ محاسبهٔ حاصل‌ضرب سینوس و کسینوس:
با استفاده از تعریف تانژانت و کتانژانت و اتحاد $\sin^2x+\cos^2x=1$ (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳)، می‌نویسیم:
$\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$.
در نتیجه:
$\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{18}{7}\quad\Rightarrow\quad\sin x\cos x=\frac{7}{18}$.

گام سوم ـ محاسبهٔ مربع عبارت خواسته‌شده:
$(\sin x-\cos x)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=1-2\times\frac{7}{18}=\frac{2}{9}$.
بنابراین:
$\sin x-\cos x=\pm\frac{\sqrt{2}}{3}$.

گام چهارم ـ تعیین علامت:
طبق تذکر کتاب، علامت نسبت‌های مثلثاتی باید با توجه به ربع زاویه تعیین شود (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳). از مثبت بودن طرف راست تساوی اولیه داریم:
$\sqrt{\tan x}>\sqrt{\cot x}\quad\Rightarrow\quad\tan x>\cot x$.
چون در ربع سوم $\tan x>0$ و $\cot x=\frac{1}{\tan x}$، نتیجه می‌شود $\tan x>1$. همچنین در این ربع $\cos x<0$؛ پس با ضرب نامساوی $\frac{\sin x}{\cos x}>1$ در کسینوس، جهت نامساوی عوض می‌شود:
$\sin x<\cos x\quad\Rightarrow\quad\sin x-\cos x<0$.
پس ریشهٔ منفی را انتخاب می‌کنیم:
$\boxed{\sin x-\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{3}}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

برای استفاده از نسبت‌های مثلثاتی، مثلث را به دو مثلث قائم‌الزاویه تقسیم می‌کنیم؛ این همان روش رسم ارتفاع در مسائل کتاب است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۴).

گام اول: رسم ارتفاع و محاسبهٔ آن
از رأس $A$ بر ضلع $BC$ عمود رسم می‌کنیم و پای عمود را $H$ می‌نامیم. چون زاویه‌های $B$ و $C$ هر دو حاده‌اند، نقطهٔ $H$ بین $B$ و $C$ قرار دارد.

در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABH$، ضلع $AB=6$ وتر و $AH$ ضلع مقابل زاویهٔ $30^\circ$ است. مطابق تعریف سینوس (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۱) و مقدار سینوس این زاویه (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲–۳۳)، داریم:
$\sin30^\circ=\frac{AH}{AB}=\frac{1}{2}$
پس:
$AH=6\times\frac{1}{2}=3$.

گام دوم: محاسبهٔ دو قطعهٔ قاعده
طبق تعریف تانژانت، نسبت ضلع مقابل زاویه به ضلع مجاور آن را به کار می‌بریم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۰). در مثلث $ABH$:
$\tan30^\circ=\frac{AH}{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
بنابراین:
$BH=\frac{3}{\sqrt{3}/3}=3\sqrt{3}$.

در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ACH$ نیز داریم:
$\tan45^\circ=\frac{AH}{HC}=1\quad\Rightarrow\quad HC=AH=3$.
مقادیر تانژانت این دو زاویه در جدول نسبت‌های مثلثاتی آمده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۲–۳۳).

گام سوم: محاسبهٔ ضلع خواسته‌شده
چون $H$ روی پاره‌خط $BC$ است:
$BC=BH+HC=3\sqrt{3}+3=3(1+\sqrt{3})$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا با استفاده از اتحاد مثلثاتی، ضابطه را ساده می‌کنیم:
$\cos(\frac{3\pi}{2}+3x)=\sin(3x)$
پس داریم:
$f(x)=-\frac{1}{2}\sin(3x)$.

طبق تعریف، در تابع اکیداً نزولی، با افزایش ورودی باید مقدار تابع کاهش یابد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷–۹). چون ضریب $-\frac{1}{2}$ منفی است، کافی است $\sin(3x)$ روی بازهٔ موردنظر اکیداً صعودی باشد.

با توجه به نمودار سینوس و بررسی یکنوایی توابع مثلثاتی در کتاب، تابع $\sin t$ روی بازهٔ $[-\frac{\pi}{2},0]$ اکیداً صعودی است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷–۹). از طرفی، با افزایش $x$، عبارت $3x$ نیز افزایش می‌یابد؛ بنابراین:
$-\frac{\pi}{2}\leq 3x\leq 0\quad\Longleftrightarrow\quad-\frac{\pi}{6}\leq x\leq 0$.
پس تابع داده‌شده روی $[-\frac{\pi}{6},0]$ اکیداً نزولی است.

برای اطمینان از کمینه‌بودن سرِ چپ، توجه می‌کنیم که:
$f(-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{2})=\frac{1}{2}$.
این مقدار، بیشترین مقدار تابع است؛ زیرا $-1\leq\sin(3x)\leq1$. اگر $a<-\frac{\pi}{6}$ باشد، نزولی‌بودن اکید ایجاب می‌کند $f(a)>f(-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$ که ممکن نیست. بنابراین نمی‌توان بازه را از سمت چپ بیشتر گسترش داد و کمترین مقدار برابر است با:
$a_{\min}=-\frac{\pi}{6}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: ساده‌سازی زاویه‌ها
با استفاده از روابط زاویه‌های وابسته داریم:
$\sin(\pi+x)=-\sin x$
$\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x$
$\sin(\pi-x)=\sin x$
بنابراین معادلهٔ داده‌شده به شکل زیر درمی‌آید:
$(-\sin x)(-\sin x)+1=2\sin x$
$\sin^2x-2\sin x+1=0$
$(\sin x-1)^2=0$
پس شرط لازم و کافی برای برقراری معادله، $\sin x=1$ است.

گام دوم: نوشتن جواب کلی
طبق جواب کلی این معادله در کتاب درسی داریم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۳–۴۴):
$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

گام سوم: محدودکردن جواب‌ها به بازهٔ خواسته‌شده
باید داشته باشیم:
$-2\pi\le\frac{\pi}{2}+2k\pi\le2\pi$
با کم‌کردن $\frac{\pi}{2}$ و تقسیم بر $2\pi$ به دست می‌آید:
$-\frac{5}{4}\le k\le\frac{3}{4}$
تنها اعداد صحیح این محدوده $k=-1$ و $k=0$ هستند؛ بنابراین جواب‌های داخل بازه عبارت‌اند از:
$x=-\frac{3\pi}{2},\qquad x=\frac{\pi}{2}$
پس معادله در بازهٔ داده‌شده دو جواب متمایز دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

در صورت سؤال، علامت «/» نشانهٔ اعشار است؛ بنابراین پایهٔ عبارت $0.25$ و عددِ گزینهٔ اول $2.5$ است.

گام اول: پایه را به صورت توانی از مبنای لگاریتم می‌نویسیم:
$0.25=\frac14=4^{-1}$
پس با استفاده از قانون توانِ توان داریم:
$(0.25)^{1-\log_4 10}=(4^{-1})^{1-\log_4 10}=4^{\log_4 10-1}$

گام دوم: تفاضلِ توان‌ها را به خارج‌قسمت تبدیل می‌کنیم:
$4^{\log_4 10-1}=\frac{4^{\log_4 10}}{4}$

گام سوم: طبق رابطهٔ $a^{\log_a b}=b$، که از تعریف لگاریتم به دست می‌آید (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱۳–۱۱۴)، داریم:
$4^{\log_4 10}=10$
بنابراین:
$(0.25)^{1-\log_4 10}=\frac{10}{4}=\frac52=2.5$

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: ضابطهٔ وارون را پیدا می‌کنیم. مطابق روش کتاب، رابطهٔ تابع را برای متغیر ورودی حل می‌کنیم (ریاضی ۲، صفحات ۶۲–۶۴):

$y=\frac{1}{x+a}\Rightarrow x+a=\frac{1}{y}\Rightarrow x=\frac{1}{y}-a$

پس با جابه‌جایی نام متغیرها داریم:

$f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-a$

دامنهٔ تابع اصلی شرط $x\ne-a$ و دامنهٔ وارون شرط $x\ne0$ را دارد. باید این محدودیت‌ها را پیش از ساده‌سازی در نظر بگیریم (ریاضی ۲، صفحات ۵۰–۵۱).

گام دوم: در هر نقطهٔ تقاطع، مقدار دو تابع یکسان است؛ بنابراین:

$\frac{1}{x+a}=\frac{1}{x}-a$

با ضرب دو طرف در $x(x+a)$، که در دامنهٔ مشترک صفر نیست، به دست می‌آوریم:

$x=x+a-ax(x+a)$

$\Rightarrow a\bigl(x(x+a)-1\bigr)=0$

چون $a\ne0$، نتیجه می‌شود:

$x^2+ax-1=0$

هیچ‌یک از مقادیر ممنوعِ $x=0$ و $x=-a$ ریشهٔ این معادله نیستند، زیرا با جای‌گذاری هرکدام، طرف چپ برابر $-1$ می‌شود. همچنین ممیّز معادله $a^2+4>0$ است؛ پس دو ریشهٔ حقیقی متمایز، همان طول‌های دو نقطهٔ تقاطع‌اند.

گام سوم: طول نقاط را با فرمول حل معادلهٔ درجهٔ دوم می‌نویسیم:

$x_1=\frac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2},\qquad x_2=\frac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2}$

بنابراین اختلاف طول آن‌ها برابر است با:

$|x_1-x_2|=\sqrt{a^2+4}$

طبق دادهٔ سؤال:

$\sqrt{a^2+4}=2\sqrt{10}\Rightarrow a^2+4=40\Rightarrow a^2=36\Rightarrow a=\pm6$

از میان مقادیر پیشنهادی، فقط $6$ وجود دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. انتخاب شاخهٔ مناسب نمودار
چون $x\to2^-$ است، باید شاخهٔ مایلِ سمت چپ را در نظر بگیریم، نه شاخهٔ افقی سمت راست. مقدار تابع در خود نقطه و توخالی بودن آن، در محاسبهٔ این حد نقشی ندارد؛ در حد، رفتار تابع در نزدیکی نقطه بررسی می‌شود (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲۷–۱۲۸).

۲. به‌دست‌آوردن ضابطهٔ شاخهٔ مایل
این خط از دو نقطهٔ $(-1,0)$ و $(0,1)$ می‌گذرد؛ پس شیب آن برابر است با:
$m=\frac{1-0}{0-(-1)}=1$.
با توجه به عرض از مبدأ $1$، برای $x<2$ در نزدیکی نقطه داریم:
$f(x)=x+1$.
بنابراین:
$\lim_{x\to2^-}\frac{3-f(x)}{x^2-4}=\lim_{x\to2^-}\frac{3-(x+1)}{x^2-4}=\lim_{x\to2^-}\frac{2-x}{x^2-4}$.

۳. رفع حالت مبهم
با جایگذاری مستقیم، صورت و مخرج هر دو به صفر میل می‌کنند؛ بنابراین هنوز نمی‌توان قانون حد تقسیم را به کار برد، زیرا این قانون به ناصفر بودن حد مخرج نیاز دارد (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۰–۱۳۱).
داریم:
$2-x=-(x-2),\qquad x^2-4=(x-2)(x+2)$.
هنگام نزدیک شدن به نقطه، $x\ne2$ است؛ پس می‌توان عامل مشترک را حذف کرد. این همان روش ساده‌سازیِ مثال کتاب است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۲–۱۳۳):
$\frac{2-x}{x^2-4}=\frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)}=-\frac{1}{x+2}$.

۴. محاسبهٔ حد عبارت ساده‌شده
اکنون حد مخرج ناصفر است؛ پس:
$\lim_{x\to2^-}\left(-\frac{1}{x+2}\right)=-\frac{1}{2+2}=-\frac{1}{4}$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: محاسبهٔ پارامتر

چون $x\to0^-$، در نزدیکی صفر داریم $x<0$؛ بنابراین:
$|x|=-x$
و در نتیجه:
$|x-|x||=|x-(-x)|=|2x|=-2x$.

پس با تجزیهٔ مخرج و حذف عامل $x$، که در همسایگی محذوف صفر ناصفر است، به دست می‌آوریم:
$a=\lim_{x\to0^-}\frac{-2x}{x(x+2)}=\lim_{x\to0^-}\frac{-2}{x+2}=-1$.

گام دوم: تعیین جهت نزدیک‌شدن زاویه

اکنون حد خواسته‌شده برابر است با:
$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\tan(-x)$.

با قرار دادن $t=-x$، چون ضرب در عدد منفی جهت نامساوی را عوض می‌کند، داریم:
$x\to\frac{\pi}{2}^+\quad\Longrightarrow\quad t\to-\frac{\pi}{2}^-$.

گام سوم: بررسی علامت نسبت مثلثاتی

می‌نویسیم:
$\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}$.

وقتی $t$ از چپ به $-\frac{\pi}{2}$ نزدیک می‌شود، سینوس به $-1$ میل می‌کند و کسینوس با مقادیر منفی به صفر نزدیک می‌شود:
$\sin t\to-1,\qquad \cos t\to0^-$.

مطابق قاعدهٔ حدهای بی‌نهایتِ کسری، علامت صورت و جهت نزدیک‌شدن مخرج به صفر، علامت بی‌نهایت را مشخص می‌کند (ریاضی ۳، صفحه‌های ۵۶–۵۷). در اینجا نسبت دو مقدار منفی، مثبت است و اندازهٔ آن بدون کران افزایش می‌یابد؛ پس:
$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\tan(ax)=\lim_{t\to-\frac{\pi}{2}^-}\frac{\sin t}{\cos t}=+\infty$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا توجه می‌کنیم که $a\ne0$ است تا ضابطهٔ $f$ تعریف شود. برای یافتن وارون، می‌نویسیم:
$y=1+\frac{2x}{a}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{a}{2}(y-1)$
پس:
$f^{-1}(x)=\frac{a}{2}(x-1)$.

هر دو شاخه تابع خطی‌اند و در بازهٔ مربوط به خود پیوسته‌اند؛ بنابراین فقط باید پیوستگی در محل اتصال، یعنی $x=-1$، بررسی شود. پیوستگی توابع چندجمله‌ای در ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۱ بیان شده است. همچنین طبق تعریف پیوستگی، حدهای چپ و راست در محل اتصال باید با مقدار تابع برابر باشند (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۹–۱۴۰).

چون ورودی $-1$ در شاخهٔ اول قرار دارد، داریم:
$g(-1)=f(-1)=1-\frac{2}{a}$.
از طرف دیگر:
$\lim_{x\to-1^-}g(x)=f^{-1}(-1)=\frac{a}{2}(-1-1)=-a$.
بنابراین شرط پیوستگی چنین است:
$1-\frac{2}{a}=-a$.
با ضرب در $a$ و تجزیه:
$a-2=-a^2\quad\Longrightarrow\quad a^2+a-2=0\quad\Longrightarrow\quad(a+2)(a-1)=0$.
پس $a=-2$ یا $a=1$.

اکنون شرط تقاطع با سمت مثبت محور افقی را به کار می‌بریم. هر ورودی مثبت در شاخهٔ اول قرار دارد؛ پس ریشهٔ مثبت باید از حل معادلهٔ زیر به دست آید:
$1+\frac{2x}{a}=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{a}{2}$.
برای آنکه $x>0$ باشد، باید $a<0$ باشد؛ بنابراین از میان دو مقدار ممکن، $a=-2$ پذیرفته می‌شود.

در نتیجه:
$g(-1)=1-\frac{2}{-2}=2$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

طبق تعریف کتاب، شیب نیم‌مماس چپ برابر مشتق چپ و شیب نیم‌مماس راست برابر مشتق راست تابع است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷۹–۸۰).

ابتدا تابع را در همسایگی $x=2$ بدون قدرمطلق می‌نویسیم. در سمت چپ و نزدیک این نقطه، $x^2-4<0$ و در سمت راست آن، $x^2-4>0$ است؛ بنابراین:
$f(x)=\begin{cases}4-x^2&-2<x<2,\\x^2-4&x>2.\end{cases}$
همچنین $f(2)=0$ است.

شیب نیم‌مماس چپ را با تعریف مشتق چپ به دست می‌آوریم:
$m_{\text{چپ}}=f'_-(2)=\lim_{x\to2^-}\frac{4-x^2}{x-2}=\lim_{x\to2^-}[-(x+2)]=-4.$

به همین ترتیب، شیب نیم‌مماس راست برابر است با:
$m_{\text{راست}}=f'_+(2)=\lim_{x\to2^+}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2^+}(x+2)=4.$

پس دو نیم‌مماس شیب‌های متناهی و نابرابر دارند؛ یعنی نمودار در این نقطه گوشه دارد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۰–۸۲). اختلاف دو شیب، یعنی شیب بزرگ‌تر منهای شیب کوچک‌تر، برابر است با:
$\Delta m=4-(-4)=8.$

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تشخیص کمیت خواسته‌شده

آهنگ رشد جرم در یک لحظه، همان مشتق جرم نسبت به زمان در آن لحظه است؛ بنابراین باید $m'(1)$ را حساب کنیم، نه $m(1)$ را (ریاضی ۳، صفحهٔ ۹۵).

۲. مشتق‌گیری از تابع جرم

برای $t>0$ داریم:
$m(t)=\frac{9t+3}{\sqrt{t}}$.

با استفاده از قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت و رابطهٔ $(\sqrt{t})'=\frac{1}{2\sqrt{t}}$ (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۶–۸۷):

$m'(t)=\frac{9\sqrt{t}-(9t+3)\frac{1}{2\sqrt{t}}}{(\sqrt{t})^2}=\frac{9\sqrt{t}-\frac{9t+3}{2\sqrt{t}}}{t}$.

۳. محاسبه در لحظهٔ خواسته‌شده

$m'(1)=\frac{9-\frac{9+3}{2}}{1}=9-6=3$.

چون جرم برحسب گرم و زمان برحسب ساعت است، واحد آهنگ رشد، $\frac{\text{گرم}}{\text{ساعت}}$ است. پس در این لحظه جرم توده با آهنگ $3\,\frac{\text{گرم}}{\text{ساعت}}$ افزایش می‌یابد؛ هرچند در صورت سؤال واحد آهنگ به‌اختصار «گرم» آمده است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا عبارت داخل قدرمطلق را در نظر می‌گیریم:
$g(x)=2x^2-9x+a$.

گام اول: دو مینیمم نسبی چگونه ایجاد می‌شوند؟
طبق تعریف مینیمم نسبی، مقدار تابع در یک نقطه باید از مقادیر نقاط یک همسایگیِ آن بیشتر نباشد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵). چون $f(x)=|g(x)|\geq 0$، هر ریشهٔ داخلیِ $g$ یک مینیمم نسبی برای $f$ ایجاد می‌کند. وجودنداشتن مشتق در این نقاط مانع مینیمم‌بودن نیست؛ نمونهٔ این موضوع در تابع قدرمطلق کتاب آمده است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۷).

سهمیِ $g$ رو به بالاست و طول رأس آن برابر است با:
$x_v=\frac{9}{4}\in(1,4)$.
اگر سهمی دو ریشهٔ متمایز داشته باشد، بین آن‌ها منفی است؛ بنابراین قدرمطلق، بخش منفی را به بالای محور قرینه می‌کند. در نتیجه دو ریشه، مینیمم نسبی و رأس، ماکزیمم نسبی می‌شود. اگر ریشهٔ مضاعف داشته باشد یا اصلاً ریشه نداشته باشد، فقط یک مینیمم در رأس خواهیم داشت.

پس برای داشتن دو مینیمم نسبی در بازهٔ داده‌شده، لازم و کافی است هر دو ریشهٔ متمایز درون بازهٔ $(1,4)$ باشند. سرهای بازه، طبق تعریف مبتنی بر همسایگیِ کتاب، مینیمم نسبیِ تابعِ محدودشده به بازه به شمار نمی‌آیند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵).

گام دوم: شرط قرارگرفتن ریشه‌ها درون بازه
چون رأس داخل بازه و سهمی رو به بالاست، باید مقدار سهمی در رأس منفی و در هر دو سر بازه مثبت باشد:
$g(1)>0,\qquad g(4)>0,\qquad g\left(\frac94\right)<0$.

این سه شرط را محاسبه می‌کنیم:
$g(1)=a-7>0\quad\Longrightarrow\quad a>7$،

$g(4)=a-4>0\quad\Longrightarrow\quad a>4$،

$g\left(\frac94\right)=a-\frac{81}{8}<0\quad\Longrightarrow\quad a<\frac{81}{8}$.

با اشتراک شرط‌ها داریم:
$7<a<\frac{81}{8}$.

گام سوم: شمارش مقادیر طبیعی
چون $\frac{81}{8}=10.125$، مقادیر طبیعیِ مجاز عبارت‌اند از:
$a\in\{8,9,10\}$.

بنابراین تعداد مقادیر برابر با $3$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

در داده‌های سؤال ناسازگاری وجود دارد: با تابع نوشته‌شده، مساحت به‌دست‌آمده در گزینه‌ها نیست و گزینهٔ اعلام‌شده نیز تأیید نمی‌شود.

گام اول: تعیین نقطهٔ تماس
چون نقطهٔ $(a,a)$ روی نمودار $y=\sqrt{2-x}$ قرار دارد، داریم:
$a=\sqrt{2-a}$
طرف راست نامنفی است؛ پس باید $a\geq 0$ باشد. با به توان دو رساندن:
$a^2=2-a\Rightarrow a^2+a-2=0\Rightarrow(a-1)(a+2)=0$
ریشهٔ $a=-2$ به دلیل شرط نامنفی بودن پذیرفته نیست؛ بنابراین $a=1$ و نقطهٔ تماس $(1,1)$ است.

گام دوم: محاسبهٔ شیب مماس
طبق قاعدهٔ مشتق تابع رادیکالی با عبارت خطی زیر رادیکال (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۶–۸۷):
$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}$
پس:
$f'(1)=-\frac{1}{2}$
مشتق در نقطه، برابر شیب مماس در همان نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۲–۸۳).

گام سوم: نوشتن معادلهٔ مماس و یافتن تقاطع‌ها
خطی با شیب $-\frac{1}{2}$ که از $(1,1)$ می‌گذرد، معادلهٔ زیر را دارد:
$y-1=-\frac{1}{2}(x-1)\Rightarrow y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$
برای برخورد با محور افقی، $y=0$ قرار می‌دهیم و $x=3$ به دست می‌آید. برای برخورد با محور عمودی، $x=0$ قرار می‌دهیم و $y=\frac{3}{2}$ حاصل می‌شود. بنابراین می‌توان نوشت:
$A=(3,0),\qquad B=(0,\frac{3}{2})$

گام چهارم: محاسبهٔ مساحت
مثلث در مبدأ قائم‌الزاویه است؛ در نتیجه:
$S_{OAB}=\frac{1}{2}\times OA\times OB=\frac{1}{2}\times3\times\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$

پس لازم است صورت سؤال یا گزینه‌ها بازبینی شود؛ مقدار $\frac{2}{25}$ از صورت فعلی به دست نمی‌آید.
پاسخ: هیچ‌یک از گزینه‌ها؛ مساحت صحیح با صورت فعلی $\frac{9}{4}$ است.

۱. تعیین ابعاد و بازهٔ مجاز
رأسِ مستطیل روی منحنی را $(x,y)$ می‌نامیم. سه رأس دیگر، روی محورهای مختصات، برابر $(0,0)$، $(x,0)$ و $(0,y)$ هستند؛ پس ابعاد مستطیل $x$ و $y$ است.

معادلهٔ سهمی را می‌توان چنین نوشت:
$y=4x^2-12x+9=(2x-3)^2$.
این منحنی محور افقی را در $x=\tfrac32$ و محور عمودی را در $y=9$ قطع می‌کند. بنابراین برای مستطیلی که در ناحیهٔ محدود بین محورها و منحنی قرار دارد، داریم:
$0<x<\tfrac32$.
برای بررسی بیشینه، دو انتهای بازه را نیز به‌عنوان حالت‌های مرزی با مساحت صفر در نظر می‌گیریم.

۲. نوشتن تابع مساحت
مطابق روش بهینه‌سازی کتاب، ابتدا مساحت را برحسب یک متغیر بیان می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۳–۱۱۴):
$S=xy$،
پس:
$S(x)=x(4x^2-12x+9)=4x^3-12x^2+9x,\qquad x\in[0,\tfrac32]$.

۳. یافتن نقطهٔ بیشینه
برای تعیین بیشینهٔ مطلق، نقاط با مشتق صفر و دو انتهای بازه را بررسی می‌کنیم؛ همان روشی که در مثال بهینه‌سازی کتاب به کار رفته است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۴).
$S'(x)=12x^2-24x+9=3(2x-1)(2x-3)$.
بنابراین:
$S'(x)=0\quad\Rightarrow\quad x=\tfrac12\ \text{یا}\ x=\tfrac32$.
در بازهٔ $0<x<\tfrac12$ هر دو عاملِ خطی منفی‌اند، پس $S'(x)>0$؛ در بازهٔ $\tfrac12<x<\tfrac32$ علامت آن‌ها مخالف است، پس $S'(x)<0$. بنابراین مساحت ابتدا افزایش و سپس کاهش می‌یابد و در $x=\tfrac12$ بیشینه می‌شود.

۴. محاسبهٔ مساحت بیشینه
عرض رأس در این حالت برابر است با:
$y=4(\tfrac12)^2-12(\tfrac12)+9=1-6+9=4$.
پس:
$S_{\max}=\tfrac12\times4=2$.
همچنین $S(0)=S(\tfrac32)=0$ است؛ بنابراین مقدار به‌دست‌آمده بیشینهٔ مطلق مساحت است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

نکتهٔ مهم دربارهٔ صورت سؤال: عبارت «مجاور هم باشند» با پاسخ تأییدشده سازگار نیست. برای رسیدن به گزینهٔ تأییدشده، باید شرط سؤال «هیچ دو نفر از سه نفر موردنظر مجاور هم نباشند» باشد. حل زیر بر اساس همین اصلاح است.

گام اول ـ تشخیص نوع شمارش: جای هفت نفر را ثابت در نظر می‌گیریم و می‌خواهیم سه جایگاهِ مربوط به افرادِ اشتباه‌ایستاده را مشخص کنیم؛ بنابراین ترتیب انتخاب جایگاه‌ها مهم نیست و باید از ترکیب استفاده کنیم. تمایز انتخاب بدون ترتیب و انتخاب با ترتیب در کاردرکلاس کتاب مطرح شده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۶).

گام دوم ـ ایجاد فاصله‌ها: چهار نفرِ دیگر را با علامت دایره نمایش می‌دهیم. اطراف و میان آن‌ها پنج فاصله وجود دارد:
$\_\;\circ\;\_\;\circ\;\_\;\circ\;\_\;\circ\;\_$
برای آنکه هیچ دو نفر از سه فرد موردنظر کنار هم نباشند، در هر فاصله حداکثر یک نفر از آن‌ها قرار می‌گیرد.

گام سوم ـ انتخاب فاصله‌ها: باید سه فاصله از پنج فاصله را انتخاب کنیم. هر انتخاب، دقیقاً یک الگوی مجاز برای جایگاه‌های سه فرد موردنظر می‌سازد؛ پس:
$\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$.

توجه: اگر عبارت فعلیِ «مجاور هم باشند» را به معنای اشغال سه جایگاهِ پشت‌سرهم بگیریم، ابتدای این سه جایگاه فقط پنج حالت دارد و پاسخِ شمارش جایگاه‌ها $5$ می‌شود؛ بنابراین اصلاح شرط برای پذیرش پاسخ تأییدشده ضروری است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول ـ شمارش همهٔ حالت‌ها

نتیجهٔ انتخاب‌ها را با زوج مرتب $(a,b)$ نشان می‌دهیم؛ یعنی عدد دانش‌آموز اول و عدد دانش‌آموز دوم. هر دانش‌آموز $8$ انتخاب دارد، پس تعداد کل حالت‌های هم‌شانس برابر است با:
$8\times8=64$
این روش مانند جدول حالت‌های دو تاس است که در آن جای دو نتیجه اهمیت دارد (ریاضی هشتم، صفحه‌های ۱۳۴–۱۳۵).

گام دوم ـ شمارش حالت‌های برد

اگر دو عدد برابر باشند، شرط برقرار است؛ چون هر عدد مضرب خودش است. بنابراین $8$ حالت برابر داریم.

برای عددهای نابرابر، ابتدا عدد کوچک‌تر را در جای اول می‌نویسیم و مضرب‌های بزرگ‌تر از آن را تا $8$ پیدا می‌کنیم:

• برای $1$: عددهای $2،3،4،5،6،7،8$؛ یعنی $7$ جفت.
• برای $2$: عددهای $4،6،8$؛ یعنی $3$ جفت.
• برای $3$: فقط عدد $6$؛ یعنی $1$ جفت.
• برای $4$: فقط عدد $8$؛ یعنی $1$ جفت.

عددهای بزرگ‌تر از $4$ در این بازه مضربی بزرگ‌تر از خود ندارند. پس تعداد این جفت‌ها برابر است با:
$7+3+1+1=12$

هر جفت نابرابر دو ترتیب دارد؛ مثلاً $(2,6)$ و $(6,2)$ هر دو باعث برد می‌شوند. بنابراین تعداد کل حالت‌های مطلوب برابر است با:
$2\times12+8=32$

گام سوم ـ محاسبهٔ احتمال

برای حالت‌های هم‌شانس، تعداد حالت‌های مطلوب را بر تعداد کل حالت‌ها تقسیم می‌کنیم (ریاضی هشتم، صفحهٔ ۱۲۹):
$P=\frac{32}{64}=\frac{1}{2}$

در نتیجه درصد احتمال برد برابر است با:
$\frac{1}{2}\times100\%=50\%$

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: پیشامدها را مشخص می‌کنیم.
$A$: هر سه عدد انتخاب‌شده فرد باشند.
$B$: مجموع سه عدد انتخاب‌شده فرد باشد.

طبق تعریف احتمال شرطی، باید فقط حالت‌هایی را در نظر بگیریم که شرط $B$ در آنها برقرار است؛ بنابراین $P(A\mid B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۵).

گام دوم: حالت‌های دارای مجموع فرد را می‌شماریم.
در میان کارت‌های شماره‌گذاری‌شده از $1$ تا $9$، پنج کارت فرد و چهار کارت زوج داریم. مجموع سه عدد در دو حالت فرد می‌شود: هر سه عدد فرد باشند، یا یک عدد فرد و دو عدد زوج باشند. این شیوهٔ تفکیک بر اساس زوج و فرد بودن، مشابه روش مثال کارت‌ها در کتاب است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۴۵–۱۴۶).

چون ترتیب انتخاب کارت‌ها اهمیتی ندارد، از ترکیب استفاده می‌کنیم:
تعداد انتخاب‌های سه کارت فرد برابر است با $\binom{5}{3}=10$.
تعداد انتخاب‌های یک کارت فرد و دو کارت زوج برابر است با $\binom{5}{1}\binom{4}{2}=5\times6=30$.
پس تعداد کل حالت‌های سازگار با شرط سؤال برابر است با $n(B)=10+30=40$.

گام سوم: احتمال شرطی را محاسبه می‌کنیم.
اگر هر سه عدد فرد باشند، مجموع آنها حتماً فرد است؛ پس $A\subseteq B$ و در نتیجه $n(A\cap B)=n(A)=10$. بنابراین:
$P(A\mid B)=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: عضویت در بازه را به نامعادله تبدیل می‌کنیم.
چون کران چپ بسته و کران راست باز است، داریم:
$\frac{1}{3a+1}\le\frac{1}{5}<\frac{1}{2a-3}$.
تفاوت علامت‌های $\le$ و $<$ از بسته یا بازبودن دو سر بازه می‌آید (ریاضی ۱، صفحات ۹۲–۹۳).

گام دوم: علامت مخرج‌ها را بررسی می‌کنیم.
برای $a$ طبیعی، همواره $3a+1>0$ است. از سوی دیگر، شرط $\frac{1}{5}<\frac{1}{2a-3}$ ایجاب می‌کند که کسر سمت راست مثبت باشد؛ پس:
$2a-3>0\Rightarrow a>\frac{3}{2}$.
بنابراین، با توجه به طبیعی‌بودن $a$، باید $a\ge2$ باشد. بررسی علامت مخرج پیش از حل نامعادلهٔ کسری ضروری است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۱).

گام سوم: دو نامعادله را حل می‌کنیم.
اکنون مخرج‌ها مثبت‌اند؛ بنابراین با ضرب در آن‌ها، جهت نامعادله تغییر نمی‌کند:
$\frac{1}{3a+1}\le\frac{1}{5}\Rightarrow 5\le3a+1\Rightarrow a\ge\frac{4}{3}$.
همچنین:
$\frac{1}{5}<\frac{1}{2a-3}\Rightarrow 2a-3<5\Rightarrow a<4$.

گام چهارم: مقادیر طبیعی مشترک را می‌شماریم.
از ترکیب شرط‌های بالا، $2\le a<4$ به دست می‌آید؛ پس مقادیر مجاز $a=2$ و $a=3$ هستند و تعداد آن‌ها برابر $2$ است. دقت کنید که $a=4$ به‌دلیل بازبودن کران راست پذیرفته نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: رابطهٔ میانگین با جمله‌های ابتدا و انتها را پیدا می‌کنیم.
در دنبالهٔ حسابی، اختلاف جمله‌های پیاپی ثابت است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۱). بنابراین مجموع جملهٔ اول و آخر، دوم و ماقبل آخر و دیگر جفت‌های هم‌فاصله از دو سر، همگی برابرند. اگر مجموع را $S_n$ و تعداد جمله‌ها را $n$ بنامیم، با نوشتن مجموع در دو جهت و جمع کردن آن‌ها داریم:
$2S_n=n(a+172)$
پس میانگین جمله‌ها برابر است با:
$\frac{S_n}{n}=\frac{a+172}{2}$
با توجه به میانگین داده‌شده:
$\frac{a+172}{2}=87\Rightarrow a+172=174\Rightarrow a=2$

گام دوم: قدرنسبت را به دست می‌آوریم.
چون جملهٔ دوم برابر $12$ است، داریم:
$d=12-a=12-2=10$

گام سوم: تعداد جمله‌ها را محاسبه می‌کنیم.
رابطهٔ جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی، $t_n=t_1+(n-1)d$ است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۲). با قرار دادن جملهٔ آخر در این رابطه:
$172=2+(n-1)\times10$
$170=10(n-1)\Rightarrow n-1=17\Rightarrow n=18$
دقت کنید که $17$ تعداد فاصله‌هاست، نه تعداد جمله‌ها.

گام چهارم: مجموع برابر حاصل‌ضرب تعداد جمله‌ها در میانگین است:
$S_n=n\times87=18\times87=1566$

پاسخ: گزینهٔ ۳