سوال ۱۳۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

نکتهٔ مهم دربارهٔ صورت سؤال: عبارت «مجاور هم باشند» با پاسخ تأییدشده سازگار نیست. برای رسیدن به گزینهٔ تأییدشده، باید شرط سؤال «هیچ دو نفر از سه نفر موردنظر مجاور هم نباشند» باشد. حل زیر بر اساس همین اصلاح است.

گام اول ـ تشخیص نوع شمارش: جای هفت نفر را ثابت در نظر می‌گیریم و می‌خواهیم سه جایگاهِ مربوط به افرادِ اشتباه‌ایستاده را مشخص کنیم؛ بنابراین ترتیب انتخاب جایگاه‌ها مهم نیست و باید از ترکیب استفاده کنیم. تمایز انتخاب بدون ترتیب و انتخاب با ترتیب در کاردرکلاس کتاب مطرح شده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۶).

گام دوم ـ ایجاد فاصله‌ها: چهار نفرِ دیگر را با علامت دایره نمایش می‌دهیم. اطراف و میان آن‌ها پنج فاصله وجود دارد:
$\_\;\circ\;\_\;\circ\;\_\;\circ\;\_\;\circ\;\_$
برای آنکه هیچ دو نفر از سه فرد موردنظر کنار هم نباشند، در هر فاصله حداکثر یک نفر از آن‌ها قرار می‌گیرد.

گام سوم ـ انتخاب فاصله‌ها: باید سه فاصله از پنج فاصله را انتخاب کنیم. هر انتخاب، دقیقاً یک الگوی مجاز برای جایگاه‌های سه فرد موردنظر می‌سازد؛ پس:
$\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$.

توجه: اگر عبارت فعلیِ «مجاور هم باشند» را به معنای اشغال سه جایگاهِ پشت‌سرهم بگیریم، ابتدای این سه جایگاه فقط پنج حالت دارد و پاسخِ شمارش جایگاه‌ها $5$ می‌شود؛ بنابراین اصلاح شرط برای پذیرش پاسخ تأییدشده ضروری است.

پاسخ: گزینهٔ ۴