سوال ۳۷ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: شرطِ دو عضوِ ابتدا و انتها را مشخص می‌کنیم.

کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عضو زیرمجموعه را به‌ترتیب $a$ و $b$ می‌نامیم. برای آنکه $ab$ مضرب $10$ باشد، باید هم عامل $2$ و هم عامل $5$ داشته باشد. تنها اعضای بخش‌پذیر بر $5$ در مجموعه، $15$ و $25$ هستند که هر دو فردند؛ بنابراین یکی از دو سر باید $15$ یا $25$ و سرِ دیگر باید زوج باشد.

زیرمجموعهٔ تهی کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عضو ندارد. زیرمجموعه‌های تک‌عضوی نیز مناسب نیستند؛ زیرا در این حالت حاصل‌ضرب برابر مربع همان عضو است و هیچ‌یک از اعضای مجموعه مضرب $10$ نیست.

گام دوم: روش شمارش با دو سرِ ثابت را به دست می‌آوریم.

اگر $a<b$ ثابت باشند، خودِ $a$ و $b$ حتماً انتخاب می‌شوند، اعضای بیرون بازهٔ آن‌ها نباید انتخاب شوند و هر عضوِ میان آن‌ها می‌تواند انتخاب شود یا نشود. پس اگر تعداد اعضای بین آن‌ها $k$ باشد، طبق اصل ضرب تعداد زیرمجموعه‌ها برابر $2^k$ است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۴). همچنین چون زیرمجموعه می‌شماریم، ترتیب اعضا حالت تازه‌ای ایجاد نمی‌کند (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۳).

گام سوم: همهٔ زوج‌های مجاز را می‌شماریم.

با قرارگرفتن $15$ در یکی از دو سر، حالت‌ها چنین‌اند:

• دو سرِ $12$ و $15$: فقط عضو $13$ بین آن‌هاست؛ پس $2^1=2$ حالت داریم.
• دو سرِ $15$ و $18$: عضوی بین آن‌ها نیست؛ پس $2^0=1$ حالت داریم.
• دو سرِ $15$ و $24$: اعضای $18$ و $23$ بین آن‌ها هستند؛ پس $2^2=4$ حالت داریم.
• دو سرِ $15$ و $26$: اعضای $18$، $23$، $24$ و $25$ بین آن‌ها هستند؛ پس $2^4=16$ حالت داریم.

بنابراین تعداد این دسته برابر است با $2+1+4+16=23$.

با قرارگرفتن $25$ در یکی از دو سر نیز داریم:

• دو سرِ $12$ و $25$: پنج عضوِ $13$، $15$، $18$، $23$ و $24$ بین آن‌ها هستند؛ پس $2^5=32$ حالت داریم.
• دو سرِ $18$ و $25$: اعضای $23$ و $24$ بین آن‌ها هستند؛ پس $2^2=4$ حالت داریم.
• دو سرِ $24$ و $25$: عضوی بین آن‌ها نیست؛ پس $2^0=1$ حالت داریم.
• دو سرِ $25$ و $26$: عضوی بین آن‌ها نیست؛ پس $2^0=1$ حالت داریم.

بنابراین تعداد این دسته برابر است با $32+4+1+1=38$.

هر زیرمجموعه فقط یک کوچک‌ترین و یک بزرگ‌ترین عضو دارد؛ پس دسته‌های بالا هم‌پوشانی ندارند. با استفاده از اصل جمع (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۴)، تعداد کل برابر است با:

$23+38=61$

پاسخ: گزینهٔ ۳