دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم · ریاضی

سوال ۱۲ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲ دفترچهٔ اختصاصی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲ · ریاضی

کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم · سوال ۱۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

اگر 3sin⁡2x+acos⁡2x=43\sin^2 x + a\cos^2 x = 4 باشد، cot⁡2x\cot^2 x با کدام مورد برابر است؟

  1. گزینهٔ ۱: 1a−4\frac{1}{a-4}
  2. گزینهٔ ۲: 14−a\frac{1}{4-a}
  3. گزینهٔ ۳: 1a−3\frac{1}{a-3}
  4. گزینهٔ ۴: 13−a\frac{1}{3-a}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: همهٔ عبارت‌ها را برحسب مربع کسینوس می‌نویسیم. طبق اتحاد اصلی مثلثاتی داریم sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1؛ پس sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x=1-\cos^2 x (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳).

با جای‌گذاری در رابطهٔ سؤال:
3(1−cos⁡2x)+acos⁡2x=43(1-\cos^2 x)+a\cos^2 x=4

بنابراین:
3+(a−3)cos⁡2x=4⇒(a−3)cos⁡2x=13+(a-3)\cos^2 x=4\quad\Rightarrow\quad(a-3)\cos^2 x=1

پس:
cos⁡2x=1a−3\cos^2 x=\frac{1}{a-3}

گام دوم: مربع سینوس را محاسبه می‌کنیم:
sin⁡2x=1−1a−3=a−4a−3\sin^2 x=1-\frac{1}{a-3}=\frac{a-4}{a-3}

گام سوم: طبق رابطهٔ cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}، مربع کتانژانت برابر نسبت مربع کسینوس به مربع سینوس است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۱–۳۲). در نتیجه:
cot⁡2x=cos⁡2xsin⁡2x=1a−3a−4a−3=1a−4\cot^2 x=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{\frac{1}{a-3}}{\frac{a-4}{a-3}}=\frac{1}{a-4}

نکتهٔ دامنه: چون سؤال مقدار کتانژانت را می‌خواهد، باید sin⁡x≠0\sin x\ne0 باشد. اگر a=4a=4 باشد، رابطهٔ سؤال به sin⁡2x=0\sin^2 x=0 می‌انجامد و کتانژانت تعریف نمی‌شود؛ بنابراین این حالت در پاسخ تعریف‌شدهٔ سؤال منظور نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۲: این گزینه ممکن است از جابه‌جا نوشتن ترتیب تفریق در مخرج به دست آید؛ اما 4−a=−(a−4)4-a=-(a-4) است و این تغییر، علامت جواب را عوض می‌کند. همچنین در حالت تعریف‌شدهٔ سؤال، a>4a>4 است و این گزینه منفی می‌شود، درحالی‌که مربع کتانژانت نمی‌تواند منفی باشد.
  • گزینهٔ ۳: این عبارت مقدار cos⁡2x\cos^2 x است، نه cot⁡2x\cot^2 x. برای به‌دست‌آوردن مربع کتانژانت، باید مربع کسینوس را بر مربع سینوس تقسیم کرد.
  • گزینهٔ ۴: این گزینه می‌تواند حاصل دو خطا باشد: اشتباه گرفتن مربع کسینوس با مربع کتانژانت و نوشتن 3−a3-a به‌جای a−3a-3. در حالت تعریف‌شدهٔ سؤال، این عبارت نیز منفی است و نمی‌تواند مربع کتانژانت باشد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. اتحاد اصلی مثلثاتی و رابطهٔ کتانژانت با سینوس و کسینوس را به یاد بیاورید (ریاضی ۱، صفحه‌های ۴۲–۴۳).
  2. در معادلهٔ داده‌شده، به‌جای sin⁡2x\sin^2 x عبارت 1−cos⁡2x1-\cos^2 x را قرار دهید و جمله‌های دارای cos⁡2x\cos^2 x را جمع کنید.
  3. پس از ساده‌سازی به (a−3)cos⁡2x=1(a-3)\cos^2 x=1 می‌رسید. مربع کسینوس را پیدا کنید، با استفاده از اتحاد اصلی مربع سینوس را به دست آورید و نسبت این دو را تشکیل دهید.

ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مثلثات» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری