سوال ۸ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

در تابع قطعه‌ای، ضابطهٔ مناسب را باید بر اساس مقدار ورودی انتخاب کنیم، نه بر اساس علامت خودِ $a$؛ این همان روشی است که در معرفی و محاسبهٔ مقدار توابع قطعه‌ای آمده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۱۱–۱۱۳).

گام اول: تغییر متغیر و بررسی مرز
می‌گذاریم $t=|a|$؛ بنابراین $t\geq0$. معادلهٔ مسئله به صورت $f(1-t)=f(2+t)$ درمی‌آید.

اگر $t=0$ باشد، هر دو ورودی در شاخهٔ $x\geq1$ قرار می‌گیرند؛ پس:
$f(1)=1^2-1-7=-7$،
$f(2)=2^2-2-7=-5$.
بنابراین $t=0$ جواب نیست.

گام دوم: انتخاب ضابطه‌ها برای حالت مثبت
اگر $t>0$ باشد، داریم $1-t<1$ و $2+t\geq1$. پس برای ورودی اول از ضابطهٔ خطی و برای ورودی دوم از ضابطهٔ درجه‌دوم استفاده می‌کنیم:
$f(1-t)=2(1-t)-1=1-2t$،
$f(2+t)=(2+t)^2-(2+t)-7=t^2+3t-5$.

گام سوم: حل معادله و کنترل شرط
از برابر بودن دو مقدار داریم:
$1-2t=t^2+3t-5$
$\Longrightarrow t^2+5t-6=0$
$\Longrightarrow(t-1)(t+6)=0$.
پس $t=1$ یا $t=-6$. چون $t=|a|$ نامنفی است، ریشهٔ $t=-6$ حذف می‌شود و فقط $|a|=1$ می‌ماند. نامنفی‌بودن قدرمطلق و تعریف آن در کتاب بیان شده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۱۱–۱۱۲).

گام چهارم: شمارش مقدارهای پارامتر
از $|a|=1$ نتیجه می‌شود $a=1$ یا $a=-1$. برای هر دو مقدار، ورودی‌های تابع برابر $0$ و $3$ هستند و $f(0)=f(3)=-1$؛ پس هر دو معتبرند. بنابراین تعداد مقدارهای $a$ برابر $2$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳