سوال ۶ ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۶ دفترچهٔ اختصاصی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۶ · ریاضی

کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم · سوال ۶ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی نهم · فصل ۶: خط و معادله‌های خطی

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

در شکل زیر، قطر مربع هاشورخورده، کدام است؟

شکل: دستگاه مختصات با محور افقی و محور عمودی. یک خط راست صعودی محور افقی را در نقطه‌ای با طول $3$ قطع می‌کند و محور عمودی را در نقطه‌ای با عرض $-9$ قطع می‌کند. مربع هاشورخورده در ناحیه چهارم (زیر محور افقی، سمت راست محور عمودی) قرار دارد؛ یک رأس آن بر مبدأ، دو ضلع آن روی نیم‌محورهای مثبت $x$ و منفی $y$ و رأس مقابل مبدأ روی خط است.

گزینهٔ ۱: $2/5\sqrt{2}$
گزینهٔ ۲: $3/5\sqrt{2}$
گزینهٔ ۳: $\frac{9}{2\sqrt{2}}$
گزینهٔ ۴: $\frac{9}{\sqrt{2}}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

۱. معادلهٔ خط را پیدا می‌کنیم.
خط از دو نقطهٔ $(3,0)$ و $(0,-9)$ می‌گذرد. با استفاده از رابطهٔ شیب دو نقطه (ریاضی نهم، صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷)، داریم:
$m=\frac{0-(-9)}{3-0}=3$ .
در صورت $y=mx+b$ ، عدد $b$ عرض از مبدأ است (ریاضی نهم، صفحهٔ ۱۰۲–۱۰۳). پس با توجه به $b=-9$ ، معادلهٔ خط چنین است:
$y=3x-9$ .

۲. طول ضلع مربع را به دست می‌آوریم.
طول ضلع مربع را $a>0$ می‌نامیم. چون یک رأس مربع مبدأ است و دو ضلع آن روی نیم‌محورهای مثبت افقی و منفی عمودی قرار دارند، مختصات رأس مقابل مبدأ برابر $(a,-a)$ است.
این رأس روی خط قرار دارد؛ بنابراین مختصاتش در معادلهٔ خط صدق می‌کند. روش جای‌گذاری مختصات نقطه در معادلهٔ خط در ریاضی نهم، صفحهٔ ۹۸–۱۰۰ آمده است:
$-a=3a-9$ .
پس:
$4a=9\quad\Rightarrow\quad a=\frac{9}{4}$ .

۳. قطر مربع را محاسبه می‌کنیم.
قطر مربع، وتر مثلث قائم‌الزاویه‌ای است که هر دو ضلع قائم آن برابر $a$ هستند. بنابراین، طبق قضیهٔ فیثاغورس:
$d^2=a^2+a^2=2a^2\quad\Rightarrow\quad d=a\sqrt{2}$ .
در نتیجه:
$d=\frac{9\sqrt{2}}{4}=\frac{9}{2\sqrt{2}}$ .

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است با تخمین طول ضلع از روی شکل، به این گزینه برسید؛ اما شکل لزوماً با مقیاس دقیق رسم نشده است. طول ضلع باید از شرط قرارگرفتن رأس مقابل مبدأ روی خط به دست آید و در معادلهٔ $4a=9$ صدق کند.
گزینهٔ ۲: خطا در محاسبهٔ شیب یا حل معادلهٔ طول ضلع می‌تواند به انتخاب این گزینه منجر شود. برای بررسی، قطر پیشنهادی را بر $\sqrt{2}$ تقسیم کنید؛ طول ضلع حاصل، شرط $-a=3a-9$ را برقرار نمی‌کند.
گزینهٔ ۴: اگر عرض رأس مقابل مبدأ را به‌اشتباه $a$ بگیرید، از $a=3a-9$ به ضلع $\frac{9}{2}$ و سپس به این گزینه می‌رسید. ولی مربع زیر محور افقی است و عرض آن رأس باید $-a$ باشد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

روش نوشتن معادلهٔ خط با استفاده از شیب و عرض از مبدأ را مرور کنید؛ دو محل برخورد خط با محورهای مختصات داده شده‌اند (ریاضی نهم، صفحهٔ ۱۰۲–۱۰۳).
اگر طول ضلع مربع را $a$ بگیرید، مختصات رأس مقابل مبدأ $(a,-a)$ است؛ چون این رأس در ناحیهٔ چهارم قرار دارد. این مختصات باید در معادلهٔ خط صدق کند.
با جای‌گذاری مختصات رأس در معادلهٔ خط، به $-a=3a-9$ می‌رسید. ابتدا طول ضلع را پیدا کنید و سپس با قضیهٔ فیثاغورس، قطر مربع را به دست آورید.

فصل «خط و معادله‌های خطی» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.