سوالات ریاضی کنکور ریاضی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

۱. معادلهٔ خط را پیدا می‌کنیم.
خط از دو نقطهٔ $(3,0)$ و $(0,-9)$ می‌گذرد. با استفاده از رابطهٔ شیب دو نقطه (ریاضی نهم، صفحهٔ ۱۰۶–۱۰۷)، داریم:
$m=\frac{0-(-9)}{3-0}=3$.
در صورت $y=mx+b$، عدد $b$ عرض از مبدأ است (ریاضی نهم، صفحهٔ ۱۰۲–۱۰۳). پس با توجه به $b=-9$، معادلهٔ خط چنین است:
$y=3x-9$.

۲. طول ضلع مربع را به دست می‌آوریم.
طول ضلع مربع را $a>0$ می‌نامیم. چون یک رأس مربع مبدأ است و دو ضلع آن روی نیم‌محورهای مثبت افقی و منفی عمودی قرار دارند، مختصات رأس مقابل مبدأ برابر $(a,-a)$ است.
این رأس روی خط قرار دارد؛ بنابراین مختصاتش در معادلهٔ خط صدق می‌کند. روش جای‌گذاری مختصات نقطه در معادلهٔ خط در ریاضی نهم، صفحهٔ ۹۸–۱۰۰ آمده است:
$-a=3a-9$.
پس:
$4a=9\quad\Rightarrow\quad a=\frac{9}{4}$.

۳. قطر مربع را محاسبه می‌کنیم.
قطر مربع، وتر مثلث قائم‌الزاویه‌ای است که هر دو ضلع قائم آن برابر $a$ هستند. بنابراین، طبق قضیهٔ فیثاغورس:
$d^2=a^2+a^2=2a^2\quad\Rightarrow\quad d=a\sqrt{2}$.
در نتیجه:
$d=\frac{9\sqrt{2}}{4}=\frac{9}{2\sqrt{2}}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

در تابع قطعه‌ای، ضابطهٔ مناسب را باید بر اساس مقدار ورودی انتخاب کنیم، نه بر اساس علامت خودِ $a$؛ این همان روشی است که در معرفی و محاسبهٔ مقدار توابع قطعه‌ای آمده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۱۱–۱۱۳).

گام اول: تغییر متغیر و بررسی مرز
می‌گذاریم $t=|a|$؛ بنابراین $t\geq0$. معادلهٔ مسئله به صورت $f(1-t)=f(2+t)$ درمی‌آید.

اگر $t=0$ باشد، هر دو ورودی در شاخهٔ $x\geq1$ قرار می‌گیرند؛ پس:
$f(1)=1^2-1-7=-7$،
$f(2)=2^2-2-7=-5$.
بنابراین $t=0$ جواب نیست.

گام دوم: انتخاب ضابطه‌ها برای حالت مثبت
اگر $t>0$ باشد، داریم $1-t<1$ و $2+t\geq1$. پس برای ورودی اول از ضابطهٔ خطی و برای ورودی دوم از ضابطهٔ درجه‌دوم استفاده می‌کنیم:
$f(1-t)=2(1-t)-1=1-2t$،
$f(2+t)=(2+t)^2-(2+t)-7=t^2+3t-5$.

گام سوم: حل معادله و کنترل شرط
از برابر بودن دو مقدار داریم:
$1-2t=t^2+3t-5$
$\Longrightarrow t^2+5t-6=0$
$\Longrightarrow(t-1)(t+6)=0$.
پس $t=1$ یا $t=-6$. چون $t=|a|$ نامنفی است، ریشهٔ $t=-6$ حذف می‌شود و فقط $|a|=1$ می‌ماند. نامنفی‌بودن قدرمطلق و تعریف آن در کتاب بیان شده است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۱۱–۱۱۲).

گام چهارم: شمارش مقدارهای پارامتر
از $|a|=1$ نتیجه می‌شود $a=1$ یا $a=-1$. برای هر دو مقدار، ورودی‌های تابع برابر $0$ و $3$ هستند و $f(0)=f(3)=-1$؛ پس هر دو معتبرند. بنابراین تعداد مقدارهای $a$ برابر $2$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: همهٔ عبارت‌ها را برحسب مربع کسینوس می‌نویسیم. طبق اتحاد اصلی مثلثاتی داریم $\sin^2 x+\cos^2 x=1$؛ پس $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳).

با جای‌گذاری در رابطهٔ سؤال:
$3(1-\cos^2 x)+a\cos^2 x=4$

بنابراین:
$3+(a-3)\cos^2 x=4\quad\Rightarrow\quad(a-3)\cos^2 x=1$

پس:
$\cos^2 x=\frac{1}{a-3}$

گام دوم: مربع سینوس را محاسبه می‌کنیم:
$\sin^2 x=1-\frac{1}{a-3}=\frac{a-4}{a-3}$

گام سوم: طبق رابطهٔ $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$، مربع کتانژانت برابر نسبت مربع کسینوس به مربع سینوس است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۱–۳۲). در نتیجه:
$\cot^2 x=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{\frac{1}{a-3}}{\frac{a-4}{a-3}}=\frac{1}{a-4}$

نکتهٔ دامنه: چون سؤال مقدار کتانژانت را می‌خواهد، باید $\sin x\ne0$ باشد. اگر $a=4$ باشد، رابطهٔ سؤال به $\sin^2 x=0$ می‌انجامد و کتانژانت تعریف نمی‌شود؛ بنابراین این حالت در پاسخ تعریف‌شدهٔ سؤال منظور نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: شرطِ دو عضوِ ابتدا و انتها را مشخص می‌کنیم.

کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عضو زیرمجموعه را به‌ترتیب $a$ و $b$ می‌نامیم. برای آنکه $ab$ مضرب $10$ باشد، باید هم عامل $2$ و هم عامل $5$ داشته باشد. تنها اعضای بخش‌پذیر بر $5$ در مجموعه، $15$ و $25$ هستند که هر دو فردند؛ بنابراین یکی از دو سر باید $15$ یا $25$ و سرِ دیگر باید زوج باشد.

زیرمجموعهٔ تهی کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عضو ندارد. زیرمجموعه‌های تک‌عضوی نیز مناسب نیستند؛ زیرا در این حالت حاصل‌ضرب برابر مربع همان عضو است و هیچ‌یک از اعضای مجموعه مضرب $10$ نیست.

گام دوم: روش شمارش با دو سرِ ثابت را به دست می‌آوریم.

اگر $a<b$ ثابت باشند، خودِ $a$ و $b$ حتماً انتخاب می‌شوند، اعضای بیرون بازهٔ آن‌ها نباید انتخاب شوند و هر عضوِ میان آن‌ها می‌تواند انتخاب شود یا نشود. پس اگر تعداد اعضای بین آن‌ها $k$ باشد، طبق اصل ضرب تعداد زیرمجموعه‌ها برابر $2^k$ است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۴). همچنین چون زیرمجموعه می‌شماریم، ترتیب اعضا حالت تازه‌ای ایجاد نمی‌کند (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۳).

گام سوم: همهٔ زوج‌های مجاز را می‌شماریم.

با قرارگرفتن $15$ در یکی از دو سر، حالت‌ها چنین‌اند:

• دو سرِ $12$ و $15$: فقط عضو $13$ بین آن‌هاست؛ پس $2^1=2$ حالت داریم.
• دو سرِ $15$ و $18$: عضوی بین آن‌ها نیست؛ پس $2^0=1$ حالت داریم.
• دو سرِ $15$ و $24$: اعضای $18$ و $23$ بین آن‌ها هستند؛ پس $2^2=4$ حالت داریم.
• دو سرِ $15$ و $26$: اعضای $18$، $23$، $24$ و $25$ بین آن‌ها هستند؛ پس $2^4=16$ حالت داریم.

بنابراین تعداد این دسته برابر است با $2+1+4+16=23$.

با قرارگرفتن $25$ در یکی از دو سر نیز داریم:

• دو سرِ $12$ و $25$: پنج عضوِ $13$، $15$، $18$، $23$ و $24$ بین آن‌ها هستند؛ پس $2^5=32$ حالت داریم.
• دو سرِ $18$ و $25$: اعضای $23$ و $24$ بین آن‌ها هستند؛ پس $2^2=4$ حالت داریم.
• دو سرِ $24$ و $25$: عضوی بین آن‌ها نیست؛ پس $2^0=1$ حالت داریم.
• دو سرِ $25$ و $26$: عضوی بین آن‌ها نیست؛ پس $2^0=1$ حالت داریم.

بنابراین تعداد این دسته برابر است با $32+4+1+1=38$.

هر زیرمجموعه فقط یک کوچک‌ترین و یک بزرگ‌ترین عضو دارد؛ پس دسته‌های بالا هم‌پوشانی ندارند. با استفاده از اصل جمع (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۴)، تعداد کل برابر است با:

$23+38=61$

پاسخ: گزینهٔ ۳