سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۹ با پاسخ تشریحی

نکتهٔ صورت سؤال: با توجه به گزینه‌ها و پاسخ تأییدشده، منظور از «حاصل تقسیم» در این سؤال، «باقیماندهٔ تقسیم» است؛ خارج‌قسمت با اطلاعات داده‌شده به‌طور یکتا تعیین نمی‌شود.

گام اول ـ استفاده از بخش‌پذیری:
چون $p(x)$ بر $x^2-1$ بخش‌پذیر است، چندجمله‌ای‌ای مانند $h(x)$ وجود دارد که:
$p(x)=(x^2-1)h(x)=(x-1)(x+1)h(x)$
بنابراین با جای‌گذاری ریشه‌های این عامل‌ها داریم:
$p(1)=0,\qquad p(-1)=0$
این نتیجه با ارتباط ریشه و عاملِ چندجمله‌ای در بخش یادآوری و تکمیل کتاب سازگار است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۰–۵۱).

گام دوم ـ به‌کارگیری قضیهٔ باقیمانده:
طبق این قضیه، باقیماندهٔ تقسیم یک چندجمله‌ای بر $x-a$ برابر مقدار آن در $a$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۰–۵۱). پس باقیماندهٔ تقسیم $Q(x)$ بر $x-2$ برابر است با:
$R=Q(2)$

گام سوم ـ جای‌گذاری در تعریف تابع:
$Q(2)=p(2-1)+p(1-2)=p(1)+p(-1)=0+0=0$
پس $Q(x)$ نیز بر $x-2$ بخش‌پذیر است و باقیماندهٔ تقسیم آن صفر است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها را بدون حل معادله به دست می‌آوریم. طبق رابطه‌های کتاب، برای معادلهٔ $ax^2+bx+c=0$ داریم $S=-\frac{b}{a}$ و $P=\frac{c}{a}$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲–۱۳).

در معادلهٔ داده‌شده، $a=3$، $b=2m-1$ و $c=2-m$ است؛ بنابراین:
$S=\frac{1-2m}{3},\qquad P=\frac{2-m}{3}$

چون معکوس حاصل‌ضرب ریشه‌ها مطرح شده است، باید $P\ne0$، یعنی $m\ne2$ باشد. اکنون شرط مسئله را می‌نویسیم:
$S=\frac{1}{P}\Rightarrow \frac{1-2m}{3}=\frac{3}{2-m}$

با ضرب طرفین در مخرج‌ها و ساده‌سازی:
$(1-2m)(2-m)=9$
$2m^2-5m+2=9\Rightarrow 2m^2-5m-7=0$
$(2m-7)(m+1)=0$

پس دو مقدار اولیه به دست می‌آید:
$m=\frac{7}{2}\quad\text{یا}\quad m=-1$

اما باید شرط داشتن دو ریشهٔ حقیقی را نیز بررسی کنیم. علامت ممیز $\Delta=b^2-4ac$، تعداد ریشه‌های حقیقی معادلهٔ درجهٔ دوم را مشخص می‌کند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۶–۱۷).

برای $m=-1$، معادلهٔ اصلی به صورت $3x^2-3x+3=0$ درمی‌آید و داریم:
$\Delta=(-3)^2-4(3)(3)=-27<0$
پس این مقدار پذیرفتنی نیست.

برای $m=\frac{7}{2}$، معادلهٔ اصلی به صورت $3x^2+6x-\frac{3}{2}=0$ درمی‌آید و داریم:
$\Delta=6^2-4(3)\left(-\frac{3}{2}\right)=54>0$
پس معادله دو ریشهٔ حقیقی متمایز دارد. همچنین $S=-2$ و $P=-\frac{1}{2}$ است؛ بنابراین $S=\frac{1}{P}$ نیز برقرار است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا دو طرف معادله را به یک نسبت مثلثاتی تبدیل می‌کنیم. از اتحاد زاویه‌های متمم داریم:
$\cos(x+\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{4}-x)$.
پس معادله به شکل زیر درمی‌آید:
$\sin(2x-\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{4}-x)$.

طبق قاعدهٔ جواب‌های کلی برابری دو سینوس، اگر $\sin A=\sin B$ باشد، دو حالت $A=B+2k\pi$ یا $A=\pi-B+2k\pi$ را بررسی می‌کنیم که در آن $k\in\mathbb{Z}$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۴–۴۵).

حالت اول:
$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}-x+2k\pi$
در نتیجه:
$3x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{6}$.

حالت دوم:
$2x-\frac{\pi}{4}=\pi-(\frac{\pi}{4}-x)+2k\pi$
بنابراین:
$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+x+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=(2k+1)\pi$.
این جواب‌ها همگی مضرب صحیحی از $\pi$ هستند؛ بنابراین با شرط سؤال حذف می‌شوند.

بررسی شرط برای حالت اول: اگر جوابی از این دسته برابر $m\pi$ باشد، با فرض $m\in\mathbb{Z}$ خواهیم داشت:
$\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=m\pi\quad\Rightarrow\quad 4k+1=6m$.
این برابری ممکن نیست؛ چون طرف چپ فرد و طرف راست زوج است. پس تمام جواب‌های حالت اول مجازند و مجموعهٔ جواب نهایی برابر است با:
$x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{6},\qquad k\in\mathbb{Z}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. نماد $[x]$ نشان‌دهندهٔ جزء صحیح، یعنی بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی $x$ است. برای محاسبهٔ حد چپ باید رفتار تابع را در سمت چپِ نقطه بررسی کنیم؛ تمرین‌های نمودار جزء صحیح نیز بر همین تفاوت حد چپ و راست تأکید دارند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۳–۱۳۴).

۲. وقتی $x$ از چپ به $-2$ نزدیک می‌شود، در نزدیکی این نقطه داریم:
$-3<x<-2\quad\Rightarrow\quad [x]=-3.$
پس صورت کسر در تمام این بازه دقیقاً برابر است با:
$[x]+3=-3+3=0.$

۳. در محاسبهٔ حد، خودِ نقطه را در نظر نمی‌گیریم؛ بنابراین $x\ne-2$ و در نتیجه $x+2\ne0$ است. استفاده از برابری عبارت‌ها در همسایگیِ نقطه، بدون نیاز به تعریف‌شدن آن‌ها در خود نقطه، در مثال ساده‌سازی حد نیز به کار رفته است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۲–۱۳۳). پس در بازهٔ موردنظر:
$\frac{[x]+3}{x+2}=\frac{0}{x+2}=0.$

۴. بنابراین تابع در یک همسایگی چپِ نقطه، ثابت و برابر صفر است و داریم:
$\displaystyle\lim_{x\to-2^-}\frac{[x]+3}{x+2}=\lim_{x\to-2^-}0=0.$

توجه کنید که چون حد مخرج صفر است، نمی‌توان قانون تقسیم حدها را مستقیماً به کار برد؛ این قانون به ناصفر بودن حد مخرج نیاز دارد (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۰–۱۳۱). در اینجا ابتدا خودِ عبارت را در سمت چپ ساده کردیم.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: تشخیص نوع شمارش
در دعوت‌کردن، فقط اعضای گروه مهم‌اند و ترتیب انتخاب آن‌ها اهمیتی ندارد؛ بنابراین باید از ترکیب استفاده کنیم. این همان تمایزی است که در کار در کلاس درس ترکیب مطرح شده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۶).

گام دوم: شمارش همهٔ انتخاب‌ها، بدون درنظرگرفتن محدودیت
تعداد راه‌های انتخاب $5$ نفر از $9$ نفر برابر است با:
$\binom{9}{5}=\frac{9!}{5!\,4!}=126$

گام سوم: شمارش انتخاب‌های ممنوع
دو دوست موردنظر را با $A$ و $B$ مشخص می‌کنیم. شرط مسئله یعنی این دو نفر نباید هم‌زمان دعوت شوند؛ اما دعوت‌نکردن هر دو یا دعوت‌کردن فقط یکی از آن‌ها مجاز است.
در هر انتخاب ممنوع، هر دو نفر $A$ و $B$ حضور دارند. پس برای تکمیل گروه پنج‌نفره، باید $3$ نفر دیگر را از $7$ دوست باقی‌مانده انتخاب کنیم:
$\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\,4!}=35$
برای این دو دوست ضریب ترتیبی در نظر نمی‌گیریم، زیرا جابه‌جایی ترتیب انتخاب، گروه جدیدی نمی‌سازد؛ نکته‌ای که در بررسی شمارش تکراری انتخاب اعضای کمیته نیز اهمیت دارد (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۷).

گام چهارم: حذف حالت‌های ممنوع
همهٔ انتخاب‌ها یا مجازند یا شامل هر دو دوست ناسازگار می‌شوند؛ بنابراین:
$N=\binom{9}{5}-\binom{7}{3}=126-35=91$

برای بررسی، می‌توان حالت‌های مجاز را نیز مستقیماً شمرد: اگر هیچ‌کدام از آن دو دعوت نشوند، $\binom{7}{5}=21$ حالت داریم؛ اگر فقط یکی دعوت شود، $2\binom{7}{4}=70$ حالت داریم. مجموع آن‌ها نیز $21+70=91$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. پیشامد مطلوب را مشخص می‌کنیم: همهٔ کتاب‌های فارسی باید کنار هم و همهٔ کتاب‌های انگلیسی نیز کنار هم باشند. پس چیدمان مطلوب از دو دستهٔ یکپارچه تشکیل می‌شود.

۲. تعداد کل حالت‌ها را می‌شماریم. کتاب‌ها را متمایز در نظر می‌گیریم؛ بنابراین تعداد چیدمان‌های $8$ کتاب در قفسه برابر است با:
$n(S)=8!$
چون چیدن کتاب‌ها تصادفی است، این حالت‌ها هم‌شانس‌اند و می‌توانیم از رابطهٔ $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$ استفاده کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۶–۱۴۷).

۳. برای شمارش حالت‌های مطلوب، کتاب‌های هر زبان را یک دسته در نظر می‌گیریم؛ این همان روش دسته‌بندی در مثال کنار هم قرار گرفتن دو حرف است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۹). دو دسته به $2!$ حالت مرتب می‌شوند: فارسی‌ها پیش از انگلیسی‌ها یا برعکس. همچنین کتاب‌های فارسی درون دستهٔ خود $5!$ و کتاب‌های انگلیسی درون دستهٔ خود $3!$ ترتیب دارند. در نتیجه:
$n(A)=2!\times5!\times3!$

۴. احتمال را محاسبه می‌کنیم:
$P(A)=\frac{2!\times5!\times3!}{8!}=\frac{2\times6}{8\times7\times6}=\frac{12}{336}=\frac{1}{28}$

پاسخ: گزینهٔ ۳