سوال ۱۴۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۹ با پاسخ تشریحی

ابتدا دو طرف معادله را به یک نسبت مثلثاتی تبدیل می‌کنیم. از اتحاد زاویه‌های متمم داریم:
$\cos(x+\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{2}-x-\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{4}-x)$.
پس معادله به شکل زیر درمی‌آید:
$\sin(2x-\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{4}-x)$.

طبق قاعدهٔ جواب‌های کلی برابری دو سینوس، اگر $\sin A=\sin B$ باشد، دو حالت $A=B+2k\pi$ یا $A=\pi-B+2k\pi$ را بررسی می‌کنیم که در آن $k\in\mathbb{Z}$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۴–۴۵).

حالت اول:
$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}-x+2k\pi$
در نتیجه:
$3x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{6}$.

حالت دوم:
$2x-\frac{\pi}{4}=\pi-(\frac{\pi}{4}-x)+2k\pi$
بنابراین:
$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+x+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=(2k+1)\pi$.
این جواب‌ها همگی مضرب صحیحی از $\pi$ هستند؛ بنابراین با شرط سؤال حذف می‌شوند.

بررسی شرط برای حالت اول: اگر جوابی از این دسته برابر $m\pi$ باشد، با فرض $m\in\mathbb{Z}$ خواهیم داشت:
$\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=m\pi\quad\Rightarrow\quad 4k+1=6m$.
این برابری ممکن نیست؛ چون طرف چپ فرد و طرف راست زوج است. پس تمام جواب‌های حالت اول مجازند و مجموعهٔ جواب نهایی برابر است با:
$x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{6},\qquad k\in\mathbb{Z}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴