سوال ۱۲۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۹ با پاسخ تشریحی

ابتدا مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها را بدون حل معادله به دست می‌آوریم. طبق رابطه‌های کتاب، برای معادلهٔ $ax^2+bx+c=0$ داریم $S=-\frac{b}{a}$ و $P=\frac{c}{a}$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲–۱۳).

در معادلهٔ داده‌شده، $a=3$، $b=2m-1$ و $c=2-m$ است؛ بنابراین:
$S=\frac{1-2m}{3},\qquad P=\frac{2-m}{3}$

چون معکوس حاصل‌ضرب ریشه‌ها مطرح شده است، باید $P\ne0$، یعنی $m\ne2$ باشد. اکنون شرط مسئله را می‌نویسیم:
$S=\frac{1}{P}\Rightarrow \frac{1-2m}{3}=\frac{3}{2-m}$

با ضرب طرفین در مخرج‌ها و ساده‌سازی:
$(1-2m)(2-m)=9$
$2m^2-5m+2=9\Rightarrow 2m^2-5m-7=0$
$(2m-7)(m+1)=0$

پس دو مقدار اولیه به دست می‌آید:
$m=\frac{7}{2}\quad\text{یا}\quad m=-1$

اما باید شرط داشتن دو ریشهٔ حقیقی را نیز بررسی کنیم. علامت ممیز $\Delta=b^2-4ac$، تعداد ریشه‌های حقیقی معادلهٔ درجهٔ دوم را مشخص می‌کند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۶–۱۷).

برای $m=-1$، معادلهٔ اصلی به صورت $3x^2-3x+3=0$ درمی‌آید و داریم:
$\Delta=(-3)^2-4(3)(3)=-27<0$
پس این مقدار پذیرفتنی نیست.

برای $m=\frac{7}{2}$، معادلهٔ اصلی به صورت $3x^2+6x-\frac{3}{2}=0$ درمی‌آید و داریم:
$\Delta=6^2-4(3)\left(-\frac{3}{2}\right)=54>0$
پس معادله دو ریشهٔ حقیقی متمایز دارد. همچنین $S=-2$ و $P=-\frac{1}{2}$ است؛ بنابراین $S=\frac{1}{P}$ نیز برقرار است.

پاسخ: گزینهٔ ۱