سوال ۱۱۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۸ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۸ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم · سوال ۱۱۸ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۱: هندسۀ تحلیلی و جبر

مجموع جذر معکوس ریشه‌های معادله $1+(m+14)x-36x^2=0$ برابر ۵ است. حاصلضرب ریشه‌های معادله $mx^2+3x+2=0$ کدام است؟

گزینهٔ ۱: $-2$
گزینهٔ ۲: $-3$
گزینهٔ ۳: $2$
گزینهٔ ۴: $3$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

صورت سؤالِ نوشته‌شده با کلید اعلام‌شده سازگار نیست. اگر منظور از «جذر معکوس ریشه‌ها» عبارت $\sqrt{\frac{1}{\alpha}}+\sqrt{\frac{1}{\beta}}$ باشد، شرط مسئله در اعداد حقیقی امکان‌پذیر نیست.

گام اول: بررسی علامت ریشه‌های معادلهٔ اول
طبق رابطهٔ مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها، برای معادلهٔ $ax^2+bx+c=0$ داریم $\alpha\beta=\frac{c}{a}$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲–۱۳). بنابراین در معادلهٔ داده‌شده:
$\alpha\beta=\frac{1}{-36}=-\frac{1}{36}$ .
همچنین $\Delta=(m+14)^2+144>0$ ؛ پس برای هر مقدار حقیقی پارامتر، دو ریشهٔ حقیقی متمایز داریم. چون حاصل‌ضرب آن‌ها منفی است، یکی مثبت و دیگری منفی است؛ این روش تشخیص علامت ریشه‌ها در کتاب نیز آمده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۶–۱۷).

گام دوم: بررسی شرط جذرها
معکوس ریشهٔ منفی نیز منفی است؛ در نتیجه یکی از دو عبارت $\sqrt{\frac{1}{\alpha}}$ و $\sqrt{\frac{1}{\beta}}$ در اعداد حقیقی تعریف نمی‌شود. بنابراین مجموع نوشته‌شده نمی‌تواند برابر $5$ باشد و از این شرط نمی‌توان مقدار معتبری برای $m$ به دست آورد.

گام سوم: بررسی کلید اعلام‌شده
حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ دوم، به شرط $m\ne0$ ، برابر $\frac{2}{m}$ است. پاسخ اعلام‌شدهٔ $-2$ مستلزم $\frac{2}{m}=-2\Rightarrow m=-1$ است؛ اما این مقدار نیز مشکل تعریف جذرها را برطرف نمی‌کند. پس برای ارائهٔ حل معتبر، لازم است عبارت «مجموع جذر معکوس ریشه‌ها» با تصویر اصلی سؤال تطبیق داده شود.

نتیجهٔ زیر صرفاً نقل کلید اعلام‌شده است و از صورت فعلی سؤال به دست نمی‌آید.
پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۲: این انتخاب مستلزم $m=-\frac{2}{3}$ است؛ ممکن است از خطای محاسباتی در تعیین پارامتر حاصل شود. اما برای این مقدار نیز یکی از ریشه‌های معادلهٔ اول منفی است و جذر معکوس آن در اعداد حقیقی تعریف نمی‌شود.
گزینهٔ ۳: ممکن است با نادیده‌گرفتن علامت در رابطهٔ حاصل‌ضرب ریشه‌ها انتخاب شود. رابطهٔ درست $P=\frac{2}{m}$ است؛ بااین‌حال، اشکال اصلی صورت سؤال، تعریف‌نشدن یکی از جذرهاست.
گزینهٔ ۴: ممکن است از اشتباه‌گرفتن ضریب جملهٔ خطی با جملهٔ ثابت در رابطهٔ حاصل‌ضرب ریشه‌ها حاصل شود؛ صورت کسر باید $2$ باشد، نه $3$ . این گزینه نیز ناسازگاری شرط جذرها را برطرف نمی‌کند.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

پیش از استفاده از شرط جذرها، رابطهٔ حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ درجهٔ دوم و ارتباط آن با علامت ریشه‌ها را مرور کن.
در معادلهٔ اول، ضریب جملهٔ درجهٔ دوم و جملهٔ ثابت مخالف علامت‌اند؛ پس علامت دو ریشه را بررسی کن.
معکوس‌کردن یک عدد، علامت آن را تغییر نمی‌دهد. آیا جذر معکوس هر دو ریشه در مجموعهٔ اعداد حقیقی تعریف می‌شود؟

فصل «هندسۀ تحلیلی و جبر» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.