سوال ۱۲۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

برای تشکیل معادلهٔ جدید، کافی است مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های خواسته‌شده را به دست آوریم.

گام اول: مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های اولیه

معادلهٔ داده‌شده را به شکل استاندارد می‌نویسیم:
$x=5-x^2\Rightarrow x^2+x-5=0$.

طبق رابطه‌های مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ درجهٔ دوم، برای معادلهٔ $ax^2+bx+c=0$ داریم $S=-\frac{b}{a}$ و $P=\frac{c}{a}$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲–۱۳). بنابراین:
$x_1+x_2=-1,\qquad x_1x_2=-5$.

گام دوم: مجموع و حاصل‌ضرب معکوس‌های ریشه‌های انتقال‌یافته

قرار می‌دهیم:
$u=\frac{1}{x_1+1},\qquad v=\frac{1}{x_2+1}$.

ابتدا حاصل‌ضرب مخرج‌ها را محاسبه می‌کنیم:
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=-5-1+1=-5$.

این حاصل‌ضرب ناصفر است؛ پس هر دو کسر تعریف شده‌اند. اکنون:
$u+v=\frac{x_1+x_2+2}{(x_1+1)(x_2+1)}=\frac{-1+2}{-5}=-\frac{1}{5}$،
$uv=\frac{1}{(x_1+1)(x_2+1)}=-\frac{1}{5}$.

گام سوم: مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های مطلوب

ریشه‌های مطلوب $u^3$ و $v^3$ هستند. با استفاده از اتحاد مجموع مکعب‌ها داریم:
$S=u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$،
$S=\left(-\frac{1}{5}\right)^3-3\left(-\frac{1}{5}\right)\left(-\frac{1}{5}\right)=-\frac{1}{125}-\frac{3}{25}=-\frac{16}{125}$.

حاصل‌ضرب آن‌ها نیز برابر است با:
$P=u^3v^3=(uv)^3=\left(-\frac{1}{5}\right)^3=-\frac{1}{125}$.

گام چهارم: تشکیل معادله

معادله‌ای که مجموع ریشه‌هایش $S$ و حاصل‌ضرب آن‌ها $P$ باشد، به صورت $x^2-Sx+P=0$ نوشته می‌شود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲–۱۳). پس:
$x^2+\frac{16}{125}x-\frac{1}{125}=0$.

با ضرب طرفین در $125$ و جابه‌جایی جملهٔ ثابت:
$125x^2+16x-1=0\Rightarrow125x^2+16x=1$.

پاسخ: گزینهٔ ۱