سوال ۱۲۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

گام اول ــ جای‌گذاری ورودی:
با قرار دادن $x=\frac{\pi}{36}$، زاویه‌های چهار عامل به‌ترتیب برابرند با:
$3x=\frac{\pi}{12}$، $6x=\frac{\pi}{6}$، $12x=\frac{\pi}{3}$ و $24x=\frac{2\pi}{3}$.
پس:
$f\left(\frac{\pi}{36}\right)=16\cos^2\frac{\pi}{12}\cos^2\frac{\pi}{6}\cos^2\frac{\pi}{3}\cos^2\frac{2\pi}{3}$.

گام دوم ــ محاسبهٔ عوامل مربوط به زاویه‌های معروف:
مقادیر کسینوس این زاویه‌ها در فعالیت رسم تابع کسینوس بررسی شده‌اند (ریاضی ۲، صفحات ۹۱–۹۲):
$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$، $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$ و $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12$.
همچنین، منفی‌بودن مقدار آخر از رابطهٔ $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$ به دست می‌آید (ریاضی ۲، صفحات ۸۳–۸۴). بنابراین:
$f\left(\frac{\pi}{36}\right)=16\cos^2\frac{\pi}{12}\times\frac34\times\frac14\times\frac14=\frac34\cos^2\frac{\pi}{12}$.

گام سوم ــ محاسبهٔ مربع کسینوسِ زاویهٔ باقی‌مانده:
از رابطهٔ زاویهٔ دوبرابر، $\cos 2t=2\cos^2t-1$، داریم:
$\cos^2t=\frac{1+\cos 2t}{2}$.
در نتیجه:
$\cos^2\frac{\pi}{12}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{6}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt3}{4}$.

گام چهارم ــ محاسبهٔ نهایی:
$f\left(\frac{\pi}{36}\right)=\frac34\times\frac{2+\sqrt3}{4}=\frac{6+3\sqrt3}{16}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴