سوال ۱۱۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: حاصل‌ضرب سینوس و کسینوس را پیدا می‌کنیم.
با تعریف تانژانت و کتانژانت و اتحاد اصلی مثلثات، مطابق روابط به‌کاررفته در ریاضی ۲، صفحه‌های ۷۷–۷۸، داریم:
$\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$.
بنابراین:
$\frac{1}{\sin x\cos x}=-3\quad\Rightarrow\quad\sin x\cos x=-\frac{1}{3}$.

گام دوم: مجموع سینوس و کسینوس را به دست می‌آوریم.
از اتحاد مربع مجموع داریم:
$(\sin x+\cos x)^2=\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
برای انتخاب علامت ریشه، شرط زاویه را بررسی می‌کنیم:
$3\pi<4x<4\pi\quad\Rightarrow\quad\frac{3\pi}{4}<x<\pi$.
زاویه در ربع دوم است؛ پس سینوس مثبت و کسینوس منفی است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۷۷–۷۸). همچنین چون زاویه از $\frac{3\pi}{4}$ بزرگ‌تر است، قدرمطلق کسینوس از سینوس بزرگ‌تر است؛ در نتیجه مجموع آن‌ها منفی خواهد بود. پس:
$\sin x+\cos x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

گام سوم: مجموع مکعب‌ها را تجزیه می‌کنیم.
با اتحاد $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ داریم:
$\cos^3x+\sin^3x=(\cos x+\sin x)(\cos^2x-\sin x\cos x+\sin^2x)$.
در نتیجه:
$\cos^3x+\sin^3x=(\cos x+\sin x)(1-\sin x\cos x)=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)=-\frac{4}{3\sqrt{3}}$.
اکنون معکوس می‌گیریم:
$\frac{1}{\cos^3x+\sin^3x}=-\frac{3\sqrt{3}}{4}=-0.75\sqrt{3}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳