دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم · ریاضی

سوال ۱۱۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۸ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۸ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم · سوال ۱۱۸ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۵: توابع نمایی و لگاریتمی

اگر log⁡2≃0/3\log 2\simeq 0/3 و log⁡3≃0/4\log 3\simeq 0/4 باشد، اختلاف ریشه‌های معادله x2(log⁡30)+2x(log⁡6)−log⁡56=0x^2(\log 30)+2x(\log 6)-\log\frac{5}{6}=0 چقدر است؟

  1. گزینهٔ ۱: 0/70/7
  2. گزینهٔ ۲: 0/50/5
  3. گزینهٔ ۳: 1/41/4
  4. گزینهٔ ۴: ۱
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: ضرایب معادله را با ویژگی‌های لگاریتم محاسبه می‌کنیم. طبق قواعد لگاریتم حاصل‌ضرب و خارج‌قسمت، لگاریتم حاصل‌ضرب برابر مجموع لگاریتم‌ها و لگاریتم خارج‌قسمت برابر تفاضل آن‌هاست (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱۱). با استفاده از تقریب‌های داده‌شده در خود سؤال داریم:
log⁡30=log⁡(3×10)=log⁡3+1≃0.4+1=1.4\log 30=\log(3\times 10)=\log 3+1\simeq 0.4+1=1.4
log⁡6=log⁡2+log⁡3≃0.3+0.4=0.7\log 6=\log 2+\log 3\simeq 0.3+0.4=0.7
همچنین:
log⁡5=log⁡102=1−log⁡2≃1−0.3=0.7\log 5=\log\frac{10}{2}=1-\log 2\simeq 1-0.3=0.7
بنابراین:
log⁡56=log⁡5−log⁡6≃0.7−0.7=0\log\frac{5}{6}=\log 5-\log 6\simeq 0.7-0.7=0

گام دوم: با جای‌گذاری این تقریب‌ها، معادله به شکل زیر درمی‌آید:
1.4x2+2(0.7)x−0=01.4x^2+2(0.7)x-0=0
پس:
1.4x2+1.4x=0⇒1.4x(x+1)=01.4x^2+1.4x=0\quad\Rightarrow\quad 1.4x(x+1)=0
در نتیجه دو ریشه عبارت‌اند از:
x1=0,x2=−1x_1=0,\qquad x_2=-1

گام سوم: منظور از اختلاف ریشه‌ها، ریشهٔ بزرگ‌تر منهای ریشهٔ کوچک‌تر است؛ بنابراین:
∣x1−x2∣=∣0−(−1)∣=1|x_1-x_2|=|0-(-1)|=1

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است مقدار log⁡6≃0.7\log 6\simeq 0.7 را به‌جای اختلاف ریشه‌ها انتخاب کنید؛ اما این عدد فقط بخشی از ضریب جملهٔ خطی است و باید معادله را حل کرد.
  • گزینهٔ ۲: اگر ضریب 22 در جملهٔ 2xlog⁡62x\log 6 را جا بیندازید، برای ریشهٔ غیرصفر به −0.5-0.5 می‌رسید. این نتیجه مربوط به معادله‌ای با ضریب خطی نادرست است.
  • گزینهٔ ۳: ممکن است پس از صفر شدن جملهٔ ثابت، ضریب خطی یعنی 1.41.4 را اختلاف ریشه‌ها بگیرید؛ درحالی‌که برای یافتن ریشهٔ غیرصفر باید قرینهٔ ضریب خطی را بر ضریب x2x^2 تقسیم کرد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. ویژگی‌های لگاریتم حاصل‌ضرب و خارج‌قسمت را از صفحهٔ ۱۱۱ ریاضی ۲ به یاد بیاورید؛ با آن‌ها می‌توان همهٔ ضرایب معادله را از داده‌های سؤال به دست آورد.
  2. ابتدا از رابطهٔ log⁡5=1−log⁡2\log 5=1-\log 2 استفاده کنید؛ سپس مقدار تقریبی آن را با log⁡6=log⁡2+log⁡3\log 6=\log 2+\log 3 مقایسه کنید تا وضعیت جملهٔ ثابت مشخص شود.
  3. پس از جای‌گذاری تقریب‌ها، جملهٔ ثابت حذف می‌شود. از xx عامل مشترک بگیرید، ریشهٔ عامل خطی را پیدا کنید و فاصلهٔ دو ریشه را به دست آورید.

ریاضی ۲ · فصل ۵: توابع نمایی و لگاریتمی

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «توابع نمایی و لگاریتمی» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری