کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول · ریاضی

سوال ۱۱۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۸ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۸ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول · سوال ۱۱۸ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۵: توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه $f(x)=\sqrt{\frac{x}{\log_{\frac{1}{2}}x}}$ ، شامل چند عدد صحیح است؟

گزینهٔ ۱: صفر
گزینهٔ ۲: $1$
گزینهٔ ۳: $2$
گزینهٔ ۴: $3$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

برای تعیین دامنه، باید تمام اجزای عبارت هم‌زمان تعریف شده باشند.

گام اول: شرط تعریف لگاریتم
طبق تعریف لگاریتم، آرگومان آن باید مثبت باشد (ریاضی ۲، صفحات ۱۰۹–۱۱۱). بنابراین:
$x>0$

گام دوم: شرط مخرج
مخرج کسر نباید صفر شود:
$\log_{\frac12}x\ne0$
از آنجا که $(\frac12)^0=1$ ، داریم:
$x\ne1$

گام سوم: شرط رادیکال
عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد:
$\frac{x}{\log_{\frac12}x}\ge0$
چون از گام اول $x>0$ است، صورت کسر همواره مثبت است؛ بنابراین کسر فقط هنگامی نامنفی می‌شود که مخرج مثبت باشد:
$\log_{\frac12}x>0$

برای تعیین علامت، قرار می‌دهیم $y=\log_{\frac12}x$ . طبق رابطهٔ لگاریتم و توان داریم $x=(\frac12)^y$ (ریاضی ۲، صفحات ۱۰۹–۱۱۱). چون مبنا بین $0$ و $1$ است، توان مثبت آن نیز بین $0$ و $1$ قرار می‌گیرد؛ پس:
$\log_{\frac12}x>0\iff0<x<1$

در نتیجه دامنهٔ تابع برابر است با:
$D_f=(0,1)$
بین دو عدد صحیح متوالی $0$ و $1$ هیچ عدد صحیحی وجود ندارد؛ پس دامنه شامل هیچ عدد صحیحی نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۲: ممکن است با شمردن $x=1$ به این گزینه برسید؛ اما در این نقطه، $\log_{\frac12}1=0$ است و مخرج کسر صفر می‌شود، پس تابع تعریف نشده است.
گزینهٔ ۳: اگر دو سر بازه را مجاز بدانید، ممکن است اعداد $0$ و $1$ را بشمارید. ولی لگاریتمِ $0$ تعریف نمی‌شود و در $x=1$ نیز مخرج صفر است.
گزینهٔ ۴: ممکن است با تعیین نادرست بازه به‌صورت $[-1,1]$ ، سه عدد صحیح بشمارید. درحالی‌که آرگومان لگاریتم باید مثبت باشد و عدد $1$ نیز مخرج را صفر می‌کند؛ بنابراین هیچ‌یک از این سه عدد مجاز نیست.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

برای تعیین دامنه، سه شرط را هم‌زمان بررسی کنید: تعریف‌پذیری لگاریتم، صفر نبودن مخرج و نامنفی بودن عبارت زیر رادیکال.
شرط لگاریتم، صورت کسر را مثبت می‌کند؛ پس برای نامنفی بودن کسر، مخرج باید مثبت باشد. به علامت لگاریتم با مبنای بین $0$ و $1$ توجه کنید.
با استفاده از $y=\log_{\frac12}x\iff x=(\frac12)^y$ مشخص کنید مثبت بودن لگاریتم چه محدودیتی برای $x$ می‌سازد؛ سپس اعداد صحیح داخل بازه را، بدون شمردن دو سر آن، بررسی کنید.

ریاضی ۲ · فصل ۵: توابع نمایی و لگاریتمی

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «توابع نمایی و لگاریتمی» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگان تمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول

تمرین رایگان

تمرین در پنل یادگیری