سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

۱. استفاده از شرط یکنوایی
برای هر دو عدد $x_1<x_2$، صعودی بودن تابع می‌دهد $f(x_1)\leq f(x_2)$ و نزولی بودن آن می‌دهد $f(x_1)\geq f(x_2)$. بنابراین $f(x_1)=f(x_2)$ و تابع ثابت است؛ این نتیجه بر پایهٔ مفهوم صعودی و نزولی بودن است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۹–۱۰).

در تابع چندجمله‌ایِ ثابت، جمله‌های وابسته به متغیر حذف می‌شوند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲). پس در ضابطهٔ داده‌شده داریم:
$m=0,\qquad n=0,\qquad f(x)=-k$.

۲. اعمال شرط تابع بودن مجموعه
با جای‌گذاری $m=n=0$، مجموعه به صورت زیر درمی‌آید:
$\{(0,-1),(0,k),(-1,-1),(3k+2,2k+1)\}$.
در یک تابع، هر ورودی فقط یک خروجی دارد. دو زوج نخست ورودی یکسانِ صفر دارند؛ پس خروجی‌هایشان باید برابر باشند:
$k=-1$.

۳. بررسی زوج مرتب آخر
برای اطمینان از تابع بودن کل مجموعه، مقدار به‌دست‌آمده را در زوج آخر قرار می‌دهیم:
$(3k+2,2k+1)=(3(-1)+2,2(-1)+1)=(-1,-1)$.
این زوج با زوج سوم یکسان است؛ تکرار یک زوج مرتب، شرط تابع بودن را نقض نمی‌کند. بنابراین مجموعهٔ نهایی $\{(0,-1),(-1,-1)\}$ یک تابع است.

۴. محاسبهٔ مقدار خواسته‌شده
توجه کنید که مجموعهٔ زوج‌های مرتب، لزوماً نمایش همان تابع $f$ نیست؛ از تابع بودن آن فقط برای تعیین پارامتر استفاده کردیم. اکنون چون $f(x)=-k$، داریم:
$f(\sqrt{5})=-(-1)=1$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ اولیه را به دست می‌آوریم. طبق روابط مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌های معادلهٔ درجهٔ دوم (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲–۱۳)، برای معادلهٔ $ax^2-8x+4=0$ داریم:
$S=\alpha+\beta=-\frac{-8}{a}=\frac{8}{a}$
$P=\alpha\beta=\frac{4}{a}$

اکنون مجموع ریشه‌های جدید را با فاکتورگیری می‌نویسیم:
$S'=\alpha\beta^2+\alpha^2\beta=\alpha\beta(\alpha+\beta)=PS$.
حاصل‌ضرب آن‌ها نیز برابر است با:
$P'=(\alpha\beta^2)(\alpha^2\beta)=\alpha^3\beta^3=P^3$.

طبق شرط سؤال، این دو مقدار برابرند؛ بنابراین:
$PS=P^3$.
چون $a>0$، داریم $P=\frac{4}{a}\ne0$ و می‌توانیم دو طرف را بر $P$ تقسیم کنیم:
$S=P^2\Rightarrow\frac{8}{a}=\frac{16}{a^2}$.
با ضرب دو طرف در $a^2$:
$8a=16\Rightarrow a=2$.

در پایان، از تعریف لگاریتم استفاده می‌کنیم. چون $(\sqrt{2})^2=2$، نتیجه می‌شود:
$\log_{\sqrt{2}}a=\log_{\sqrt{2}}2=2$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای تعیین تعداد ریشه‌ها، ابتدا دامنه را پیدا می‌کنیم و سپس مقدارهای مجاز را در معادلهٔ اصلی می‌آزماییم. طبق کتاب، حتی مقدارهای درون دامنه نیز تنها هنگامی پذیرفته می‌شوند که در معادلهٔ اصلی صدق کنند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۲۲–۲۳).

گام اول: تعیین دامنه
برای حقیقی‌بودن رادیکال‌های $\sqrt{x-2}$ و $\sqrt{2-x}$ باید هم‌زمان داشته باشیم:
$\begin{cases}x-2\geq 0\\2-x\geq 0\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}x\geq 2\\x\leq 2\end{cases}$
پس تنها مقدار ممکن، $x=2$ است. این مقدار شرط تعریف دو رادیکال دیگر را نیز برقرار می‌کند، زیرا:
$2x-3=1\geq 0,\qquad x+\sqrt{x-2}=2\geq 0.$
بنابراین دامنهٔ معادله فقط شامل $x=2$ است.

گام دوم: بررسی تنها نامزد در معادلهٔ اصلی
با جای‌گذاری $x=2$، طرف چپ برابر است با:
$\sqrt{2(2)-3}=1.$
طرف راست نیز برابر است با:
$\sqrt{2+\sqrt{2-2}}-\sqrt{2-2}=\sqrt{2}.$
چون $1\neq\sqrt{2}$، تنها مقدار مجازِ دامنه نیز جواب معادله نیست. پس معادله هیچ ریشهٔ حقیقی ندارد.

پاسخ: گزینهٔ ۴

طبق روش کتاب، برای یافتن وارون باید در رابطهٔ $y=f(x)$، متغیر $x$ را برحسب $y$ به دست آوریم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲۵–۲۷).

گام اول: بازنویسی تابع و توجه به دامنه
داریم:
$f(x)=1+x-2\sqrt{x}=(\sqrt{x}-1)^2$.
چون $x\geq1$، پس $\sqrt{x}-1\geq0$. بنابراین هنگام ریشه‌گیری باید شاخهٔ نامنفی را انتخاب کنیم؛ توجه به محدودیت دامنه در تعیین شاخهٔ وارون ضروری است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲۷–۲۸).

گام دوم: به‌دست‌آوردن ضابطهٔ وارون
می‌نویسیم:
$y=(\sqrt{x}-1)^2$.
با توجه به نامنفی‌بودنِ $\sqrt{x}-1$:
$\sqrt{y}=\sqrt{x}-1\ \Rightarrow\ \sqrt{x}=1+\sqrt{y}\ \Rightarrow\ x=(1+\sqrt{y})^2$.
برد تابع $f$ برابر $[0,+\infty)$ است؛ بنابراین ضابطه و دامنهٔ وارون آن عبارت‌اند از:
$g(x)=(1+\sqrt{x})^2,\qquad x\geq0$.

گام سوم: محاسبهٔ ترکیب
در ترکیب $g\circ g$ ابتدا تابع داخلی و سپس تابع بیرونی را اعمال می‌کنیم:
$g(1)=(1+\sqrt{1})^2=4$.
پس:
$(g\circ g)(1)=g(g(1))=g(4)=(1+\sqrt{4})^2=9$.
توجه کنید که وارون‌بودنِ $f$ و $g$ باعث همانی‌شدنِ $f\circ g$ و $g\circ f$ می‌شود، نه $g\circ g$ (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲۴–۲۵).

پاسخ: گزینهٔ ۳

برای تعیین دامنه، باید تمام اجزای عبارت هم‌زمان تعریف شده باشند.

گام اول: شرط تعریف لگاریتم
طبق تعریف لگاریتم، آرگومان آن باید مثبت باشد (ریاضی ۲، صفحات ۱۰۹–۱۱۱). بنابراین:
$x>0$

گام دوم: شرط مخرج
مخرج کسر نباید صفر شود:
$\log_{\frac12}x\ne0$
از آنجا که $(\frac12)^0=1$، داریم:
$x\ne1$

گام سوم: شرط رادیکال
عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد:
$\frac{x}{\log_{\frac12}x}\ge0$
چون از گام اول $x>0$ است، صورت کسر همواره مثبت است؛ بنابراین کسر فقط هنگامی نامنفی می‌شود که مخرج مثبت باشد:
$\log_{\frac12}x>0$

برای تعیین علامت، قرار می‌دهیم $y=\log_{\frac12}x$. طبق رابطهٔ لگاریتم و توان داریم $x=(\frac12)^y$ (ریاضی ۲، صفحات ۱۰۹–۱۱۱). چون مبنا بین $0$ و $1$ است، توان مثبت آن نیز بین $0$ و $1$ قرار می‌گیرد؛ پس:
$\log_{\frac12}x>0\iff0<x<1$

در نتیجه دامنهٔ تابع برابر است با:
$D_f=(0,1)$
بین دو عدد صحیح متوالی $0$ و $1$ هیچ عدد صحیحی وجود ندارد؛ پس دامنه شامل هیچ عدد صحیحی نیست.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: شیب لازم را مشخص می‌کنیم.
طبق رابطهٔ شیب خط و زاویهٔ آن با جهت مثبت محور افقی، شیب برابر تانژانت آن زاویه است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۰). همچنین $\tan60^\circ=\sqrt{3}$ است (ریاضی ۱، صفحات ۳۲–۳۳). پس شیب خط باید $\sqrt{3}$ باشد.

گام دوم: شیب خط داده‌شده را پیدا می‌کنیم.
اگر $m=\pm1$ باشد، ضریب $y$ صفر و خط قائم می‌شود؛ بنابراین این دو مقدار نمی‌توانند مطلوب باشند. برای $m\ne\pm1$ داریم:
$y=-\frac{2m}{m^2-1}x+\frac{3}{m^2-1}$
پس:
$-\frac{2m}{m^2-1}=\sqrt{3}$
با ضرب طرفین در مخرج و مرتب‌کردن جمله‌ها:
$\sqrt{3}m^2+2m-\sqrt{3}=0$
با ضرب در $\sqrt{3}$، معادله به صورت زیر درمی‌آید:
$3m^2+2\sqrt{3}m-3=0$

گام سوم: دو مقدار پارامتر را به دست می‌آوریم.
$\Delta=(2\sqrt{3})^2-4(3)(-3)=12+36=48$
بنابراین:
$m=\frac{-2\sqrt{3}\pm4\sqrt{3}}{6}$
دو ریشه عبارت‌اند از:
$m_1=\frac{\sqrt{3}}{3},\qquad m_2=-\sqrt{3}$
هر دو ریشه با شرط $m\ne\pm1$ سازگارند.

گام چهارم: اختلاف مقدار بزرگ‌تر و کوچک‌تر را حساب می‌کنیم:
$m_1-m_2=\frac{\sqrt{3}}{3}-(-\sqrt{3})=\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{\sqrt{3}}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تعیین دامنه: برای تعریف شدن هر دو کسر باید داشته باشیم:
$\cos x\ne0,\qquad 1+\sin x\ne0$.

۲. ساده‌سازی معادله: با رعایت شرط‌های دامنه، طرفین را در حاصل‌ضرب مخرج‌ها ضرب می‌کنیم:
$\cos^2x=(1+\sin x)^2$.
با استفاده از اتحاد $\cos^2x=1-\sin^2x$ داریم:
$1-\sin^2x=1+2\sin x+\sin^2x$
$\Rightarrow 2\sin^2x+2\sin x=0$
$\Rightarrow 2\sin x(\sin x+1)=0$.
پس دو حالت به دست می‌آید:
$\sin x=0\quad\text{یا}\quad\sin x=-1$.

۳. بررسی جواب‌ها در دامنه: اگر $\sin x=-1$ باشد، مخرج $1+\sin x$ صفر می‌شود؛ بنابراین این حالت پذیرفتنی نیست. برای حالت $\sin x=0$، مطابق جواب‌های کلی صفرهای سینوس در کتاب، داریم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۳):
$x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$.
همهٔ این زاویه‌ها معتبرند، زیرا در آن‌ها $1+\sin x=1$ و $\cos x=(-1)^k\ne0$ است.

۴. یافتن کمترین فاصله: فاصلهٔ هر دو جواب متمایز برابر است با:
$|k\pi-m\pi|=|k-m|\pi,\qquad k,m\in\mathbb{Z},\quad k\ne m$.
کمترین مقدار مثبت $|k-m|$ برابر $1$ است؛ بنابراین کمترین فاصلهٔ دو جواب، $\pi$ خواهد بود.

پاسخ: گزینهٔ ۲

در این سؤال، منظور از دادهٔ اول $\log_n m=a$ و منظور از دادهٔ دوم $\log_{mn}(m^2n)=b$ است. همچنین $[b]$ جزء صحیحِ $b$، یعنی بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی آن است.

گام اول: تغییر مبنا
طبق قاعدهٔ تغییر مبنای لگاریتم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱۳–۱۱۴)، لگاریتم دوم را به مبنای $n$ می‌نویسیم:
$b=\frac{\log_n(m^2n)}{\log_n(mn)}$.

گام دوم: استفاده از ویژگی‌های لگاریتم
لگاریتم حاصل‌ضرب برابر مجموع لگاریتم‌هاست و توانِ عبارت داخل لگاریتم به‌صورت ضریب بیرون می‌آید (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱۱). بنابراین، با توجه به $\log_n m=a$ و $\log_n n=1$، داریم:
$\log_n(m^2n)=2\log_n m+\log_n n=2a+1$،
$\log_n(mn)=\log_n m+\log_n n=a+1$.
پس:
$b=\frac{2a+1}{a+1}=2-\frac{1}{a+1}$.

گام سوم: تعیین بازه و جزء صحیح
چون $a>0$، داریم $a+1>1$؛ در نتیجه:
$0<\frac{1}{a+1}<1$.
با کم کردن این کسر از $2$ نتیجه می‌شود:
$1<b<2$.
پس بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی $b$ برابر است با:
$[b]=1$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تعیین پارامتر از صفرشدن مخرج

صورت در نقطهٔ $x=\frac{\pi}{3}$ حدی متناهی دارد؛ بنابراین اگر حد مخرج ناصفر باشد، حد کسر نیز متناهی خواهد بود. پس لازم است:

$a\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}=0$

$\frac{a}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=0\quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt3.$

۲. بررسی علامت مخرج از سمت راست

با جای‌گذاری مقدار پارامتر و استفاده از اتحاد تفاضل دو زاویه داریم:

$\sqrt3\cos x-\sin x=2\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right).$

وقتی $x$ از راست به $\frac{\pi}{3}$ نزدیک می‌شود، عبارت $\frac{\pi}{3}-x$ منفی و نزدیک صفر است؛ پس مخرج با مقادیر منفی به صفر میل می‌کند.

۳. تعیین علامت لازم برای صورت

طبق قاعدهٔ حد نامتناهیِ کسر، علامت صورت و علامت مخرج در نزدیکی نقطه، علامت بی‌نهایت را تعیین می‌کنند؛ این قاعده برای حدهای یک‌طرفه نیز برقرار است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۶–۵۷). چون مخرج به صفرِ منفی میل می‌کند، برای داشتن حد $-\infty$ باید حد صورت مثبت باشد:

$\lim_{x\to(\frac{\pi}{3})^+}(\sqrt3x+b)=\frac{\pi}{\sqrt3}+b>0.$

در نتیجه:

$b>-\frac{\pi}{\sqrt3}.$

۴. انتخاب کوچک‌ترین عدد صحیح

چون $1<\frac{\pi}{\sqrt3}<2$، داریم:

$-2<-\frac{\pi}{\sqrt3}<-1.$

پس برای $b$ صحیح، حد صورت نمی‌تواند صفر باشد و کوچک‌ترین عدد صحیحِ بزرگ‌تر از مرز بالا، $b=-1$ است. در این حالت صورت به عددی مثبت و مخرج به صفرِ منفی میل می‌کند؛ بنابراین حد واقعاً $-\infty$ خواهد بود.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا باید بیشترین و کمترین مقدار تابع را روی دامنهٔ آن پیدا کنیم. مطابق روش کتاب، برای تابع پیوسته روی بازهٔ بسته، مقدار تابع را در نقاط بحرانی و دو سر بازه محاسبه و مقایسه می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۱).

گام اول: تعیین دامنه
برای تعریف شدن هر دو رادیکال باید داشته باشیم:
$x\geq0,\qquad a-2x\geq0.$
پس با توجه به $a>0$، دامنه برابر است با:
$D_f=[0,a/2].$
تابع روی این بازه پیوسته است؛ بنابراین بیشینه و کمینهٔ مطلق دارد.

گام دوم: یافتن نقطهٔ بحرانی درون دامنه
برای $0<x<a/2$ داریم:
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}-\frac{1}{\sqrt{a-2x}}.$
بنابراین:
$f'(x)=0\ \Longrightarrow\ \sqrt{a-2x}=2\sqrt x$
$\Longrightarrow\ a-2x=4x\ \Longrightarrow\ x=\frac a6.$
چون $a>0$ است، این نقطه درون دامنه قرار دارد.

گام سوم: مقایسهٔ مقدار تابع در نقاط موردنظر
در دو سر دامنه داریم:
$f(0)=\sqrt a,\qquad f\left(\frac a2\right)=\sqrt{\frac a2}.$
در نقطهٔ بحرانی نیز:
$f\left(\frac a6\right)=\sqrt{\frac a6}+\sqrt{\frac{2a}{3}}=3\sqrt{\frac a6}=\sqrt{\frac{3a}{2}}.$
از آنجا که $a>0$، ترتیب این مقدارها چنین است:
$\sqrt{\frac a2}<\sqrt a<\sqrt{\frac{3a}{2}}.$
پس:
$f_{\min}=\sqrt{\frac a2},\qquad f_{\max}=\sqrt{\frac{3a}{2}}.$

گام چهارم: استفاده از حاصل‌ضرب داده‌شده
طبق صورت سؤال:
$\sqrt{\frac a2}\times\sqrt{\frac{3a}{2}}=\sqrt{12}.$
چون $a>0$، نتیجه می‌شود:
$\frac{a\sqrt3}{2}=2\sqrt3\ \Longrightarrow\ a=4.$
نماد $[a]$ جزء صحیح عدد است؛ بنابراین:
$[a]=[4]=4.$

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: تعیین تعداد اعداد

طبق تعریف احتمال، در فضای نمونه‌ای با حالت‌های هم‌شانس، احتمال هر پیشامد از تقسیم تعداد حالت‌های مطلوب بر تعداد کل حالت‌ها به دست می‌آید (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۶–۱۴۷):
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$.

چون انتخاب‌ها متوالی و بدون جایگذاری‌اند و جایگاه سوم اهمیت دارد، حالت‌ها را به‌صورت سه‌تایی‌های مرتب می‌شماریم. تعداد کل حالت‌ها برابر است با:
$n(S)=n(n-1)(n-2)$.

اگر عدد سوم $10$ باشد، برای عدد اول از میان سایر اعداد $n-1$ انتخاب و برای عدد دوم $n-2$ انتخاب داریم. بنابراین:
$P(\text{عدد سوم برابر با }10)=\frac{(n-1)(n-2)}{n(n-1)(n-2)}=\frac{1}{n}$.

با استفاده از دادهٔ سؤال:
$\frac{1}{n}=\frac{1}{15}\quad\Rightarrow\quad n=15$.

گام دوم: تفسیر شرط «فقط عدد سوم مضرب باشد»

این شرط یعنی عددهای اول و دوم نامضربِ $3$ و عدد سوم مضربِ $3$ باشد. در میان اعداد $1$ تا $15$، مضرب‌های $3$ عبارت‌اند از:
$\{3,6,9,12,15\}$.

پس $5$ عدد مضرب و $10$ عدد نامضربِ $3$ داریم.

گام سوم: شمارش حالت‌های مطلوب و محاسبهٔ احتمال

برای عدد اول، $10$ انتخاب نامضرب داریم. چون جایگذاری نداریم، برای عدد دوم $9$ انتخاب نامضرب باقی می‌ماند. هیچ مضربی انتخاب نشده است؛ بنابراین برای عدد سوم هر $5$ مضرب در دسترس‌اند. در نتیجه:
$n(A)=10\times9\times5$.

تعداد کل سه‌تایی‌های مرتب نیز برابر است با:
$n(S)=15\times14\times13$.

پس:
$P(A)=\frac{10\times9\times5}{15\times14\times13}=\frac{450}{2730}=\frac{15}{91}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: پیشامدها را تعریف می‌کنیم:

$A$: قهرمان شدن کشتی‌گیر، یعنی کسب مدال طلا.

$B$: بردن رقیب اصلی.

داده‌های سؤال عبارت‌اند از:

$P(A)=\frac{1}{3},\qquad P(B)=\frac{1}{5},\qquad P(A|B)=\frac{1}{2}$

دقت کنید که $\frac{1}{2}$ احتمال قهرمانی به شرط بردن رقیب است، نه احتمال وقوع هم‌زمان این دو اتفاق. این برداشت مطابق تعریف احتمال شرطی است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۵).

گام دوم: احتمال وقوع هم‌زمان دو پیشامد را محاسبه می‌کنیم. از رابطهٔ احتمال شرطی داریم:

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

پس:

$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{10}$

گام سوم: منظور از «قهرمان شود یا رقیب اصلی خود را ببرد»، وقوع حداقل یکی از دو پیشامد است؛ بنابراین باید احتمال اجتماع را بیابیم. مطابق روش مثال کتاب، احتمال اشتراک را از مجموع احتمال‌ها کم می‌کنیم تا حالت وقوع هر دو اتفاق، دوبار شمرده نشود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۶):

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}=\frac{10+6-3}{30}=\frac{13}{30}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تشخیص تشابه
چون $E$ روی ضلع $AB$ و $D$ روی ضلع $AC$ قرار دارند، زاویهٔ رأس $A$ در دو مثلث کوچک و بزرگ برابر است:
$\angle EAD=\angle CAB$.
همچنین طبق دادهٔ سؤال، $\angle AED=\angle ACB$ است. پس به کمک حالت دو زاویه، داریم:
$\triangle AED\sim\triangle ACB$
(ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۳–۴۴).

۲. تعیین اضلاع متناظر
از ترتیب زاویه‌های برابر، تناظر رأس‌ها چنین است:
$A\leftrightarrow A,\quad E\leftrightarrow C,\quad D\leftrightarrow B$.
پس $AE$ با $AC$ و $AD$ با $AB$ متناظرند. با توجه به تناسب اضلاع متناظر در مثلث‌های متشابه (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۲–۴۳)، می‌نویسیم:
$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$.

۳. جای‌گذاری طول‌ها
طول کامل ضلع‌ها برابر است با:
$AC=AD+DC=2+13=15$،
$AB=AE+EB=x+1$.
بنابراین:
$\frac{x}{15}=\frac{2}{x+1}$.
با ضرب طرفین و وسطین:
$x(x+1)=30\Rightarrow x^2+x-30=0$.

۴. حل معادله و انتخاب ریشهٔ مجاز
با تجزیه داریم:
$(x-5)(x+6)=0\Rightarrow x=5\ \text{یا}\ x=-6$.
چون $x$ طول پاره‌خط است، باید مثبت باشد؛ در نتیجه $x=5$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

فرض کنیم جمله‌های دنبالهٔ حسابی $a_n$ و قدرنسبت آن $d$، و جمله‌های الگوی خطی $C_n$ و اختلاف ثابت جمله‌های متوالی آن $r$ باشد. در هر دو، اختلاف دو جمله برابر اختلاف شماره‌های آن‌ها ضرب‌در قدرنسبت است؛ این ویژگی از رابطهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی و الگوی خطی به دست می‌آید (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۳ و صفحهٔ ۱۶).

گام اول: نوشتن برابری جمله‌های متناظر
طبق صورت سؤال داریم:
$a_4=C_2$ و $a_8=C_7$.
با تفریق این دو برابری:
$a_8-a_4=C_7-C_2$.
در دنبالهٔ حسابی، از جملهٔ چهارم تا هشتم چهار گام و در الگوی خطی، از جملهٔ دوم تا هفتم پنج گام فاصله داریم؛ پس:
$(8-4)d=(7-2)r \Rightarrow 4d=5r$.

گام دوم: استفاده از صفر بودن جملهٔ دهم
چون $C_{10}=0$ و جملهٔ پانزدهم پنج گام پس از آن قرار دارد:
$C_{15}=C_{10}+(15-10)r=0+5r=5r$.

گام سوم: مقایسه با قدرنسبت دنبالهٔ حسابی
از رابطهٔ $5r=4d$ نتیجه می‌گیریم:
$C_{15}=4d$.
بنابراین جملهٔ پانزدهم الگو، چهار برابر قدرنسبت دنبالهٔ حسابی است.

پاسخ: گزینهٔ ۴