نمونه سوال فصل ۱ ریاضی دوازدهم با جواب

برای اینکه درجهٔ تابع دقیقاً سه باشد، باید $a^2-4=0$ و $a-2\ne0$ باشد. شرط نخست، $a=2$ یا $a=-2$ را می‌دهد. اگر $a=2$ باشد، جملهٔ درجهٔ سوم نیز حذف می‌شود؛ اما برای $a=-2$، ضریب آن برابر $-4$ و ناصفر است. بنابراین فقط $a=-2$ پذیرفتنی است. (صفحهٔ ۲) پاسخ: گزینهٔ ۱

اگر $x_1<x_2$ دو عضو دلخواه بازه باشند، صعودی بودن می‌دهد $f(x_1)\le f(x_2)$ و نزولی بودن می‌دهد $f(x_1)\ge f(x_2)$. پس $f(x_1)=f(x_2)$ و تابع روی بازه ثابت است. تابع ثابت همچنین نشان می‌دهد صعودی بودن الزاماً به معنی یک‌به‌یک بودن یا یکنوایی اکید نیست. از سوی دیگر، هر تابع اکیداً نزولی، نزولی نیز هست. (صفحه‌های ۶ تا ۹) پاسخ: گزینهٔ ۳

دامنهٔ $g$ برابر $\{-2,0,1,2\}$ است. خروجی‌های $f$ به‌ترتیب زوج‌های داده‌شده برابر $1,3,-2,0$ هستند؛ فقط خروجی $3$ در دامنهٔ $g$ نیست و ورودی متناظر با آن، یعنی $0$، حذف می‌شود. پس $D_{g\circ f}=\{-2,1,3\}$. همهٔ خروجی‌های $g$، یعنی $0,1,3,-2$، در دامنهٔ $f$ قرار دارند؛ بنابراین $D_{f\circ g}=\{-2,0,1,2\}$. در نتیجه $D_{g\circ f}\setminus D_{f\circ g}=\{3\}$. (صفحه‌های ۱۳ و ۱۴) پاسخ: گزینهٔ ۲

برای $x\in[-5,-2]$ داریم $x+2\in[-3,0]$؛ بنابراین $(x+2)^2\in[0,9]$ و برد $f$ برابر $[-3,6]$ است. این بازه دامنهٔ وارون خواهد بود. از $y=(x+2)^2-3$ و شرط $x+2\le0$ نتیجه می‌شود $x+2=-\sqrt{y+3}$؛ پس $f^{-1}(x)=-2-\sqrt{x+3}$. انتخاب شاخهٔ منفی به دلیل محدودیت دامنهٔ تابع اصلی ضروری است. (صفحه‌های ۲۴، ۲۵، ۲۷ و ۲۸) پاسخ: گزینهٔ ۲

در تبدیل $g(x)=-2f(x)$، دامنه تغییر نمی‌کند؛ پس $D_g=[-2,4]$. از $-3\le f(x)\le5$، با ضرب در $-2$ نتیجه می‌شود $-10\le g(x)\le6$؛ بنابراین $R_g=[-10,6]$. همچنین اگر $x_1<x_2$، به دلیل اکیداً صعودی بودن $f$ داریم $f(x_1)<f(x_2)$؛ در نتیجه $-2f(x_1)>-2f(x_2)$ و $g$ اکیداً نزولی است. (صفحه‌های ۶، ۷، ۱۵ و ۱۶) پاسخ: گزینهٔ ۱

تابع $h$ اکیداً صعودی است و در دو انتهای دامنه، مقادیر $h(-\frac{3}{2})=-1$ و $h(3)=2$ را دارد؛ پس دامنهٔ وارون $[-1,2]$ است. از $y=\sqrt{2x+3}-1$ به‌دست می‌آید $x=\frac{(y+1)^2-3}{2}$؛ بنابراین $h^{-1}(x)=\frac{(x+1)^2-3}{2}$. در دامنهٔ وارون، $(h\circ h^{-1})(x)=x$ است؛ پس معادله به $x=\frac{(x+1)^2-3}{2}$ تبدیل می‌شود. با ساده‌سازی، $x^2=2$ و در نتیجه $x=\pm\sqrt{2}$ است. از این دو ریشه، فقط $\sqrt{2}$ در بازهٔ $[-1,2]$ قرار دارد. (صفحه‌های ۲۴ تا ۲۷) پاسخ: گزینهٔ ۴

چون $g=-2f$ اکیداً نزولی است، $f$ باید اکیداً صعودی باشد. هر دو شاخهٔ $f$ به‌تنهایی اکیداً صعودی‌اند. برای حفظ این ویژگی در مرز، باید همهٔ مقادیر شاخهٔ نخست، یعنی اعداد کوچک‌تر از $a$، از مقدار $f(0)=1$ کوچک‌تر باشند؛ پس $a\le1$. اکنون $g^{-1}(-6)$ ورودی‌ای است که در آن $f$ مقدار $3$ می‌گیرد. با توجه به $a\le1$، این مقدار فقط از شاخهٔ دوم حاصل می‌شود: $2t+1=3$، پس $g^{-1}(-6)=1$. همچنین تعریف شدن $g^{-1}(0)$ مستلزم آن است که $f$ مقدار صفر بگیرد. شاخهٔ دوم همواره حداقل $1$ است؛ پس باید $t+a=0$ و $t=-a<0$ باشد، یعنی $a>0$ و $g^{-1}(0)=-a$. از شرط سؤال داریم $1-a=\frac14$، بنابراین $a=\frac34$. این مقدار هر دو شرط $0<a\le1$ را برآورده می‌کند. (صفحه‌های ۶، ۷، ۱۵، ۱۶، ۲۴ و ۲۵) پاسخ: گزینهٔ ۳

دامنهٔ تابع $f$ برابر $[-4,+\infty)$ است و خروجی آن همواره در دامنهٔ $g$ قرار دارد. بنابراین $(g\circ f)(x)=(\sqrt{x+4})^2-4=x$ برای $x\geq-4$. از سوی دیگر، برای هر عدد حقیقی $x$، داریم $g(x)=x^2-4\geq-4$؛ پس دامنهٔ ترکیب دیگر تمام اعداد حقیقی است و $(f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-4+4}=\sqrt{x^2}=|x|$. در نتیجه، با وجود همانی‌بودن ترکیب نخست، این دو تابع با دامنه‌های داده‌شده وارون یکدیگر نیستند. (صفحهٔ ۱۴ و صفحهٔ ۲۵) پاسخ: گزینهٔ ۲

چون تابع صعودی است، برای هر $x\in[-2,3]$ داریم $f(-2)\leq f(x)\leq f(3)$. با جای‌گذاری داده‌ها، $7\leq f(x)\leq7$ به دست می‌آید؛ بنابراین تابع در این بازه مقدار ثابت $7$ دارد. هر دو عدد $1$ و $2$ در این بازه‌اند، پس $f(1)+f(2)=7+7=14$. (صفحهٔ ۶ و صفحهٔ ۷) پاسخ: گزینهٔ ۱

تابع درونی $f(x)=\sqrt{x-1}$ فقط برای $x\geq1$ تعریف می‌شود و تابع $g$ روی تمام اعداد حقیقی تعریف شده است؛ بنابراین $D_{g\circ f}=[1,+\infty)$. در این دامنه، $(g\circ f)(x)=(\sqrt{x-1})^2+1=x$. پس معادله به $x=x^2-4$ یا $x^2-x-4=0$ تبدیل می‌شود و ریشه‌های آن $\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$ هستند. ریشهٔ منفی خارج از دامنه است، ولی ریشهٔ مثبت از $1$ بزرگ‌تر است و پذیرفته می‌شود. (صفحهٔ ۱۴) پاسخ: گزینهٔ ۳

تابع $f(x)=(x-2)^2+1$ روی دامنهٔ $(-\infty,2]$ یک‌به‌یک است. برای تعریف‌شدن $h(x)=f(-2x)$ باید $-2x\leq2$، یعنی $x\geq-1$ باشد. تبدیل ورودی نیز یک‌به‌یک است؛ پس $h$ وارون دارد. اگر $t=h^{-1}(f(0))$، آنگاه $f(-2t)=f(0)$. از یک‌به‌یک‌بودن $f$ نتیجه می‌شود $-2t=0$ و در نتیجه $t=0$. همچنین $h(1)=f(-2)$ و چون $-2$ در دامنهٔ $f$ قرار دارد، $f^{-1}(h(1))=f^{-1}(f(-2))=-2$. بنابراین مجموع خواسته‌شده برابر $0+(-2)=-2$ است. (صفحهٔ ۱۸ و صفحهٔ ۱۹؛ صفحهٔ ۲۵؛ صفحهٔ ۲۷ و صفحهٔ ۲۸) پاسخ: گزینهٔ ۲