نمونه سوال فصل ۲ ریاضی دوازدهم با جواب

برای تابعی به شکل $a\sin bx+c$، ماکزیمم برابر $|a|+c$، مینیمم برابر $-|a|+c$ و دوره برابر $\frac{2\pi}{|b|}$ است (صفحهٔ ۳۵). در اینجا $a=-4$، $b=3$ و $c=2$؛ بنابراین $\max f=4+2=6$، $\min f=-4+2=-2$ و $T=\frac{2\pi}{3}$ است. پاسخ: گزینهٔ 2

از ماکزیمم و مینیمم داریم $c=\frac{8+(-2)}{2}=3$ و $|a|=\frac{8-(-2)}{2}=5$. چون $a<0$، پس $a=-5$ است (صفحهٔ ۳۵). تابع در $x=0$ مینیمم دارد و نخستین ماکزیمم مثبت آن پس از نصف دوره رخ می‌دهد؛ بنابراین $\frac{T}{2}=\frac{3\pi}{4}$ و $T=\frac{3\pi}{2}$ است. این روش تعیین علامت ضریب و دوره از ویژگی‌های نمودار در صفحات ۳۵ تا ۳۷ مطرح شده است. پس نقطهٔ خواسته‌شده یک دوره با مبدأ فاصله دارد و $f(\frac{3\pi}{2})=f(0)=-5+3=-2$. پاسخ: گزینهٔ 4

طبق تعریف، برای یک دورهٔ مثبت $T$ باید همراه هر $x$ در دامنه، هر دو عدد $x+T$ و $x-T$ نیز در دامنه باشند (صفحات ۳۲ و ۳۳). در گزینهٔ نخست، $0$ در دامنه است، ولی برای هر $T>0$، عدد $-T$ خارج از دامنه خواهد بود؛ پس این تابع متناوب نیست. انتقال عمودی و ضریب غیرصفر متغیر، تناوب سینوس و کسینوس را از بین نمی‌برند (صفحهٔ ۳۵). تابع تانژانت با دامنهٔ داده‌شده نیز متناوب است (صفحهٔ ۳۹). پاسخ: گزینهٔ 1

چون $\beta$ در ربع دوم قرار دارد، $\tan\beta<0$؛ اما تانژانت هر دو زاویهٔ دیگر مثبت است (صفحهٔ ۳۷). از $\pi<\gamma<\frac{5\pi}{4}$ نتیجه می‌شود $0<\gamma-\pi<\frac{\pi}{4}$. همچنین $\frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{2}$ است. تانژانت در ربع اول افزایشی است (صفحهٔ ۳۸)، پس $\tan(\gamma-\pi)<\tan\alpha$. با توجه به تناوب تانژانت، $\tan(\gamma-\pi)=\tan\gamma$ (صفحهٔ ۳۹). در نتیجه $\tan\beta<\tan\gamma<\tan\alpha$. پاسخ: گزینهٔ 3

تانژانت هنگامی تعریف نشده است که ورودی آن برابر $k\pi+\frac{\pi}{2}$ باشد (صفحهٔ ۳۹). بنابراین $2x+\frac{\pi}{6}=k\pi+\frac{\pi}{2}$ و در نتیجه $x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}$. شرط قرار گرفتن در بازه می‌دهد $0\leq\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\leq\frac{3\pi}{2}$؛ پس $-\frac{1}{3}\leq k\leq\frac{8}{3}$. عددهای صحیح مجاز $k=0,1,2$ هستند؛ بنابراین تابع در سه نقطه از بازه تعریف نشده است. پاسخ: گزینهٔ 2

زاویهٔ مرکزی را $2\alpha$ می‌نامیم. با توجه به کوچک‌تر بودن آن از زاویهٔ نیم‌صفحه، $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ است. در ساخت هندسی صفحهٔ ۴۲، طول وتر برابر $2\sin\alpha$ است؛ پس $2\sin\alpha=\frac{6}{5}$ و $\sin\alpha=\frac{3}{5}$. از قائم‌الزاویه بودن مثلث حاصل از نصف کردن وتر، $\cos\alpha=\frac{4}{5}$ به دست می‌آید. اگر قطر گذرنده از یکی از دو سر وتر را رسم کنیم، ارتفاع سر دیگر وتر بر این قطر هم برابر $\sin2\alpha$ و هم برابر حاصل‌ضرب طول وتر در $\cos\alpha$ است. بنابراین $\sin2\alpha=\frac{6}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$ (صفحهٔ ۴۲). پاسخ: گزینهٔ 1

طبق رابطهٔ دورهٔ توابع سینوسی، $\frac{2\pi}{|m+2|}=\frac{\pi}{2}$؛ پس $|m+2|=4$ و در نتیجه $m=2$ یا $m=-6$ است (صفحهٔ ۳۵). برای $m=2$، مینیمم برابر $2-|2-1|=1$ است و شرط مسئله برقرار نیست. برای $m=-6$، مینیمم برابر $-6-|-6-1|=-13$ است که از $-10$ کوچک‌تر است. بنابراین تنها مقدار مجاز $m=-6$ است و ماکزیمم تابع برابر $m+|m-1|=-6+7=1$ خواهد بود. پاسخ: گزینهٔ 4

از ماکزیمم و مینیمم داریم $c=\frac{6+(-2)}{2}=2$ و $|a|=\frac{6-(-2)}{2}=4$. چون $f(0)=-2$ و $\cos0=1$، نتیجه می‌شود $a=-4$ است. همچنین $\frac{2\pi}{b}=\frac{4\pi}{3}$ و بنابراین $b=\frac{3}{2}$ است (صفحات ۳۵ تا ۳۷). پس $f(x)=-4\cos(\frac{3x}{2})+2$ و ماکزیمم هنگامی رخ می‌دهد که کسینوس برابر $-1$ باشد. نخستین محل مثبت آن $\frac{2\pi}{3}$ است و محل‌های بعدی و قبلی با فاصلهٔ دوره تکرار می‌شوند (صفحات ۳۲ و ۳۳). بنابراین محل‌های ماکزیمم به صورت $x=\frac{2\pi}{3}+\frac{4k\pi}{3}$ هستند. شرط $-\pi\leq x\leq\frac{10\pi}{3}$ می‌دهد $-\frac{5}{4}\leq k\leq2$؛ پس $k=-1,0,1,2$ مجازند و چهار نقطه داریم. پاسخ: گزینهٔ 3

بنا بر تعریف تناوب، جابه‌جایی ورودی به اندازهٔ هر مضرب صحیح از $T$، دامنه و مقدار تابع را حفظ می‌کند. دو ورودیِ $x+3T$ و $x-T$ به اندازهٔ $4T$ فاصله دارند؛ بنابراین $f(x+3T)=f(x-T)$. تکرار با فاصلهٔ $\frac{T}{2}$ یا تغییر علامت پس از جابه‌جایی به اندازهٔ $T$ از تعریف نتیجه نمی‌شود. همچنین کوچک‌ترین فاصلهٔ مثبت تکرار، خودِ $T$ است، نه $2T$ (صفحه‌های ۳۲ و ۳۳). پاسخ: گزینهٔ 1

با مربع کردن تساوی داده‌شده و استفاده از اتحاد بنیادی و رابطهٔ سینوس دو برابر داریم: $\frac14=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=1+\sin2\alpha$. پس $\sin2\alpha=-\frac34$. در نتیجه $\cos^2 2\alpha=1-\frac9{16}=\frac7{16}$. از طرف دیگر، شرط زاویه می‌دهد $\pi<2\alpha<\frac{3\pi}{2}$؛ بنابراین کسینوس دو برابر زاویه منفی است و $\cos2\alpha=-\frac{\sqrt7}{4}$ (صفحه‌های ۴۲ و ۴۳). پاسخ: گزینهٔ 2

با اتحاد دو برابر زاویه، $1-2\sin^2x=\cos2x$؛ پس باید تعداد جواب‌های $\cos2x=m$ را در بازهٔ $[0,2\pi]$ بررسی کنیم. با قرار دادن $t=2x$، بازهٔ جدید $[0,4\pi]$ است. اگر $-1<m<1$ باشد، معادله چهار جواب دارد. برای $m=-1$، دو جواب $t=\pi,3\pi$ به دست می‌آید. برای $m=1$، سه جواب $t=0,2\pi,4\pi$ داریم که متناظر با $x=0,\pi,2\pi$ هستند. خارج از بازهٔ $[-1,1]$ نیز جوابی وجود ندارد. بنابراین مقدار خواسته‌شده $m=1$ است (صفحه‌های ۴۳ و ۴۶). پاسخ: گزینهٔ 3

از اتحاد $\cos2x=1-2\sin^2x$ استفاده می‌کنیم. معادله به صورت $3\sin^2x=2-2\sin^2x$ درمی‌آید؛ بنابراین $\sin^2x=\frac25$. در نتیجه برای هر جواب، $\cos2x=1-2\times\frac25=\frac15$ است (صفحهٔ ۴۳). اکنون $\sin x=\sqrt{\frac25}$ یا $\sin x=-\sqrt{\frac25}$. چون این دو مقدار بین دو کران سینوس و ناصفرند، هر یک در بازهٔ $[0,2\pi)$ دو جواب دارند؛ پس در مجموع چهار جواب متمایز وجود دارد (صفحه‌های ۴۴ و ۴۵). مجموع خواسته‌شده برابر $4\times\frac15=\frac45$ است. پاسخ: گزینهٔ 4