دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم · ریاضی

سوال ۱۲۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۰ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۰ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم · سوال ۱۲۰ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۲: مثلثات

اختلاف جواب‌های معادلهٔ مثلثاتی cos⁡2x=3sin⁡x−1\cos 2x=3\sin x-1 که در بازهٔ [0,π][0,\pi] قرار دارند، کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 5π6\frac{5\pi}{6}
  2. گزینهٔ ۲: π3\frac{\pi}{3}
  3. گزینهٔ ۳: π6\frac{\pi}{6}
  4. گزینهٔ ۴: 2π3\frac{2\pi}{3}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

ابتدا با استفاده از اتحاد زاویهٔ دوبرابر، معادله را فقط برحسب sin⁡x\sin x می‌نویسیم:
cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2x
پس:
1−2sin⁡2x=3sin⁡x−11-2\sin^2x=3\sin x-1
با انتقال جمله‌ها به یک طرف داریم:
2sin⁡2x+3sin⁡x−2=02\sin^2x+3\sin x-2=0
این عبارت تجزیه می‌شود:
(2sin⁡x−1)(sin⁡x+2)=0(2\sin x-1)(\sin x+2)=0
بنابراین:
sin⁡x=12یاsin⁡x=−2\sin x=\frac{1}{2}\quad\text{یا}\quad\sin x=-2
چون مقدار سینوس هر زاویه در بازهٔ [−1,1][-1,1] است، حالت sin⁡x=−2\sin x=-2 پذیرفتنی نیست.

اکنون باید معادلهٔ sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} را در بازهٔ [0,π][0,\pi] حل کنیم. مطابق فعالیت کتاب دربارهٔ این معادله، دو زاویهٔ مکمل π6\frac{\pi}{6} و π−π6\pi-\frac{\pi}{6} سینوس یکسان دارند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۴–۴۵). بنابراین تنها جواب‌های واقع در بازهٔ خواسته‌شده عبارت‌اند از:
x1=π6,x2=5π6x_1=\frac{\pi}{6},\qquad x_2=\frac{5\pi}{6}
اختلاف جواب‌ها، یعنی جواب بزرگ‌تر منهای جواب کوچک‌تر، برابر است با:
x2−x1=5π6−π6=4π6=2π3x_2-x_1=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}
پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است دانش‌آموز جواب بزرگ‌تر، یعنی 5π6\frac{5\pi}{6}، را به‌جای اختلاف جواب‌ها انتخاب کند؛ اما باید جواب کوچک‌تر را نیز از آن کم کرد.
  • گزینهٔ ۲: ممکن است دانش‌آموز فاصلهٔ هر جواب تا π2\frac{\pi}{2} را حساب کند که برابر π3\frac{\pi}{3} است؛ ولی اختلاف دو جواب، مجموع این دو فاصله است.
  • گزینهٔ ۳: ممکن است دانش‌آموز با یافتن زاویهٔ مرجع π6\frac{\pi}{6} حل را تمام‌شده بداند؛ درحالی‌که این فقط جواب کوچک‌تر معادله است، نه اختلاف دو جواب.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. روش حل معادلات مثلثاتی را به یاد آورید: ابتدا با اتحاد زاویهٔ دوبرابر، معادله را فقط برحسب سینوس بنویسید و سپس جواب‌های واقع در بازهٔ خواسته‌شده را پیدا کنید.
  2. از اتحاد cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2x استفاده کنید. معادلهٔ حاصل نسبت به sin⁡x\sin x درجهٔ دوم است؛ پس از حل آن، ریشه‌ها را با شرط −1≤sin⁡x≤1-1\leq\sin x\leq1 بررسی کنید.
  3. برای مقدار مجاز سینوس، دو زاویهٔ مکمل در بازهٔ داده‌شده وجود دارد. اگر زاویهٔ کوچک‌تر را α\alpha بنامید، دیگری π−α\pi-\alpha است؛ اکنون بزرگ‌تر را منهای کوچک‌تر کنید.

ریاضی ۳ · فصل ۲: مثلثات

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مثلثات» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری