دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · ریاضی

سوال ۱۲۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۴ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۴ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۱۲۴ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۲: مثلثات

فرم کلی جواب‌های معادله cos⁡2x=sin⁡(3π−2x2)\cos 2x=\sin\left(\frac{3\pi-2x}{2}\right) به کدام صورت است؟ (k∈Zk\in\mathbb{Z})

  1. گزینهٔ ۱: 2kπ+π2k\pi+\pi
  2. گزینهٔ ۲: 2kπ±π32k\pi\pm\frac{\pi}{3}
  3. گزینهٔ ۳: 2kπ3+π3\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{3}
  4. گزینهٔ ۴: kπ3+π\frac{k\pi}{3}+\pi
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

ابتدا زاویهٔ سمت راست را ساده می‌کنیم و با استفاده از اتحادهای مثلثاتی داریم:
sin⁡(3π−2x2)=sin⁡(3π2−x)=−cos⁡x=cos⁡(π−x)\sin\left(\frac{3\pi-2x}{2}\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x=\cos(\pi-x).
پس معادله به صورت زیر درمی‌آید:
cos⁡2x=cos⁡(π−x)\cos 2x=\cos(\pi-x).

طبق قاعدهٔ جواب کلی برابری کسینوس‌ها، اگر cos⁡A=cos⁡B\cos A=\cos B باشد، آنگاه A=2kπ±BA=2k\pi\pm B که k∈Zk\in\mathbb{Z} است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۶). بنابراین باید دو حالت را بررسی کنیم:

حالت اول:
2x=2kπ+(π−x)2x=2k\pi+(\pi-x)
⇒3x=2kπ+π\Rightarrow 3x=2k\pi+\pi
⇒x=2kπ3+π3\Rightarrow x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{3}.

حالت دوم: با استفاده از یک پارامتر صحیح مستقل، یعنی m∈Zm\in\mathbb{Z}، داریم:
2x=2mπ−(π−x)2x=2m\pi-(\pi-x)
⇒x=2mπ−π\Rightarrow x=2m\pi-\pi.

اکنون باید اجتماع این دو خانواده را بنویسیم. خانوادهٔ دوم در خانوادهٔ اول قرار دارد؛ زیرا با انتخاب k=3m−2k=3m-2 در خانوادهٔ اول به دست می‌آید:
2(3m−2)π3+π3=2mπ−π\frac{2(3m-2)\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=2m\pi-\pi.

پس خانوادهٔ اول به‌تنهایی همهٔ جواب‌های معادله را پوشش می‌دهد و جواب کلی برابر است با:
x=2kπ3+π3,k∈Z\boxed{x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}}.

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است با درنظرگرفتن فقط یکی از دو شاخهٔ برابری کسینوس‌ها به این گزینه برسید. این خانواده جواب‌های معتبر دارد، اما کامل نیست؛ مثلاً x=π3x=\frac{\pi}{3} نیز جواب معادله است و در این خانواده قرار نمی‌گیرد.
  • گزینهٔ ۲: ممکن است پس از یافتن چند جواب، فقط زاویه‌های هم‌انتها با ±π3\pm\frac{\pi}{3} را در نظر بگیرید. این گزینه بخشی از جواب‌ها را نشان می‌دهد، اما جواب‌هایی مانند x=πx=\pi را حذف می‌کند.
  • گزینهٔ ۴: این گزینه می‌تواند از ادغام نادرست دو خانوادهٔ جواب و انتخاب فاصله‌ای کوچک‌تر از فاصلهٔ واقعی جواب‌ها به دست آید. برای مثال، با k=−3k=-3 مقدار x=0x=0 را می‌دهد، درحالی‌که در معادلهٔ اصلی دو طرف به‌ترتیب 11 و −1-1 می‌شوند.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. قاعدهٔ حل برابری دو کسینوس را از درس معادلات مثلثاتی به یاد آورید؛ ابتدا باید سینوسِ سمت راست را به کسینوس تبدیل کنید.
  2. از اتحاد sin⁡(3π2−x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x استفاده کنید و سپس −cos⁡x-\cos x را به شکل cos⁡(π−x)\cos(\pi-x) بنویسید.
  3. در رابطهٔ cos⁡2x=cos⁡(π−x)\cos 2x=\cos(\pi-x)، دو حالت 2x=2kπ+(π−x)2x=2k\pi+(\pi-x) و 2x=2kπ−(π−x)2x=2k\pi-(\pi-x) را حل کنید؛ سپس بررسی کنید آیا یکی از خانواده‌ها زیرمجموعهٔ دیگری است.

ریاضی ۳ · فصل ۲: مثلثات

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مثلثات» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری