سوال ۱۱۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

۱. ابتدا بازهٔ زاویهٔ داخل تانژانت را تعیین می‌کنیم. از شرط سؤال داریم:
$-\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{4}\quad\Longrightarrow\quad 0<\frac{\pi}{4}-x<\frac{\pi}{2}$
پس این زاویه در ربع اول قرار دارد. طبق تغییرات تابع تانژانت، وقتی زاویه در بازهٔ $(0,\frac{\pi}{2})$ تغییر می‌کند، تانژانت همهٔ مقادیر مثبت را می‌پذیرد، ولی هرگز صفر نمی‌شود (ریاضی ۳، صفحه‌های ۳۷–۳۸). بنابراین شرط لازم و کافی برای وجود چنین زاویه‌ای این است که:
$\frac{1-m}{2+m}>0$

۲. برای مثبت بودن کسر، صورت و مخرج باید هم‌علامت باشند؛ ضمن اینکه مخرج نباید صفر شود.

حالت اول، هر دو مثبت باشند:
$1-m>0\quad\text{و}\quad 2+m>0$
در نتیجه:
$m<1\quad\text{و}\quad m>-2$
پس در این حالت داریم:
$-2<m<1$

حالت دوم، هر دو منفی باشند:
$1-m<0\quad\text{و}\quad 2+m<0$
یعنی باید هم‌زمان $m>1$ و $m<-2$ برقرار باشد که ناممکن است.

۳. دو سر بازه نیز پذیرفته نیستند: در $m=-2$ کسر تعریف نمی‌شود و در $m=1$ مقدار آن صفر است؛ در حالی که تانژانت زاویهٔ مسئله حتماً مثبت است. از طرفی، برای هر مقدار داخل بازهٔ به‌دست‌آمده، کسر مثبت است و مطابق ویژگی تانژانت در ربع اول، زاویه‌ای مجاز و در نتیجه مقداری مجاز برای $x$ وجود دارد.

بنابراین مجموعهٔ مقادیر پارامتر برابر است با:
$m\in(-2,1)$

پاسخ: گزینهٔ ۱